2015高考数学（文）一轮复习质量检测 数列(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．(2013年青岛期末)等差数列{an}中，已知a1＝－6，an＝0，公差d∈N*，则n(n≥3)的最大值为 ( )A．7 B．6 C．5 D．8解析：在等差数列中an＝a1＋(n－1)d＝0，可化简得n＝＋1，因为d∈N*，故dmin＝1，则nmax＝7，选A.答案：A2．等比数列{an}中，若a4a5＝1，a8a9＝16，则a6a7等于 ( )A．－4 B．4 C．±4 D.解析：由等比数列的性质易得a4a5，a6a7，a8a9三项也成等比数列，由等比中项可得(a6a7)2＝(a4a5)·(a8a9)，解得a6a7＝±4，又a6a7＝a4a5·q4＝q4>0，故a6a7＝4.答案：B3．(2013年合肥高三联考)已知等比数列{an}的前n项和为Sn＝a·2n－1＋，则a的值为 ( )A．－ B. C．－ D.解析：因为等比数列前n项和可写为形如Sn＝kqn－k，所以－＝，解得a＝－.选A.答案：A4．(2013年广州高三调研)已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a10＝ ( )A．－55 B．－5 C．5 D．55解析：a1＋a2＋…＋a10＝－2＋3－4＋5－…＋11＝5，故选C.答案：C5．(2013年兰州高三诊断)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝ ( )A．2 B. C. D．3解析：∵q≠1，∴＝＝1＋q4＝3，q4＝2，＝＝，选B.答案：B6．已知正项等比数列{an}满足：a3＝a2＋a1，若存在两项am，an，使得＝4a1，则＋的最小值为 ( )A. B. C. D．不存在解析：设an＝a1qn－1，代入a3＝a2＋a1得q2－q－2＝0，∴q＝2.由＝4a1，得＝8，m＋n＝6，∴＋＝(m＋n)＝≥，选A.答案：A7．设数列{an}满足：an＋1＝，a2 011＝2，那么a1等于 ( )A．－ B．2 C. D．－3解析：a2＝，a3＝＝÷＝－，a4＝，a5＝a1，…，归纳得数列{an}的周期为4，进而a2 011＝a3＝2，a1＝－＝－.答案：A8．(2013年合肥质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 012＝ ( )A．22 012－1 B．3×21 006－3C．3×21 006－1 D．3×21 005－2解析：由题设可得a1＝1，a2＝2，an＝2an－2，奇数项是公比为2，首项是1的等比数列，偶数项是公比为2，首项也是2的等比数列，所以S2 012＝＋＝3×21 006－3.答案：B9．已知等差数列{an}满足a2＝3，a5＝9，若数列{bn}满足b1＝3，bn＋1＝abn，则{bn}的通项公式为bn＝ ( )A．2n－1 B．2n＋1C．2n＋1－1 D．2n－1＋2解析：据已知易得an＝2n－1，故由bn＋1＝abn可得bn＋1＝2bn－1，变形为bn＋1－1＝2(bn－1)，即数列{bn－1}是首项为2，公比为2的等比数列，故bn－1＝2n，解得bn＝2n＋1.答案：B10．已知正项等比数列{an}满足log2a1＋log2a2＋…＋log2a2 009＝2 009，则log2(a1＋a2 009)的最小值为 ( )A．1 B. C．2 D．log22 009解析：本题可先由对数的运算性质得到a1a2a3…a2 009＝22 009，又由等比数列的性质得a1a2 009＝a2a2 008＝…＝a，故由上式可得a＝22 009，∴a1 005＝2，∴a1a2 009＝4，而后再由基本不等式可确定所求式子的最小值．∴log2(a1＋a2 009)≥log22＝2.答案：C11．（2014·河北质检）已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝( )A. 2 B. 4C. 5 D. 解析：依题意得＝＝2，即＝2，故数列a1，a3，a5，a7，…是一个以5为首项、2为公比的等比数列，因此＝4，选B。
答案：B12．(2014·江南十校联考)已知函数f(x)＝xa的图象过点(4,2)，令an＝，n∈N*.记数列{an}的前n项和为Sn，则S2013＝( )A. －1 B. －1C. －1 D. ＋1解析：由f(4)＝2可得4a＝2，解得a＝，则f(x)＝x.∴an＝＝＝－，S2013＝a1＋a2＋a3＋…＋a2013＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)＝－1.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝2，a11－a4＝7，则S13＝________.解析：{an}为等差数列，设公差为d，a11－a4＝7d＝7，∴d＝1，而a2＝2，∴a1＝1，an＝n，∴S13＝91.答案：9114．(2013年辽宁重点中学期末)已知单调递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2，a4的等差中项，则数列{an}的通项公式为________．解析：由题意得a2＋a4＝2(a3＋2)，又a2＋a3＋a4＝28，得a3＝8，设等比数列{an}的公比为q，可得＋8＋8q＝28，解得q＝2，而a1＝2，所以an＝2n.答案：an＝2n15．已知{an}是首项为1的等比数列，Sn是{an}的前n项和，且9S3＝S6，则数列{}的前5项和为________．解析：设等比数列{an}的公比为q.∵9S3＝S6，∴8(a1＋a2＋a3)＝a4＋a5＋a6，∴8＝q3，即q＝2，∴an＝2n－1，∴＝n－1，∴数列是首项为1，公比为的等比数列，故数列的前5项和为＝.答案：16．(2012年长沙一模)数列{an}的前n项和为Sn，且数列{an}的各项按如下规则排列：，，，，，，，，，，…，，，，…，，…，则a15＝________；若存在正整数k，使Sk<10，Sk＋1≥10，则k＝________.解析：以2为分母的项有1个，以3为分母的项有2个，以4为分母的项有3个，以5为分母的项有4个，以6为分母的项有5个，故a15应该是以6为分母的最后一个分数，即.因为＋＋＋…＋＝＝，所以＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＝，又＋＋＋＋＝，＋＋＋＋＋＝3，所以＋＋＋…＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＋<10，＋＋＋…＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＋＝＋3>10.所以k＋1＝1＋2＋3＋4＋5＋6＝21，k＝20.答案： 20三、解答题(本大题共6小题，共70分，17题10分，18～22题，每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(2012年郑州质检)已知等差数列{an}满足a5＝9，a2＋a6＝14.(1)求{an}的通项公式；(2)若bn＝an＋qan(q>0)，求数列{bn}的前n项和Sn.解：(1)设{an}的首项为a1，公差为d，则由a5＝9，a2＋a6＝14，得解得所以{an}的通项公式an＝2n－1.(2)由an＝2n－1得bn＝2n－1＋q2n－1.①当q>0且q≠1时，Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(q1＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝n2＋；②当q＝1时，bn＝2n，得Sn＝n(n＋1)．所以数列{bn}的前n项和Sn＝18．(2012年南昌模拟)已知各项均不相等的等差数列{an}的前四项和S4＝14，且a1，a3，a7成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设Tn为数列{}的前n项和，若Tn≤λan＋1对∀n∈N*恒成立，求实数λ的最小值．解：(1)设公差为d，由已知得解得d＝1或d＝0(舍去)，所以a1＝2，故an＝n＋1.(2)因为＝＝－，所以Tn＝－＋－＋…＋－＝－＝.因为Tn≤λan＋1对∀n∈N*恒成立，即≤λ(n＋2)，对∀n∈N*恒成立．又＝≤＝，所以实数λ的最小值为.19．(2012年广州调研)已知数列{an}中，a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1(n≥2)．(1)设bn＝an＋1＋λan，是否存在实数λ，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解：(1)解法一：假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列，则有b＝b1b3，由a1＝1，a2＝3，且an＋1＝an＋2an－1，得a3＝5，a4＝11.所以b1＝a2＋λa1＝3＋λ，b2＝a3＋λa2＝5＋3λ，b3＝a4＋λa3＝11＋5λ，所以(5＋3λ)2＝(3＋λ)(11＋5λ)，解得λ＝1或λ＝－2.当λ＝1时，bn＝an＋1＋an，bn＋1＝an＋an＋1，且b1＝a2＋a1＝4，有＝＝＝2(n≥2)．当λ＝－2时，bn＝an＋1－2an，bn－1＝an－2an－1，且b1＝a2－2a1＝1，有＝＝＝－1(n≥2)．所以存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．当λ＝1时，数列{bn}为首项是4，公比是2的等比数列；当λ＝－2时，数列{bn}为首项是1，公比是－1的等比数列．解法二：假设存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．设＝q(n≥2)，即an＋1＋λan＝q(an＋λan－1)，an＋1＝(q－λ)an＋qλan－1.与已知an＋1＝an＋2an－1比较，令解得λ＝1或λ＝－2.所以存在实数λ，使数列{bn}为等比数列．当λ＝1时，数列{bn}为首项是4，公比是2的等比数列；当λ＝－2时，数列{bn}为首项是1，公比是－1的等比数列．(2)解法一：由(1)知an＋1＋an＝4×2n－1＝2n＋1(n≥1)．当n为偶数时，Sn＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋(a5＋a6)＋…＋(an－1＋an)＝22＋24＋26＋…＋2n＝＝(2n＋2－4)；当n为奇数时，Sn＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)＝1＋23＋25＋…＋2n＝1＋＝(2n＋2－5)．故数列{an}的前n项和Sn＝解法二：由(1)知：an＋1－2an＝(－1)n＋1(n≥1)，所以－＝＝n＋1(n≥1)，当n≥2时，＝＋＋＋…＋＝＋2＋3＋…＋n＝＋＝＋.因为＝也适合上式，所以＝＋(n≥1)．所以an＝[2n＋1＋(－1)n]．则Sn＝[(22＋23＋24＋…＋2n＋1)＋((－1)1＋(－1)2＋(－1)3＋…＋(－1)n)]＝＝.解法三：由(1)可知，所以an＝[2n＋1＋(－1)n]．则Sn＝[(22－1)＋(23＋1)＋(24－1)＋(25＋1)＋…＋(2n＋(－1)n－1)＋(2n＋1＋(－1)n)]．当n为偶数时，Sn＝(22＋23＋24＋25＋…＋2n＋2n＋1)＝×＝(2n＋2－4)；当n为奇数时，Sn＝[(22＋23＋24＋25＋…＋2n＋2n＋1)－1]＝×＝(2n＋2－5)．故数列{an}的前n项和Sn＝20．(2012年合肥质检)已知等差数列{an}的前n项和为An，a1＋a5＝6，A9＝63.(1)求数列{an}的通项公式an及前n项和An；(2)数列{bn}的前n项和Bn满足6Bn＝8bn－1(n∈N*)，数列{an·bn}的前n项和为Sn，求证：≥－.解：(1)由题意，得A9＝9a5＝63，得a5＝7.而a1＋a5＝6，得a1＝－1，则d＝＝2，故an＝2n－3，An＝n2－2n.(2)由得6bn＝8bn－8bn－1，所以＝4(n≥2)．又6b1＝8b1－1，得b1＝，故bn＝·4n－1＝22n－3，所以an·bn＝(2n－3)·22n－3.Sn＝－1·2－1＋1·21＋3·23＋5·25＋…＋(2n－3)·22n－3，4Sn＝－1·21＋1·23＋3·25＋…＋(2n－5)·22n－3＋(2n－3)·22n－1，两式相减得－3Sn＝－＋2(2＋23＋25＋…＋22n－3)－(2n－3)·22n－1＝－＋2·－(2n－3)·22n－1＝，Sn＝，得＝＋，故－＝＋＝－>0，故随着n的增大而增大，所以≥＝－.21．(2012年浙江金华十校联考)设数列{an}满足条件：a1＝8，a2＝0，a3＝－7，且数列{an＋1－an}(n∈N*)是等差数列．(1)设cn＝an＋1－an，求数列{cn}的通项公式；(2)求Sn＝|c1|＋|c2|＋…＋|cn|；(3)数列{an}的最小项是第几项，并求出该项的值．解：(1)因为数列{an＋1－an}是等差数列，且首项c1＝a2－a1＝－8，公差d＝(－7－0)－(0－8)＝1，所以cn＝－8＋(n－1)·1＝n－9，即cn＝n－9(n∈N*)．(2)由n－9>0得n>9，所以，当n≤9时，Sn＝(－c1)＋(－c2)＋…＋(－cn)＝n＝；当n>9时，Sn＝S9＋c10＋…＋cn＝36＋(n－9)＝.(3)由(1)得an－an－1＝n－10(n∈N*，n>1)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(n－10)＋(n－11)＋…＋(－8)＋8＝(n－1)＋8＝(n2－19n)＋17.当n＝9或10时，第9及第10项的值最小，为－28.22．(2013年衡阳质检)国家助学贷款是由财政贴息的信用贷款，旨在帮助高校家庭经济困难学生支付在校学习期间所需的学费、住宿费及生活费．每一年度申请总额不超过6 000元．某大学2012届毕业生在本科期间共申请了24 000元助学贷款，并承诺在毕业后3年内(按36个月计)全部还清．签约的单位提供的工资标准为第一年内每月1 500元，从第13个月开始，每月工资比前一个月增加5%直到4 000元．该同学计划前12个月每个月还款额为500，第13个月开始，每月还款额比前一月多x元．(1)若该同学恰好在第36个月(即毕业后三年)还清贷款，求x的值；(2)当x＝50时，该同学将在第几个月还清最后一笔贷款？他当月工资的余额是否能满足每月3 000元的基本生活费？(参考数据：1.0518＝2.406,1.0519＝2.526,1.0520＝2.653，1.0521＝2.786)解：(1)依题意，从第13个月开始，每个月的还款额an构成等差数列，其中a1＝500＋x，公差为x，从而到第36个月，该同学共还款12×500＋24a1＋，令12×500＋24a1＋＝24 000，解得x＝20元，即要使在三年全部还清，从第13个月起每月必须比上个月多还20元．(2)设该同学第n个月还清，则应有12×500＋(500＋50)×(n－12)＋≥24 000，整理得n2－3n－828＝0，解得n≥>30.∵n∈N，取n＝31，则该同学工作31个月就可以还清贷款．这个月该同学的还款额为：24 000－[12×500＋(500＋50)×(30－12)＋]＝450元，第31个月该同学的工资为：1 500×1.0519＝1 500×2.526＝3 789元，因此该同学的剩余工资为3 789－450＝3 339元，能够满足当月的基本生活需求．第 12 页 共 12 页 。
