解析几何中求参数取值范围的5 种常用方法解析几何中求参数取值范围的5种常用方法及经典例题详细解析：一、利用曲线方程中变量的范围构造不等式曲线上的点的坐标往往有一定的变化范围，如椭圆x2a2 + y2b2二1上的点P (x, y) 满足-aWxWa,-bWyWb,因而可利用这些范围来构造不等式求解，另外，也常出现题中有 多个变量,变量之间有一定的关系,往往需要将要求的参数去表示已知的变量或建立起适当 的不等式,再来求解.这是解决变量取值范围常见的策略和方法.例1已知椭圆x2a2 + y2b2二1 (a>b>0), A, B是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P (x0, 0)求证:-a2-b2a W xO W a2-b2a分析:先求线段AB的垂直平分线方程，求出xO与A, B横坐标的关系，再利用椭圆上的 点A, B满足的范围求解.解：设A, B坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2), (x1壬x2)代入椭圆方程，作差得：y2-y1x2-x1 =-b2a2 • x2+x1 y2+y1又•••线段AB的垂直平分线方程为y- y1+y22 =- x2-x1 y2-y1(x-x1+x22)令 y=0 得 x0=x1+x22 ・ a2-b2a2又TA, B是椭圆x2a2 + y2b2二1上的点Z.-aWx1 Wa, -aWx2Wa, x1壬x2 以及-aWx1+x22 Wa-a2-b2a W xO W a2-b2a例2如图，已知△ OFQ的面积为S,且OF FQ=1，若12 < S <2 ,求向量OF与FQ的 夹角e的取值范围.分析:须通过题中条件建立夹角e与变量S的关系，利用s的范围解题.解: 依题意有/.tan 0 =2S■/12 < S <2 /.1< tan0<4又TOWeWn/.n 4 <0< p>例3对于抛物线y2=4x上任一点Q,点P(a, 0)都满足|PQ|$|a|,则a的取值范围是()A a<0 B aW2 C 0WaW2 D 0<2< p>分析:直接设Q点坐标，利用题中不等式|PQ|$|a|求解.解：设0( y024 , y0)由 |PQ| Ma得 y02+ ( y024 -a) 2Ma2 即 y02 (y02+16-8a) MO■Ty02M0 ./(y02+16-8a) M0 即 aW2+ y028 恒成立又••• y02M0而2+ y028最小值为2 /.aW2选(B )二、利用判别式构造不等式在解析几何中，直线与曲线之间的位置关系，可以转化为一元二次方程的解的问题，因 此可利用判别式来构造不等式求解.例4设抛物线y2二8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线L与抛物线有公共点，则直线L的斜率取值范围是()A [-12，12 ] B [-2，2] C [-1，1] D [-4，4]分析:由于直线丨与抛物线有公共点，等价于一元二次方程有解，则判别式△》)解:依题意知Q坐标为(-2, 0),则直线L的方程为y二k (x+2)由得 k2x2+(4k2-8)x+4k2 = 0•••直线L与抛物线有公共点.•.△$0 即 k2W1 解得-1WkW1 故选(C)例5直线L: y二kx+1与双曲线C: 2x2-y2二1的右支交于不同的两点A、B,求实数 k的取值范围.分析:利用直线方程和双曲线方程得到x的一元二次方程，由于直线与右支交于不同两点，则△ >0，同时，还需考虑右支上点的横坐标的取值范围来建立关于k的不等式.解：由得(k2-2) x2 +2kx+2 二 0•••直线与双曲线的右支交于不同两点，则解得 -2<-2< p>三、利用点与圆锥曲线的位置关系构造不等式曲线把坐标平面分成三个区域，若点P (xO, y0)与曲线方程f (x, y)二0关系：若P 在曲线上，则f (x0, y0) =0;若P在曲线内，则f (x0, y0) <0;若P在曲线外，则f (x0, y0) >0;可见，平面内曲线与点均满足一定的关系。
故可用这些关系来构造不等式解题例6已知椭圆2x2 + y2二a2 (a>0)与连结两点A (1, 2)、B (2, 3)的线段没有公 共点，求实数a的取值范围.分析:结合点A, B及椭圆位置，可得当AB两点同时在椭圆内或同时在椭圆外时符合条 件.解：依题意可知，当A、B同时在椭圆内或椭圆外时满足条件当A、B同时在椭圆内，贝I」解得a >17当A、B同时在椭圆外，则解得0<6< p>综上所述，解得0<6或a>17例7若抛物线y2=4mx (m壬0)的焦点在圆(x-2m) 2+ (y-1) 2=4的内部，求实数m 的取值范围.分析:由于焦点(m, 0)在圆内部，则把(m, 0)代入可得.解：•••抛物线的焦点F (m, 0)在圆的内部，/.(m-2m) 2+ (0-1) 2<4 即 m2<3.■.-3 <0 或 0<3< p>四、利用三角函数的有界性构造不等式曲线的参数方程与三角函数有关，因而可利用把曲线方程转化为含有三角函数的方程 后利用三角函数的有界性构造不等式求解例8若椭圆x2+4 (y-a) 2二4与抛物线x2=2y有公共点，求实数a的取值范围.分析：利用椭圆的参数方程及抛物线方程，得到实数a与参数6的关系，再利用三角函 数的有界性确定a的取值情况.解：设椭圆的参数方程为(6为参数)代入x2=2y得4cos26= 2(a+sin6).a = 2cos26-sin6=-2(sin6+ 14)2+ 178又■.■-1WsineW1,.TWaW178例9已知圆C： x2 + (y-1) 2= 1上的点P (m, n),使得不等式m+n+c$0恒成立，求 实数c的取值范围分析:把圆方程变为参数方程，利用三角函数的有界性，确定m+n的取值情况，再确定 c的取值范围.解：•••点 P 在圆上，「.m 二 cosB,n 二 1+sinB（B 为参数）Tm+n 二 cosB+1+sinB 二 2 sin（B+ n4 ）+1•■.m+n最小值为1-2 ,/■- （m+n）最大值为2 -1又•••要使得不等式cA （m+n）恒成立.".c$2 -1五、利用离心率构造不等式我们知道，椭圆离心率eW（0,1）,抛物线离心率e二1,双曲线离心率e>1，因而可 利用这些特点来构造相关不等式求解.例10已知双曲线x2-3y2二3的右焦点为F,右准线为L,直线y二kx+3通过以F为焦点， L为相应准线的椭圆中心，求实数k的取值范围.分析:由于椭圆中心不在原点,故先设椭圆中心,再找出椭圆中各量的关系,再利用椭 圆离心率0<1,建立相关不等式关系求解.< p>解：依题意得F的坐标为（2, 0）, L:x二32设椭圆中心为（m, 0）,则m-2二c和m-32 = a2c两式相除得: m-2m-32 = c2a2 = e2T0<1,.・.0<1，解得 m>2,又T当椭圆中心（m, 0）在直线y二kx+3上,/.0 二 km+3 ，即 m 二—3k ,3k >2，解得-32 <0< p>上面是处理解析几何中求参数取值范围问题的几种思路和求法，希望通过以上的介绍能让同学们了解这类问题。