第3节 2022高中数学 第二章 推理与证明 第3节 数学归纳法习题 理 苏教版选修2-2（答题时间：60分钟）一、选择题1. 用数学归纳法证明等式，从k到k＋1左端需增乘的代数式为 （ ）A. 2k＋1 B. 2（2k＋1） C. D. 2. 用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是 （ ）A. 2k－1 B. 2k－1 C. 2k D. 2k＋13. 对于不等式＜n＋1（n∈N*），某同学的证明过程如下：（1）当n＝1时，＜1＋1，不等式成立2）假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即＜k＋1，则当n＝k＋1时，＝＜＝＝（k＋1）＋1，∴当n＝k＋1时，不等式成立则上述证法 （ ）A. 过程全部正确B. n＝1验得不正确C. 归纳假设不正确D. 从n＝k到n＝k＋1的推理不正确4. 下列代数式（其中k∈N*）能被9整除的是 （ ）A. 6＋6·7k B. 2＋7k－1 C. 2（2＋7k＋1） D. 3（2＋7k）5. 已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n（na－b）＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为 （ ）A. a＝，b＝c＝ B. a＝b＝c＝C. a＝0，b＝c＝ D. 不存在这样的a、b、c6. 在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n（2n－1）an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式是（ ）A. B. C. D. 二、填空题7. 猜想1＝1,1－4＝－（1＋2）,1－4＋9＝1＋2＋3，…，第n个式子为__________________________________。
8. 如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来（n＝1,2,3，…），则第n－2（n≥3，n∈N*）个图形中共有________个顶点9. 设平面内有n条直线（n≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点若用f（n）表示这n条直线交点的个数，则f（4）＝________；当n＞4时，f（n）＝________（用n表示）三、解答题10. 已知点Pn（an，bn）满足an＋1＝an·bn＋1，bn＋1＝（n∈N*），且点P1的坐标为（1，－1）1）求过点P1，P2的直线l的方程；（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在（1）中的直线l上11. 数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝（1＋cos2）an＋sin2，n＝1,2,3，…（1）求a3，a4，并求数列{an}的通项公式；（2）设bn＝，Sn＝b1＋b2＋…＋bn证明：当n≥6时，|Sn－2|＜12. 设数列{an}的前n项和为Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根为Sn－1，n＝1,2,3，…1）求a1，a2；（2）猜想数列{Sn}的通项公式，并给出严格的证明1. B 解析：当n＝1时，等式显然成立。
当n＝k时，左边＝（k＋1）·（k＋2）…（k＋k），当n＝k＋1时，左边＝（k＋1＋1）·（k＋1＋2）…（k＋1＋k）（k＋1＋k＋1）＝（k＋2）（k＋3）…（k＋k）（k＋1＋k）（k＋1＋k＋1）＝（k＋1）（k＋2）…（k＋k）＝（k＋1）（k＋2）…（k＋k）·2（2k＋1）2. C 解析：增加的项数为（2k＋1－1）－（2k－1）＝2k＋1－2k＝2k3. D 解析：用数学归纳法证题的关键在于合理运用归纳假设4. D 解析：（1）当k＝1时，显然只有3（2＋7k）能被9整除2）假设当k＝n（n∈N*）时，命题成立，即3（2＋7n）能被9整除，那么3（2＋7n＋1）＝21（2＋7n）－36这就是说，k＝n＋1时命题也成立由（1）（2）可知，命题对任何k∈N*都成立5. A 解析：∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即：，整理得，解得a＝，b＝c＝6. C 解析：由a1＝，Sn＝n（2n－1）an，得S2＝2（2×2－1）a2，即a1＋a2＝6a2，∴a2＝＝，S3＝3（2×3－1）a3，即＋＋a3＝15a3∴a3＝＝，a4＝由此猜想7. 1－4＋9－…＋（－1）n＋1n2＝（－1）n－1（1＋2＋3＋…＋n）。
8. 解析：当n＝1时，顶点共有12＝3×4（个），n＝2时，顶点共有20＝4×5（个），n＝3时，顶点共有30＝5×6（个），n＝4时，顶点共有42＝6×7（个），故第n个图形共有顶点（n＋2）（n＋3）个，∴第n-2个图形共有顶点n（n＋1）个9. 5，解析：f（2）＝0，f（3）＝2，f（4）＝5，f（5）＝9，每增加一条直线，交点增加的个数等于原来直线的条数∴f（3）－f（2）＝2，f（4）－f（3）＝3，f（5）－f（4）＝4，…f（n）－f（n－1）＝n－1累加，得f（n）－f（2）＝2＋3＋4＋…＋（n－1）＝（n－2）∴f（n）＝（n＋1）（n－2）10. 解：（1）由P1的坐标为（1，－1）知a1＝1，b1＝－1∴b2＝＝a2＝a1·b2＝∴点P2的坐标为（，），∴直线l的方程为2x＋y＝12）①当n＝1时，2a1＋b1＝2×1＋（－1）＝1成立②假设n＝k（k∈N*，k≥1）时，2ak＋bk＝1成立，则2ak＋1＋bk＋1＝2ak·bk＋1＋bk＋1＝（2ak＋1）＝＝＝1，∴当n＝k＋1时，命题也成立由①②知，对n∈N*，都有2an＋bn＝1，即点Pn在直线l上。
11. 解：（1）因为a1＝1，a2＝2，所以a3＝（1＋cos2）a1＋sin2＝a1＋1＝2，a4＝（1＋cos2π）a2＋sin2π＝2a2＝4一般地，当n＝2k－1（k∈N*）时，a2k＋1＝[1＋cos2]a2k－1＋sin2＝a2k－1＋1，即a2k＋1－a2k－1＝1所以数列{a2k－1}是首项为1、公差为1的等差数列，因此a2k－1＝k当n＝2k（k∈N*）时，a2k＋2＝（1＋cos2）a2k＋sin2＝2a2k所以数列{a2k}是首项为2、公比为2的等比数列，因此a2k＝2k故数列{an}的通项公式为（2）由（1）知，bn＝＝，所以Sn＝＋＋＋…＋，①Sn＝＋＋＋…＋，②①－②得，Sn＝＋＋＋…＋－＝－＝1－－，所以Sn＝2－－＝2－要证明当n≥6时，|Sn－2|＜成立，只需证明当n≥6时，＜1成立i）当n＝6时，＝＝＜1成立ii）假设当n＝k（k≥6）时不等式成立，即＜1则当n＝k＋1时，＝×＜＜1由（i）、（ii）所述，当n≥6时，＜1即当n≥6时，|Sn－2|＜12. 解：（1）当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，于是（a1－1）2－a1（a1－1）－a1＝0，解得a1＝。
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，于是（a2－）2－a2（a2－）－a2＝0，解得a2＝2）由题设（Sn－1）2－an（Sn－1）－an＝0，S－2Sn＋1－anSn＝0当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0①由（1）得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝由①式可得S3＝由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，…下面用数学归纳法证明这个结论i）当n＝1时已知结论成立ii）假设n＝k时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由①式得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立综上，由（i）、（ii）可知Sn＝对所有正整数n都成立。