5-4静电场的环路定理静电场的环路定理 当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作当带电体在静电场中移动时，静电场力对带电体要作功，这说明静电场具有能量功，这说明静电场具有能量AFd.=dlEq0=.dl=Eq0.dr 一、静电场力的功一、静电场力的功=2r40dr0drA=40rrrab02=Eq0.dl cosrrdrdlEdlrrababq0q40=barr110baoorrooabrrdrrAba11442 给定试验电荷在静电场中移动时，电场力所作给定试验电荷在静电场中移动时，电场力所作的功只与试验电荷的起点和终点的位置有关，而与的功只与试验电荷的起点和终点的位置有关，而与路径无关即电场力是保守力静电场是保守场路径无关即电场力是保守力静电场是保守场0lol dEqA静电场中电场强度静电场中电场强度 的环流为零的环流为零E0ll dE保守力作功的特点：保守力作功的特点：静电场的环路定理：静电场的环路定理：0 0q二、电势能、电势、电势差电势能、电势、电势差1、电势能电势能(W)(W)abaWbW保守力作功等于势能的减少保守力作功等于势能的减少babaoabWWl dEqA令令b b点的势能为零（点的势能为零（W Wb b=0=0）a a点的电势能：点的电势能：baoal dEqW 试验电荷试验电荷q qo o在空间某处的电势能在数值上就等于在空间某处的电势能在数值上就等于将将q qo o从该处移至势能的零点电场力所作的功。
从该处移至势能的零点电场力所作的功电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上，当场电势能的零点可以任意选取，但是在习惯上，当场源电荷为有限带电体时，通常把源电荷为有限带电体时，通常把电势能的零点选取电势能的零点选取在无穷远处在无穷远处电势能是系统的，不能反映场的性质，但其比值w/q0与q0无关，反映的是场的性质aoal dEqWa a点的电势能：点的电势能：、电势、电势 a a 点的电势在数值上等于将单位正电荷从点的电势在数值上等于将单位正电荷从 a a点移到点移到无穷远处静电场力对它所作的功无穷远处静电场力对它所作的功单位：伏特（V）注aoaal dEqWV、电势差、电势差VbVa=E dla.b 静电场中静电场中a,b两点的电势差，等于将单位正电荷两点的电势差，等于将单位正电荷从从a点移至点移至b点电场力所作的功点电场力所作的功)(baoabVVqAbabaoabWWl dEqAoboabaqWqWl dE1.点电荷的电势点电荷的电势 三、三、电势的计算电势的计算=VpE.dl8pV=r4q0=2r4q8p0dr cos 00Eqrdr若若q0,则则V0若若q0,则则V0rrqao114V1=ViV2+=+对于点电荷系：对于点电荷系：q2q1Pr1r22.点电荷系的电势点电荷系的电势 电势叠加原理电势叠加原理 r4qii=V0r4q11r4q22=V+00E.dl8p=2E.dl8p1+=E8p(+E).dl21=VpE.dl8p3.连续带电体的电势连续带电体的电势 r4qd=Vd0r4qd=V0dq注：注：电势的叠加是标量叠加，不同于电场强度的叠加。
电势的叠加是标量叠加，不同于电场强度的叠加qR+=4oqR 例例1 求一均匀带电球面的电势已知：求一均匀带电球面的电势已知：q,RR0dr+=82r4oq.dlE内内.dlE外外+=R8rR.dlEV=8rP.r 1.rR(球内任意一点球内任意一点)均匀带电球面球内任意一点的电势等于球表面均匀带电球面球内任意一点的电势等于球表面的电势04o=qr=rdr82r4oq.drE外外r8=2.rR(球外任意一点球外任意一点)qR+P.r 均匀带电球面，球外任意一点的电势等于将电均匀带电球面，球外任意一点的电势等于将电荷集中于球心的点电荷的电势荷集中于球心的点电荷的电势电 势 梯 度德国生理学家德国生理学家物理学家物理学家亥姆霍兹亥姆霍兹（1821-1894）趣闻轶事趣闻轶事:十九世纪的十九世纪的“万能万能”博士博士亥姆霍兹是亥姆霍兹是1919世纪一位世纪一位“万能万能”博士，一身兼任生理学博士，一身兼任生理学家、物理学家、数学家以及机智的实验家等多种头衔家、物理学家、数学家以及机智的实验家等多种头衔1919世纪末，一位评论家对亥姆霍兹写过这样的话：世纪末，一位评论家对亥姆霍兹写过这样的话：“他他从研究生理学开始，解剖了眼睛和耳朵，探索它们是怎从研究生理学开始，解剖了眼睛和耳朵，探索它们是怎样起作用的，准确构造是怎样的。
但是，他发现要研究样起作用的，准确构造是怎样的但是，他发现要研究眼睛和耳朵的作用，就不能不同时研究光和声的本性，眼睛和耳朵的作用，就不能不同时研究光和声的本性，这导致他研究物理学当他开始研究物理学的时候，已这导致他研究物理学当他开始研究物理学的时候，已经是这个世纪最有成就的生理学家之一，以后他又成了经是这个世纪最有成就的生理学家之一，以后他又成了这个世纪最伟大的物理学家之一可是他又发现，要研这个世纪最伟大的物理学家之一可是他又发现，要研究物理学不能不掌握数学，就又研究数学，成为这个世究物理学不能不掌握数学，就又研究数学，成为这个世纪最有成就的数学家之一纪最有成就的数学家之一5-5 5-5 等势面等势面 电场强度与电势梯度的关系电场强度与电势梯度的关系 一一.等势面：等势面：在静电场中，电势相等的点所组成的面在静电场中，电势相等的点所组成的面2 2）等势面与电场线处处正交）等势面与电场线处处正交（3 3）电场线指向电势降低的方）电场线指向电势降低的方向向（4 4）等势面和电场线密集）等势面和电场线密集处场强量值大，稀疏处场强处场强量值大，稀疏处场强量值小量值小（1 1）在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零。
在静电场中，沿等势面移动电荷时，电场力作功为零相邻等势面之间的电势差相等相邻等势面之间的电势差相等电偶极子的等势面电偶极子的等势面 平行板电容器的电场线与等势面平行板电容器的电场线与等势面+I II二、电势梯度矢量二、电势梯度矢量ndlVVdVdn 考虑空间两等势面考虑空间两等势面V,V+dV ，作等势面的法线与两，作等势面的法线与两等势面交于等势面交于B1 、B2两点两点,相距相距dn,任意点任意点B3距距B1为为dl .cosdldn cosdndVdldVdndVdndVdldVcos1,沿 方向变化率最大 定义B 处的电势梯度矢量Vn dVndn B3B1B2方向：沿等势面法向，指向电势增加的方向方向：沿等势面法向，指向电势增加的方向大小：电势梯度的大小等于大小：电势梯度的大小等于电势电势dVndn gradV在该点最大空间变化率在该点最大空间变化率电势梯度矢量：电势梯度矢量：dVndn 记为：记为：dVgradVndn即即I IIndlVVdVdnB3B1B2三、场强与电势梯度的关系三、场强与电势梯度的关系dVE dndVEdn EnE 负号表示 与 的方向相反，正是 的方向gradVndndVE 电场中各点的场强等于各点的电势电场中各点的场强等于各点的电势 梯度矢量的梯度矢量的负值。
负值I IIndlVV dVdnB3B1B212B BoodAqVVdVq E dnE 电场中某一点的场强沿任一方电场中某一点的场强沿任一方向的分量等于这一点的电势沿该方向的分量等于这一点的电势沿该方向的方向导数的负值向的方向导数的负值任一方向的电场强度的分量：任一方向的电场强度的分量：dldVdndVgradVEllcos)(E El lI II II IndlVV dVdnB B3 3B B1 1B B2 2E求：轴线上任一点的场强求：轴线上任一点的场强qr4oV=4oq=()x2+R221=4oq()x2+R223x解：解：例例1 1 已知均匀带电圆环轴线上任一点的电势为：已知均匀带电圆环轴线上任一点的电势为：ExE=xV=xRPrx。