2013年四川省内江市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题1．（3分）（2013•内江一模）已知是i虚数单位，复数的虚部是（ ） A．iB．﹣iC．1D．﹣1考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．分析：将原式的分子分母都乘以分母的共轭复数即可得出．解答：解：∵复数===﹣i．故选B．点评：熟练掌握复数的除法法则是解题的关键． 2．（3分）（2013•内江一模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4=18﹣a5，则S8=（ ） A．72B．68C．54D．90考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：根据已知中a4=18﹣a5，，我们易得a4+a5=18，根据等差数列前n项和公式，我们易得S8=4（a1+a8），结合等差数列的性质“p+q=m+n时，ap+aq=am+an”即可得到答案．解答：解：在等差数列{an}中，∵a4=18﹣a5，∴a4+a5=18，则S8=4（a1+a8）=4（a4+a5）=72故选A点评：本题考查的知识点是等差数列的性质，其中利用p+q=m+n时，ap+aq=am+an，是解答本题的关键． 3．（3分）（2013•内江一模）已知a是函数的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（ ） A．f（x0）=0B．f（x0）＞0C．f（x0）＜0D．f（x0）的符号不确定考点：函数的零点；函数的零点与方程根的关系．专题：压轴题．分析：a是函数的零点，函数是增函数，本题根据函数的单调性和零点的性质进行求解．解答：解：∵在（0，+∞）上是增函数，a是函数的零点，即f（a）=0，∴当0＜x0＜a时，f（x0）＜0，故选 C．点评：函数是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数的唯一零点． 4．（3分）（2013•内江一模）已知函数y=f（x），x∈R，数列{an}的通项公式是an=f（n），n∈N，那么函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{an}是递增数列”的（ ） A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：数列的函数特性．专题：规律型；探究型．分析：本题可通过函数的单调性与相应数列的单调性的联系与区别来说明，可以看到，函数增时，数列一定增，而数列增时，函数不一定增，由变化关系说明即可解答：解：由题意数y=f（x），x∈R，数列{an}的通项公式是an=f（n），n∈N，若函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”，则“数列{an}是递增数列”一定成立若“数列{an}是递增数列”，现举例说明，这种情况也符合数列是增数列的特征，如函数在[1，2]先减后增，且1处的函数值小，综上，函数y=f（x）在[1，+∝）上递增”是“数列{an}是递增数列”的充分不必要条件故选A．点评：本题考查数列的函数特性，解题的关键是认识到数列与函数的不同，数列是离散的，而函数提连续的，由这些特征对两个命题的关系进行研究即可 5．（3分）（2013•内江一模）已知=（ ） A．﹣B．C．D．考点：二倍角的正弦；平面向量共线（平行）的坐标表示；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：利用向量的平行的坐标运算，直接求出三角函数值，然后利用二倍角公式求解即可．解答：解：因为，所以3sin2θ﹣1=0，cos2θ=1﹣2sin2θ=1﹣=．故选D．点评：本题考查向量的平行，坐标运算，考查计算能力． 6．（3分）（2013•内江一模）某次测量中得到的A样本数据如下：84、86、86、88、88、88、90、90、90、90．若B样本数据恰好是A样本数据都减2后所得数据，则A、B两样本的下列数字特征对应相同的是（ ） A．中位数B．平均数C．标准差D．众数考点：极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：利用众数、平均数、中位标准差的定义，分别求出，即可得出答案．解答：解：A样本数据：84、86、86、88、88、88、90、90、90、90．B样本数据：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88．中位数分别为88，86，不相等，A错平均数88，86不相等，B错．众数分别为90，88，不相等，D错．A样本方差S2=[（84﹣88）2+2×（86﹣88）2+3×（88﹣88）2+4×（90﹣88）2]=4，标准差S=2，B样本方差S2=[（82﹣86）2+2×（84﹣86）2+3×（86﹣86）2+4×（88﹣86）2]=4，标准差S=2，C正确故选C．点评：本题考查众数、平均数、中位标准差的定义，属于基础题． 7．（3分）（2013•内江一模）已知O是坐标原点，点A（1，2），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是（ ） A．﹣1B．C．0D．1考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．专题：数形结合．分析：首先画出可行域，z=代入坐标变为z=x+2y，即y=﹣x+z，z表示斜率为﹣的直线在y轴上的截距，故求z的最大值，即平移直线y=﹣x与可行域有公共点时直线在y轴上的截距的最大值即可．解答：解：如图所示：z=•=x+2y，即y=﹣x+z，首先做出直线l0：y=﹣x，将l0平行移动，当经过A（0，）点时在y轴上的截距最大，从而z最大．因为B（0，），故z的最大值为z=0+2×=1．故选D．点评：本题考查线性规划、向量的坐标表示、平面向量数量积的运算等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题． 8．（3分）（2013•内江一模）已知函数f（x）对任意的x∈R有f（x）+f（﹣x）=0，且当x＞0时，f（x）=ln（x+1），则函数f（x）的大致图象为（ ） A．B．C．D．考点：奇偶函数图象的对称性；对数函数的图像与性质．专题：作图题．分析：先由函数的奇偶性排除选项A、B，再由对数函数的图象变换及其性质选出正确选项解答：解：∵函数f（x）对任意的x∈R有f（x）+f（﹣x）=0，∴函数f（x）为R上的奇函数，图象关于原点对称，排除A、B将y=lnx的图象向左平移1个单位长度，即可得到f（x）=ln（x+1）的图象，由对数函数的图象性质排除C故选D点评：本题考查了奇函数的定义及其图象性质，对数函数的图象变换和性质 9．（3分）（2013•内江一模）函数f（x）在R上可导，且f（x）=x2f′（2）﹣3x，则f（﹣1）与f（1）的大小关系是（ ） A．f（﹣1）=f（1）B．f（﹣1）＞f（1）C．f（﹣1）＜f（1）D．不确定考点：函数的单调性与导数的关系；函数单调性的性质．专题：导数的概念及应用．分析：因为函数关系式中的f′（2）为常数，先求出导函数f′（x）令x=2求出f′（2），即可得到f（x），把1和﹣1代入即可比较f（﹣1）与f（1）的大小关系．解答：解：f′（2）是常数，∴f′（x）=2xf′（2）﹣3⇒f′（2）=2×2f′（2）﹣3⇒f′（2）=1，∴f（x）=x2﹣3x，故f（1）=1﹣3=﹣2，f（﹣1）=1+3=4．故选B．点评：考查学生导数的运算，以及已知自变量求函数值的能力，属于基础题． 10．（3分）（2013•内江一模）定义区间（a，b），[a，b），（a，b]，[a，b]的长度均为d=b﹣a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，（1，2）∪[3，5）的长度d=（2﹣1）+（5﹣3）=3．用[x]表示不超过x的最大整数，记{x}=x﹣[x]，其中x∈R．设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d1，d2，d3分别表示不等式f（x）＞g（x）、方程f（x）=g（x）、不等式f（x）＜g（x）解集的长度，则当0≤x≤2012时，有（ ） A．d1=2，d2=0，d3=2010B．d1=1，d2=1，d3=2010 C．d1=2，d2=1，d3=2009D．d1=2，d2=2，d3=2008考点：进行简单的合情推理．专题：新定义；函数的性质及应用．分析：先化简f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，再化简f（x）＞g（x），再分类讨论：①当x∈[0，1）时，②当x∈[1，2）时③当x∈[2，2011]时，从而得出f（x）＞g（x）在0≤x≤2011时的解集的长度；对于f（x）=g（x）和f（x）＜g（x）进行类似的讨论即可．解答：解：f（x）=[x]•{x}=[x]•（x﹣[x]）=[x]x﹣[x]2，g（x）=x﹣1，f（x）＞g（x）⇒[x]x﹣[x]2＞x﹣1，即（[x]﹣1）x＞[x]2﹣1，当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＜1，∴x∈[0，1）；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＜0，∴x∈∅；当x∈[2，2012]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＞[x]+1，∴x∈∅；∴f（x）＞g（x）在0≤x≤2012时的解集为[0，1），故d1=1，f（x）=g（x）⇒[x]x﹣[x]2=x﹣1，即（[x]﹣1）x=[x]2﹣1，当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x=1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0=0，∴x∈[1，2）；当x∈[2，2012]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x=[x]+1，∴x∈∅；∴f（x）=g（x）在0≤x≤2012时的解集为[1，2），故d2=1，f（x）＜g（x）⇒[x]x﹣[x]2＜x﹣1即（[x]﹣1）x＜[x]2﹣1，当x∈[0，1）时，[x]=0，上式可化为x＞1，∴x∈∅；当x∈[1，2）时，[x]=1，上式可化为0＞0，∴x∈∅；当x∈[2，2012]时，[x]﹣1＞0，上式可化为x＜[x]+1，∴x∈[2，2012]；∴f（x）＜g（x）在0≤x≤2012时的解集为[2，2012]，故d3=2010．故选B．点评：本题主要考查了抽象函数及其应用，同时考查了创新能力，以及分类讨论的思想和转化思想，属于中档题． 二、填空题11．（3分）（2013•内江一模）已知，且，则tanα= ﹣ ．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：首先根据sin2α+cos2α=1以及角的范围求出sinα和cosα的值，然后根据tanα=求出结果．解答：解：∵sin2α+cos2α=1 ，①∴（sinα+cosα）2=1+2sinαcosα=∴sinαcosα=﹣∵，∴sinα＞0 cosα＜0 sinα﹣cosα＞0 ∴（sinα﹣cosα）2=1+=sinα﹣cosα= ②联立①②得sinα=，cosα=﹣∴tanα=﹣故答案为：﹣．点评：此题考查了同角三角函数的基本关系，巧用sin2α+cos2α=1是解题的关键，要注意角的范围． 12．（3分）（2013•内江一模）如图茎叶图表示的是甲，乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为 ．考点：茎叶图；众数、中位数、平均数．专题：概率与统计．分析：由已知的茎叶图，求出甲乙两人的平均成绩，然后求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，得到答案．解答：解：由已知中的茎叶图可得甲的5次综合测评中的成绩分别为88，89，90，91，92，则甲的平均成绩：（88+89+90+91+92）=90设污损数字为x则乙的5次综合测评中的成绩分别为83，83，87，99，90+X则乙的平均成绩：（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩不小于均甲的平均成绩的概率为，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣=故答案为：．点评：本题考查的知识点是平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式，要求会读图，并且掌握茎叶图的特点：个位数从主干向外越来越大．属简单题． 13．（3分）（2013•内江一模）已知程序框图如图所示，则执行该程序后输出的结果是 ．考点：循环结构．专题：图表型．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算变量a的值并输出．解答：解：程序运行过程中，各变量的值如下表示：a i 是否继续循环循环前 2 1/第一圈 2 是第二圈﹣1 3 是第三圈 2 4 是第四圈 5 是…第3n+1圈 3n+2 是第3n+2圈﹣1 3n+3 是第3n+3圈 2 3n+4 是…第2008圈 2009 是第2009圈﹣1 2010 是第2010圈 2 2011 是第2011圈 2012 否故最后输出的a值为故答案为：．点评：本题主要考查了循环结构，写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，属于基础题． 14．（3分）（2013•内江一模）设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2）且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是 （，2） ．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题．分析：由已知中可以得到函数f（x）是一个周期函数，且周期为4，将方程f（x）﹣logax+2=0恰有3个不同的实数解，转化为函数f（x）的与函数y=﹣logax+2的图象恰有3个不同的交点，数形结合即可得到实数a的取值范围．解答：解：∵对于任意的x∈R，都有f（x﹣2）=f（2+x），∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4．又∵当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有3个不同的实数解，则函数y=f（x）与y=loga（x+2）在区间（﹣2，6]上有三个不同的交点，如下图所示：又f（﹣2）=f（2）=3，则有 loga4＜3，且loga8＞3，解得：＜a＜2，故答案为 （，2）．点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，指数函数与对数函数的图象与性质，其中根据方程的解与函数的零点之间的关系，将方程根的问题转化为函数零点问题，是解答本题的关键，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题． 15．（3分）（2013•内江一模）设函数f（x）=|x|x+bx+c，则下列命题中正确命题的序号有 （2）（3） ．（1）函数f（x）在R上有最小值；（2）当b＞0时，函数f（x）在R上是单调增函数；（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称；（4）方程f（x）=0可能有四个不同实数根．考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当b＜0时，可以根据函数的值域加以判断函数f（x）在R上是否有最小值；（2）当b＞0时，把函数f（x）=|x|x+bx+c分x≥0和x＜0两种情况讨论，转化为二次函数求单调性；（3）函数f（x）的图象关于点（0，c）对称，可以根据函数图象的平移解决；（4）根据f（x）=|x|x+bx+c=的每一段分段函数的图象都是一个二次函数的部分图象，且它们有一个公共点（0，c），结合二次函数的图象可得结果．解答：解：（1）当b＜0时，f（x）=|x|x+bx+c=值域是R，故函数f（x）在R上没有最小值；（2）当b＞0时，f（x）=|x|x+bx+c=，知函数f（x）在R上是单调增函数；（3）若f（x）=|x|x+bx那么函数f（x）是奇函数（f（﹣x）=﹣f（x）），也就是说函数f（x）的图象关于（0，0）对称．而函数f（x）=|x|x+bx+c的图象是由函数f（x）=|x|x+bx的图象沿Y轴移动，故图象一定是关于（0，c）对称的．（4）f（x）=|x|x+bx+c=的每一段分段函数的图象都是一个二次函数的部分图象，且它们有一个公共点（0，c），由图角可得解得方程f（x）=0最多有三个不同的实根，不可能有四个不同实数根．所以（4）不正确．故答案为：（2）（3）．点评：本题考查了分段函数的单调性、对称性和最值问题，对于含有绝对值的一类问题，通常采取去绝对值的方法解决，体现了分类讨论的数学思想；函数的对称性问题一般转化为函数的奇偶性加以分析，再根据函数图象的平移解决，体现了转化、运动的数学思想；对于存在性的命题研究，一般通过特殊值法来解决． 三、解答题16．（12分）（2013•内江一模）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为，．（I） 求角B的大小；（Ⅱ）若f（x）=cos2x+csin2（x+B），求函数f（x）的最小正周期和单增区间．考点：正弦定理；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性．专题：综合题．分析：（Ⅰ）根据cosA的值小于0，得到A为钝角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinA的值，然后由a，b及sinA的值，利用正弦定理即可求出sinB的值，根据B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；（Ⅱ）由a，b及cosB的值，利用余弦定理即可求出c的值，把求出的c和求出的B的值代入到f（x）中，利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦、余弦函数公式化为一个角的正弦函数，根据周期的公式即可求出函数的最小正周期，由正弦函数的单调递增区间即可求出f（x）的单调增区间．解答：解：（Ⅰ）由cosA=﹣＜0，A∈（，π），得到sinA=，又a=2，b=2，（2分）由正弦定理得：=，则sinB=，因为A为钝角，所以；（5分）（Ⅱ）由a=2，b=2，cosB=，根据余弦定理得：22=c2+12﹣4c•，即（c﹣2）（c﹣4）=0，解得c=2或c=4，由A为三角形的最大角，得到a=2为最大边，所以c=4舍去，故c=2，（6分）把c=2代入得：===，（10分）则所求函数的最小正周期为π，由，得，则所求函数的单增区间为．（13分）点评：此题考查学生灵活运用正弦．余弦定理化简求值，灵活运用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式化简求值，掌握正弦函数的单调性，是一道中档题．学生求B度数的时候注意A为钝角这个隐含条件． 17．（12分）（2013•内江一模）某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）满足关系y=﹣x+120．（1）销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？（2）若该商场获得利润不低于500元，试确定销售单价x的范围．考点：函数模型的选择与应用．专题：作图题；函数的性质及应用．分析：（1）确定销售利润，利用配方法求最值；（2）利用该商场获得利润不低于500元，建立不等式，即可确定销售单价x的范围．解答：解：（1）由题意，销售利润为W=（﹣x+120）（x﹣60）=﹣x2+180x﹣7200=﹣（x﹣90）2+900，∵试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，有﹣（x﹣90）2+900≤1.45×60x，∴60＜x≤87∴当x=87时，利润最大，最大利润是891；（2）∵该商场获得利润不低于500元，∴（x﹣60）（﹣x+120）≥500∴70≤x≤110∴70≤x≤110时，该商场获得利润不低于500元．答：（1）当x=87时，利润最大，最大利润是891；（2）该商场获得利润不低于500元，销售单价x的范围为[70，110]．点评：本题考查函数模型的构建，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 18．（12分）（2013•内江一模）已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4=14，且a1，a3，a7成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：计算题．分析：（1）由已知得，解方程可求d，进而可求通项（2）由=，利用裂项可求Tn，由Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立可知Tn最大值≤λ（n+2），可求解答：解：（1）设公差为d．由已知得解得d=1或d=0（舍去） 所以a1=2，故an=n+1（2）因为=所以+…+==因为Tn≤λan+1对∀n∈N*恒成立∴≤λ（n+2）对∀n∈N*恒成立即对∀n∈N*恒成立又所以点评：新课标下对数列的考查要求降低，只对等差、等比数列通项和求和要求掌握．数列求和的方法具有很强的模型（错位相减型、裂项相消型、倒序相加型），建议熟练掌握，将恒成立问题转化为最值是常用的方法，需要注意． 19．（12分）（2013•内江一模）武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图．专题：计算题．分析：（1）直接利用频率分布直方图，求出各组的频率，然后求出频数．（2）利用频率×样本=频数，求出各组人数．（3）设出3组的人数符号，然后列出所有基本事件，求出基本事件的数目，满足题意的数目，求出所求概率即可．解答：解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1；（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10；因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）；共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．点评：本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力． 20．（13分）（2013•内江一模）已知函数f（x）=ax2﹣3x+lnx（a＞0）（1）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线平行于x轴，求函数f（x）在区间上的最值；（2）若函数f（x）在定义域内是单调函数，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；函数的单调性与导数的关系；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，可求a的值，令f′（x）＜0，可得函数f（x）的单调减区间；令f′（x）＞0，可得单调增区间；然后确定函数的极值，最后比较极值与端点值的大小，从而确定函数的最大和最小值．（2）要保证原函数在定义内单调，需保证其导函数在定义域上不变号，分类讨论，从而求得参数的范围．解答：解：（1）∵f（x）=ax2﹣3x+lnx（a＞0），∴f′（x）=2ax﹣3+，x＞0∵曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，∴k=2a﹣2=0，∴a=1，∴f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=2x﹣3+，x＞0，令f′（x）=2x﹣3+＜0，可得＜x＜1；令f′（x）＞0，可得0＜x＜或x＞1；∴函数f（x）的单调减区间为[，1），单调增区间为（1，+∞），当在区间时．∴f（x）在区间[，1]上为增函数，f（x）在区间[1，2]上为增函数．（4分）∴fmax（x）=f（2）=﹣2+ln2，fmin（x）=f（1）=﹣2．（6分）（2）原函数定义域为（0，+∞）∴f′（x）=2ax﹣3+=，∵函数f（x）在定义域（0，+∞）内为单调函数，∴f'（x）≤0或f'（x）≥0在（0，+∞）恒成立由于a＞0，设g（x）=2ax2﹣3x+1（x∈（0，+∞））由题意知△=9﹣8a≤0∴a≥所以a的取值范围为：a≥．（12分）点评：本小题主要考查函数单调性的应用、导数在最大值、最小值问题中的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，导数中常见的恒成立问题，属中档题． 21．（14分）（2013•内江一模）对于函数f（x），若存在x0∈R，使f（x0）=x0成立，则称x0为f（x）的不动点．如果函数有且仅有两个不动点0、2．（1）求b，c满足的关系式；（2）若c=2时，相邻两项和不为零的数列{an}满足（Sn是数列{an}的前n项和），求证：．考点：数列与不等式的综合；数列与函数的综合．专题：综合题；不等式的解法及应用．分析：（1）利用f（x）的不动点的定义，结合函数有且仅有两个不动点0，2，可得0，2是方程（1﹣b）x2+cx+a=0的两个根，利用韦达定理，可求b，c满足的关系式；（2）确定an=﹣n，于是要证的不等式即为从而我们可以考虑证明不等式：（x＞0）．解答：（1）解：设=x，可得（1﹣b）x2+cx+a=0，（b≠1）．由于函数有且仅有两个不动点0，2，故0，2是方程（1﹣b）x2+cx+a=0的两个根，∴解得a=0，b=1+；（2）证明：c=2时，b=1+=2，∴∴可得2Sn=an﹣，当n≥2时，2Sn﹣1=an﹣1﹣．两式相减得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1+1）=0，所以an=﹣an﹣1或an﹣an﹣1=﹣1．当n=1时，2a1=a1﹣，∴a1=﹣1，若an=﹣an﹣1，则a2=1与an≠1矛盾，所以an﹣an﹣1=﹣1，从而an=﹣n，于是要证的不等式即为从而我们可以考虑证明不等式：（x＞0）令1+=t，x＞0，则t＞1，x=．再令g（t）=t﹣1﹣lnt，g′（t）=1﹣，由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0，所以当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增，所以g（t）＞g（1）=0，于是t﹣1＞lnt，即＞ln，x＞0…①．令h（t）=lnt﹣1+，h′（t）=﹣=，当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增，所以h（t）＞h（1）=0，于是lnt＞1﹣，即ln＞，x＞0…②．由①②可知（x＞0）∴点评：本题主要考查利用导数研究函数的单调性，数列与不等式的综合应用，考查学生分析解决问题的能力，属于难题． 16。
