专题37 空间几何体（知识梳理）一、空间几何体1、空间几何体的基本定义如果只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小,而不考虑其它因素,则这个空间部分就是一个几何体围成体的各个平面图形叫做体的面；相邻两个面的大众边叫做体的棱；棱和棱的大众点叫做体的顶点几何体不是实实在在的物体平面的特性：无限延展、处处平直、没有其他性质(如厚度、大小、面积、体积、重量等)例1-1．下列是几何体的是( )A、方砖B、足球C、圆锥D、魔方【参考答案】C【解析】几何体不是实实在在的物体,故选C例1-2．判断下列说法是否正确：(1)平静的湖面是一个平面 (×)(2)一个平面长,宽 (×)(3)三个平面重叠在一起,比一个平面厚 (×)(4)书桌面是平面 (×)(5)通过改变直线的位置,可以把直线放在某个平面内。
(√)【解析】平面可以看成是直线平行移动形成的,所以直线通过改变其位置,可以放在某个平面内6)平行四边形是一个平面 (×)(7)长方体是由六个平面围成的几何体 (×)(8)任何一个平面图形都是一个平面 (×)(9)长方体一个面上任一点到对面的距离相等 (√)(10)空间图形中先画的线是实线,后画的线是虚线 (×)(11)平面是绝对平的,无厚度,可以无限延展的抽象的数学概念。
(√)例1-3．下列说法正确的是 ①长方体是由六个平面围成的几何体；②长方体可以看作一个矩形上各点沿铅垂线向上移动相同距离到矩形所围成的几何体；③长方体一个面上的任一点到对面的距离相等参考答案】②③【解析】①错,因长方体由个矩形(包括它的内部)围成,注意“平面”与“矩形”的本质区别；②正确；③正确例1-4．如图所示的是平行四边形所在的平面,有下列表示方法：①平面；②平面；③平面；④平面；⑤；⑥平面其中不正确的是( )A、④⑤B、③④⑤C、②③④⑤D、③⑤【参考答案】D【解析】③中不为对角线,故错误；⑤中漏掉“平面”两字,故错误例1-5．下列结论正确的个数有( )①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线A、个 B、个 C、个 D、个【参考答案】C【解析】只有⑤不正确2、斜二测画法及相关计算(1)用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图的步骤：①画轴：在平面图形上取互相垂直的轴和轴,作出与之对应的轴和轴,使得它们正方向的夹角为(或)；②画线(取长度)：平面图形中与轴平行(或重合)的线段画出与轴平行(或重合)的线段,且长度不变, 平面图形中与轴平行(或重合)的线段画出与轴平行(或重合)的线段,且长度为原来长度的一半；③连续(去辅助线)：连接有关线段,擦去做图过程中的辅助线。
讲解：用斜二测画法作水平放置的平面图形的直观图时,关键是分别作出其中与轴和轴平行(或重合)的线段2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图与原图形面积的关系：①；②例2-1．判断对错：(1)相等的角在直观图中对应的角仍然相等；相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等 (×)(2)平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行 (√)(3)线段的中点在直观图中仍然是线段的中点 (√)(4)利用斜二测画法画直观图时,①三角形的直观图还是三角形； (√)②平行四边形的直观图还是平行四边形； (√)③正方形的直观图还是正方形； (×)④菱形的直观图还是菱形 (×)例2-2．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是( )。
A、在实物图中取坐标系不同,所得的直观图有可能不同B、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D、斜二测坐标系取的角可能是【参考答案】C【解析】由平行于轴或轴的线段长度在直观图中仍然保持不变,平行于轴的线段长度在直观图中是原来的一半,∴C不对,故选C例2-3．用斜二测画法画出图中水平放置的四边形的直观图并说明画法 【解析】(1)画轴,轴,使；(2)轴上取点,在轴上取、,使,(如图),在轴上取,使,在轴下方过作,使；(3)连接、、,所得四边形就是四边形的直观图注意：(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取恰当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段例2-4．画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图并说明画法解析】(1)画轴：画轴、轴、轴,(或),,如左图；(2)画底面：以为中心,在平面内,画出正方形水平放置的直观图；(3)画顶点：在轴上截取,使的长度是原四棱锥的高；(4)成图：顺次连接、、、,并擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得四棱锥的直观图,如右图。
注意：(1)画空间图形的直观图,一般先用斜二测画法画出水平放置的平面图形,再画轴,并确定竖直方向上的相关的点,最后连点成图便可；(2)直观图画法口诀可以总结为：“横长不变,纵长减半,竖长不变,平行关系不变”例2-5．如图,是水平放置的斜二测画法的直观图,,,能否判断的形状并求边的实际长度是多少？【解析】根据斜二测画法规则知：,故为直角三角形, 中,,,故注意：(1)还原图形的过程是画直观图的逆过程,关键是找与轴、轴平行的直线或线段平行于轴的线段长度不变,平行于轴的线段还原时长度变为原来的倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可；(2)求图形的面积,关键是能先正确画出图形,然后求出相应边的长度,再利用公式求解；(3)原图的面积与直观图的面积之间的关系为例2-6．如图,一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个边长为的正方形,则原平面图形的周长和面积分别为( )A、 B、 C、 D、 【参考答案】B【解析】由直观图还原出原图,如图,在原图中找出对应线段长度进而求出面积,∴,,,∴,原图形的周长为,∴,故选B二、组成空间几何体的基本元素1、组成空间几何体的基本元素点、线、面是组成空间几何体的基本元素。
1)点是元素,直线(线段)是点的集合,平面是点的集合(也是线的集合)2)线段是直线的子集,直线是平面的子集线段、直线、平面都是无限集3)线有直线和曲线之分面有平面和曲面之分2、平面及其表示方法(1)平面的概念：平面是处处平直的面,它是向四面八方无限延展的2)平面的表示方法：图形表示在立体几何中,通常画一个平行四边形表示一个平面,并把它想象成无限延展的符号表示平面一般用希腊字母、、…来命名,还可以用表示它的平行四边形对角顶点的字母来命名3、用运动的观点理解空间基本图形之间的关系(1)(2)(3)面动成体：面运动的轨迹(经过的空间部分)可以形成一个几何体4、点、线、面的位置关系(1)空间中直线与直线的位置关系空间中直线与直线有相交、平行与既不相交也不平行三种位置关系2)空间中直线与平面的位置关系①直线在平面内；②直线与平面平行：直线与平面没有大众点；③直线与平面相交：直线与平面有且只有一个大众点讲解：直线与平面垂直：观察直线和平面,我们看到直线和平面内的两条相交直线和都垂直,容易想象,当在平面内绕点旋转到任何位置时,都会与垂直直线给我们与平面垂直的形象,这时我们说直线和平面垂直,点为垂足,记作直线平面。
直线称作平面的垂线,平面称作直线的垂面点到平面的距离：在上图中,容易验证,线段为点到平面内的点所连线段的最短的一条,线段的长称作点到平面的距离5、空间中平面与平面的位置关系(1)两个平面相交：两个平面相交于一条直线,此时我们说这两个平面相交、如果两个平面相交,并且其中一个平面通过另一个平面的一条垂线,这两个平面就给我们互相垂直的形象,这时,我们就说两个平面互相垂直2)两个平面平行：如果两个平面没有大众点,则说这两个平面平行在上图中,在长方体中,如果面和面分别作为长方体的底面,则棱,,,都与底面垂直且等长,我们知道它们都是这个底面上的高,它们的长度称作两个底面间的距离例3-1．下列关于长方体的叙述不正确的是( )A、将一个矩形沿竖直方向平移一段距离可形成一个长方体B、长方体中相对的面都相互平行C、长方体中某一底面上的高的长度就是两平行底面间的距离D、两底面之间的棱互相平行且等长【参考答案】A【解析】A中只有移动相同距离才能形生长方体,故选A例3-2．已知下列四个结论：①铺得很平的一张白纸是一个平面；②平面的形状是平行四边形；③一个平面的面积可以等于其中正确结论的个数是( )A、 B、 C、 D、【参考答案】A【解析】在立体几何中,平面是无限延展的,所以①③错误；通常我们画一个平行四边形来表示一个平面,但并不是说平面就是平行四边形,故②错,故选A。
例3-3．一条曲线作平行移动,形成的面是( )A、平面 B、曲面 C、平面或曲面 D、锥面【参考答案】C【解析】曲面平行移动时若方向不变可形成平面,若方向改变则形成曲面例3-4．判断下列说法是否正确：(1)长方体可看成一个矩形上各点沿垂线向上移动相同距离到矩形所形成的几何体 (√)(2)一条直线平行移动,生成的面一定是平面 (×)(3)一个点运动形成一条直线 (×)(4)直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面 (√)(5)矩形上各点沿同一方向移动形生长方体 (×)例3-5．想象一下图中围绕旋转一周形成的空间几何体。
【解析】 例3-6．三个平面分空间有几种情况？并说明每种情况下能将空间分成几部分解析】种,分别为部分,部分,部分(两个面成十字,第三个面与两个面的交线垂直),部分例3-7．如图所示,在长方体中,如果把它的条棱延伸为直线,个面延展为平面,那么在这条直线与个平面中：(1)与直线平行的平面有哪几个？(2)与直线垂直的平面有哪几个？(3)与平面平行的平面有哪几个？(4)与平面垂直的平面有哪几个？解：(1)与直线平行的平面有：平面,平面；(2)与直线垂直的平面有：平面,平面；(3)与平面平行的平面有：平面；(4)与平面垂直的平面有：平面,平面,平面,平面三、多面体与棱柱1、多面体的相关定义：(1)由若干个平面多边形所围成的几何体叫做多面体2)面：围成多面体的各个多边形称为多面体的面3)棱：相邻两个面的大众边称为多面体的棱4)顶点：棱与棱的大众点边称为多面体的顶点5)对角线：一个多面体中,连接同一面上两个顶点的线段,如果不是多面体的棱,就称其为多面体的面对角线；连接不在同一面上两个顶点的线段称为多面体的体对角线6)截面：一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部),称为这个几何体的一个截面。
2、棱柱：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的大众边都互相平行,由这些面所围成的多面体叫做棱柱1)底面：两个互相平行的平面叫底面,这两面与平行于底面的截面都是全等多边形2)侧面：其余各面叫侧面,侧面都是平行四边形3)侧棱：两个侧面的大众边叫做棱柱的侧棱,侧棱都平行且相等各不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形4)顶点：侧面与底的大众顶点叫做棱柱的顶点对角线：不在同一个面上的两个顶点的连线叫做棱柱的对角线棱柱的高：两个底面的距离叫做棱柱的高5)棱柱的分类①棱柱的底面可以是三角形,四边形,五边形……我们把这样的棱柱叫分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……；②按侧棱与底面是否垂直分为：直棱柱、斜棱柱,直棱柱按底面是不是正多边形分为：正棱柱、其他直棱柱③特殊的棱柱斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱直棱柱的各个侧面都是矩形直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱正棱柱的各个侧面都是全等的矩形平行六面体：底面是平行四边形的棱柱直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体叫直平行六面体。
长方体：底面是矩形的直棱柱叫做长方体正方体：底面和侧面是正方形的棱柱叫做长方体点评：几种常见四棱柱的关系：例4-1．下列说法中正确的是( ) A、棱柱的面中,至少有两个互相平行B、棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面C、棱柱中各条棱长都相等D、棱柱的侧面是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形【参考答案】A【解析】总结：棱柱的特征：①有两个面相互平行且全等；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个四边形的大众边都互相平行例4-2．下列关于棱柱的说法正确的个数是( )①四棱柱是平行六面体；②有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；③有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的大众边都互相平行的几何体是棱柱；④底面是正多边形的棱柱是正棱柱A、 B、 C、 D、【参考答案】A【解析】四棱柱的底面可以是任意四边形；而平行六面体的底面必须是平行四边形,故①不正确；说法③就是棱柱的定义,故③正确；对比定义,显然②不正确；底面是正多边形的直棱柱是正棱柱,故④不正确例4-3．下列说法中正确的是( )。
A、直四棱柱是直平行六面体 B、直平行六面体是长方体C、六个面都是矩形的四棱柱是长方体 D、底面是正方形的四棱柱是正四棱柱【参考答案】C【解析】直四棱柱的底面不一定是平行四边形,故A错；直平行六面体的底面不一定是矩形,故B错；C正确；底面是正方形的四棱柱不一定是直四棱柱,故D错例4-4．一个棱柱是正四棱柱的条件是( )A、底面是正方形,有两个面是矩形的四棱柱B、底面是正方形,两个侧面垂直于底面的四棱柱C、底面是菱形,且有个顶点处的两条棱互相垂直的四棱柱D、底面是正方形,每个侧面都是全等的矩形的四棱柱【参考答案】D【解析】选项A、B中,两个面为相对侧面时,四棱柱不一定是直四棱柱,C中底面不是正方形,故排除选项A、B、C,故选D例4-5．如图的长方体1)这个长方体是棱柱吗？如果是,是几棱柱？为什么？(2)用平面把这个长方体分成两部分后,各部分的几何体还是棱柱吗？若是棱柱指出它们的底面与侧棱解析】(1)这个长方体是棱柱,是四棱柱,因为它满足棱柱的定义2)截面右侧部分是三棱柱,它的底面是与,侧棱是、、,截面左侧部分是四棱柱,它的底面是四边形与四边形,侧棱是、、、。
点评：正确判断几何体类型的方法：要正确判断几何体的类型,就要熟练掌握各类简单几何体的结构特征、对于有些四棱柱,互相平行的平面不只是两个,所以对于底面来说并不固定、棱柱的概念中两个面互相平行,指的是两个底面互相平行、但由于棱柱的放置方式不同,两个底面的位置就不一样,但无论如何放置,都应该满足棱柱的定义3．棱锥：有一个面是多边形,其余各面都是有一个大众顶点的三角形,由这些面所围成的多面体叫做棱锥1)底面：棱锥中的多边形叫做棱锥的底面是几边形就叫几棱锥2)侧面：棱锥中除底面以外的各个面都叫做棱锥的侧面3)顶点：棱锥中各个侧面的大众顶点叫做棱锥的顶点4)对角面：棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做对角面5)正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形,且顶点在底面的射影是底面的中心,这样的棱锥叫做正棱锥正棱锥的各侧棱都相等,各侧面都是全等的等腰三角形正棱锥的斜高：正棱锥侧面等腰三角形底边上的高,叫做正棱锥的斜高6)棱锥截面性质定理及推论定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截,那么所得的截面与底面相似,截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比推论1：如果棱锥被平行于底面的平面所截,则棱锥的侧棱和高被截面分成的线段比相等。
推论2：如果棱锥被平行于底面的平面所截,则截得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比也等于它们对应高的平方比,或它们的底面积之比例5-1．下面描述中,不是棱锥的结构特征的为( ) A、三棱锥有四个面是三角形B、棱锥都是有两个面是互相平行的多边形C、棱锥的侧面都是三角形D、棱锥的侧棱相交于一点【参考答案】B【解析】总结：棱锥的特征：①有一个面是多边形；②其余的各面是有一个大众顶点的三角形,故选B例5-2．侧棱长为的正三棱锥中,,过点作截面,则截面周长的最小值为 参考答案】【解析】沿侧棱把三棱锥展开在一个平面内,则即为截面周长的最小值,且,例5-3．正三棱锥的侧棱长是底面边长的倍,则的取值范围是( )A、 B、 C、 D、【参考答案】D【解析】正三棱锥的顶点到底面的投影为底面的中点,则底面的中点到底面顶点的连线与底棱的比值为, 则的取值范围是,故选D变式1．正四棱锥的侧棱长是底面边长的倍,则的取值范围是( )A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】正四棱锥的顶点到底面的投影为底面的中点,则底面的中点到底面顶点的连线与底棱的比值为,则的取值范围是,故选C。
变式2．一个棱锥所有的棱长都相等,则该棱锥一定不是( )A、正三棱锥 B、正四棱锥 C、正五棱锥 D、正六棱锥【参考答案】D【解析】正六棱锥的顶点到底面的投影为底面的中点,则底面的中点到底面顶点的连线与底棱的比值为,则的取值范围是,此时各棱长不相等,故选D变式3．棱锥侧面是有大众顶点的三角形,能围成一个棱锥侧面的正三角形的个数的最大值是( )A、 B、 C、 D、【参考答案】C【解析】由于顶角之和小于,故选C例5-4．所有棱长都相等的三棱锥叫做正四面体,正四面体的棱长为,、分别为棱、的中点,则的长度为( )A、B、C、D、【参考答案】B【解析】如图所示,连接、,∵正四面体的四个面都是正三角形,∴,∴,∴在中,,故选B例5-5．用两个平面将如图所示的三棱柱分为三个三棱锥 【解析】如图,三棱柱可分为三棱锥、三棱锥和三棱锥4、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分叫做棱台1)上底面：原棱锥的截面；下底面：原棱锥的底面。
2)侧面：棱台中除上下底面以外的各个面都叫做棱台的侧面侧面都是梯形3)侧棱：棱台侧面相交的线段叫做棱台的侧棱棱台的各侧棱的反向延长线交于一点4)棱台的高：棱台上下两个底面的距离叫做棱台的高5)正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台①正棱台的侧棱相等,侧面是全等的等腰梯形各等腰梯形的高相等,它叫做正棱台的斜高；②正棱台的两底面以及平行于底面的截面是相似正多边形；③正棱台的两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形例6-1．关于棱台,下列说法正确的是( )A、两底面可以不相似 B、侧面都是全等的梯形C、侧棱长一定相等 D、侧棱延长后交于一点【参考答案】D【解析】棱台的三个特征：①两底面相互平行且相似,②各侧棱延长后交于一点,③侧面都是梯形,故选D例6-2．一个棱台的上、下底面积之比为,若棱台的高是,求截得这个棱台的棱锥的高解析】如图,将棱台还原为棱锥,设是原棱锥的高,是棱台的高,∵棱台的上、下底面积之比为,∴它们的底面对应边长之比,∴,由于,∴,即,∴,即原棱锥的高是。
点评：(1)由于棱台是由棱锥用平行于底面的平面截来的,因此棱台上、下底面是相似多边形,它们的面积比等于相似比的平方,而相似比又等于小、大棱锥的高之比、侧棱长之比；(2)解答此类问题的关键是画好图形,找出棱台与截得棱台的棱锥的量的关系,画图时为了简便,也可以画截面图知识改变命运13。