第十章第十章 粘性流体动力学基础粘性流体动力学基础 本章概述本章概述:粘性是流体的重要属性之一，自然界中存在的流体都具有粘性理论和实验表明，对于气体绕物体的流动，粘性影响主要在靠近物体表面的薄层内（称为附面层）这样求解粘性流动的问题，可以通过求解粘性流动的基本方程，也可以求解附面层内的流动因此研究附面层的目的，一方面是解决计算气流绕物体的摩擦阻力，而另一方面是估算物体上各点的热流量从而寻求减小摩擦阻力，减轻气动加热的途径，采取必要的设计措施本章首先讨论粘性流动的基本方程，由于连续方程并不涉及到粘性问题，因此本章主要讨论动量方程和能量方程，然后导出湍流流动的雷诺方程，最后讨论附面层基本知识本章内容构成了粘性流体流动的基本知识10.110.1微分形式的动量方程（微分形式的动量方程（N-SN-S）10.210.2微分形式的能量方程微分形式的能量方程 10.3 10.3 初始条件和边界条件初始条件和边界条件 10.4 10.4 雷诺方程和雷诺应力雷诺方程和雷诺应力 10.510.5附面层基本知识附面层基本知识 10.610.6附面层微分方程附面层微分方程 10.710.7附面层积分方程附面层积分方程 10.110.1微分形式的动量方程（微分形式的动量方程（N-SN-S）图图10.110.1动量方程推导用图动量方程推导用图 与第八章分析质量守恒方法类似，我们可以针对微元控制体图10.1,列出动量方程 F=V )(Vi)out (Vi)in (cvtdvim im（10.1）同样，由于控制体为微元体，所以上式积分可以近似为 V )V)dxdydz （10.2）(cvtdv(t（10.3）动量流量发生在六个面上，三个流入三个流出.F=V)VxV)VyV)+VzV)dxdydz (t(x(x(x上式为矢量方程，右边中括号内可以改写成 V)VxV)VyV)+VzV)(t(x(x(x=V +V)+（10.4）t()xyzVVVVVVVtxyz根据连续方程上式中右边中括号内为零，第二大项括号内为加速度，因此方程（10.3）可以写为 F=（10.5）dVdxdydzdt（10.6）上式说明，微元控制体内流体的加速度乘以控制体内流体的质量，等于控制体所受的合外力。
控制体所受的外力有两大类，质量力和表面力质量力是在某种外部场的作用下使得所有流体质量受到的力，如重力、离心力、电磁力等等表面力是由于控制面上应力的作用而产生的力，这些应力包括压强p和流体运动而产生的粘性应力 ,其中压强的作用方向垂直指向控制面ijxxyxzxxyyyzyijxzyxzzppp 表示在与i轴垂直的面上j方向的应力ij下面来分析控制体所受表面力的合力为了简单起见，以x方向为例图10.2给出了六个面上x方向应力作用的表面力图图10.210.2分析控制体所受表面力分析控制体所受表面力 将这些力进行矢量和可得出微元控制体所受表面力在x方向的分量为,()()()x surfxxyxzxdFdxdydzxyz（10.7）将式（10.6）的第一行代入，两边同除以 得dvdxdydz()()()xxxyxzxdFpdvxxyz （10.8 a）同理可以得出y，z方向的合力()()()yxyyyzydFpdvyxyz()()()zxzyzzzdFpdvzxyz （10.8 b）（10.8 c）将上式写成矢量形式为 surfviscousdFdFpdvdv （10.9）上式右边第二项为粘性力项，由九个分量组成yxxxzxviscousdFidvxyzxyyyzyjxyzyzxzzzkxyz（10.10）式（10.10）还可以简写成如下的散度形式ijviscousdFdv（10.11）式中 （10.12）xxyxzxijxyyyyzxzyzzz称为粘性应力张量，为对称张量，即 ，当 时，因此该张量有6个独立分量。
表面力的合力包含压强梯度和粘性应力散度两部分将(10.11)，(10.9)，代入（10.5）最后得出对于无限小微元体的微分形式动量方程ijijjiijijdVRpdt（10.13）式中 为单位体积所受的质量力R用文字表示该方程的物理意义为单位体积所受的质量力单位体积所受的压力 单位体积所受的粘性力密度加速度 （10.14）将方程（10.13）写成分量式为yxxxzxxxxxxxyzVVVVpRVVVxxyztxyz（10.15a）xyyyzyyyyyyxyzVVVVpRVVVyxyztxyzyzxzzzzzzzzxyzVVVVpRVVVzxyztxyz（10.15b）（10.15c）对于无粘流动 因此方程（10.13）变成0ijdVRpdt（10.16)式（10.16）即为描述理想流动的欧拉方程(Eulers equation)对于牛顿流体，粘性应力与流体的变形以及粘性系数成正比，具体关系为V)V)V)22(3xxxVx22(3yyyVy22(3zzzVzyxxyVVxyyzyzVVyzxzzxVVzy（10.17）式(3.118)又称为广义牛顿内摩擦定律将(3.118)代入到(3.116)可得出 =V)（10.18 a）xdVdt222222(3xxxxVVVpRxxyzx =V)（10.18 b）ydVdt222222(3yyyyVVVpRyxyzy =V)（10.18 c）zdVdt222222(3zzzzVVVpRzxyzz式（10.18）即为描述牛顿粘性流体运动的微分方程式，又称为纳维尔斯托克斯（Navier-Stokes）方程，简称N-S方程。
它是由C.L.M.H.Navier(1785-1836)和Sir George G.Stokes(1819-1903)分别独立导出的，方程即以他们的名字联合命名该方程可以写成矢量形式，并用 代替D Dtd dt2()3DVRpVVDt （10.19）对于不可压流动，上式为 21DVRpVDt （10.20）式中 称为运动学粘性系数N-S方程为二阶非线性偏微分方程组在一般情况下，从数学上精确求解此方程是不可能的但是对于一些简单的流动，如平行平板的定常层流流动、圆管内的定常层流流动等是可以得到精确解的，而且这些精确解与实验结果完全一致10.210.2微分形式的能量方程微分形式的能量方程类似于3.8节，由式（3.72）同样可以针对微元控制体列出能量方程(Vn n)dA (10.21)svQWW()()cvcspe dvet因为在微元控制体中没有轴功，所以 采用与导出式（10.3）完全相同的方法，可以得出0sW()()()()vxyzQWeVVVdxdydztxyz(10.22)式中 .类似于式（10.4）,考虑到连续方程，上式成为epvdeQWp dxdydzdt(10.23)传热量 可以分为两大类，一类是由于热传导对微元控制体的传热，另一类是辐射、化学反应等其它形式的热量传递。
用来表示第二种形式对控制体内单位质量流体的传热量Qq 下面推导由于热传导而产生的传热量，根据傅立叶热传导定律有qk T 其中k为导热系数，与分析质量流率和动量流率相同，我们可以得出6个面上由于热传导而产生的热流率,将6个面上的热流量代数求和得出()()()kxyzQqdxdydzxyz q dxdydz (10.24)将傅立叶热传导定律代入上式得出()kQk T dxdydz (10.25)粘性应力做功率等于粘性应力分量、相应的速度分量和相应的面积三项的乘积，见图10.3，与x轴垂直的左侧面上粘性应力做功率为 其中 (10.26).v LFxWw dydz()xxxxyxyzxzwVVV 图图10.310.3分析粘性应力做功率分析粘性应力做功率 与上述分析质量流量、动量流量和热流量完全相同可以得出，在与x轴垂直的两个面上粘性应力的做功率为()xxxyxyzxzVVVdxdydzx同理可以得出另外两个方向上的功率，因此总的粘性应力做功率应为()()vxxxyxyzxzxyxyyyzyzWVVVVVVxy()xzxyzyzzzVVVdxdydzz()ijdxdydzV (10.27)将式(10.27)、(10.25)代入到(10.23)便得到微分形式的能量方程 V V (10.28)dedt()(pk T )ijq其中212euVgz上式中粘性力做功项还可以分解为 V V (10.29)()ij()ij 其中 为粘性耗散函数，对于牛顿不可压流体，该耗散函数为 2222222yyxxzVVVVVxyzxy 22yxzzVVVVyzzx 通过上式可以看出 0，也就是说耗散项永远是正的，即粘性应力所做的功总是消耗机械能，使流体的内能增加。
将式(10.29)代入到(10.28)中，并采用（10.13）消去 ，得到内能形式的能量方程ij V (10.31)(dupdt)()kTq 根据连续方程有 V V (10.32)(p 1)()p ddpdtdt 它表示单位时间内单位体积流体在压强p的作用下所作的膨胀（或压缩）功对于完全气体，由热力学公式 1()dsdudTpdtdtdt11()dhduddppdtdtdtdt(10.33)(10.34)因此可以将式(10.31)写成熵或焓的形式()dsTk Tqdt()dhdpk Tqdtdt(10.35)(10.36)注意到 ，(10.37)vduc dTpdhc dT,vckconst式(10.31)和式(10.36)又可以写成用温度表示的能量方程V (10.38)(vdTcpdt 2)kTq 2pdTdpckTqdtdt (10.39)10.3 10.3 初始条件和边界条件初始条件和边界条件 通过上边的推导，我们得出了描述牛顿流体运动的微分方程组，共5个方程，包括连续方程（1个），动量方程（3个），能量方程（1个），而未知量有6个 （以直角坐标为例，柱坐标结果一样），因此方程并不封闭，所以还要补充一个热力学的关系式即，完全气体状态方程,()xyzV V Vp u TpRT(10.40)这样包括状态方程在内，基本方程组共有6个方程，构成封闭的方程组。
但是要得到具体的解还要给定相应的初始和边界条件，这些条件统称为定解条件一）初始条件（一）初始条件 在初始时刻，方程组的解应该等于该时刻给定的函数值在数学上可以表示为 在0ttV(x,y,z,t0)=V0(x,y,z)p(x,y,z,t0)=p0(x,y,z)(x,y,z,t0)=0(x,y,z)T(x,y,z,t0)=T0(x,y,z)(10.41)式中V0(x,y,z)，p0(x,y,z)，0(x,y,z)，T0(x,y,z)均为时刻的已知函数二）边界条件（二）边界条件 在运动流体的边界上，方程组的解所应满足的条件称为边界条件边界条件随具体问题而定，一般来讲可能有以下几种情况：固体壁面（包括可渗透壁面）上的边界条件；不同流体的分界面（包括自由液面、气液界面、液液界面）上的边界条件；无限远或管道进出口处的边界条件等对于不可渗漏的固体边界速度为无滑移条件、温度为无突跃条件，即Vfluid=Vwall，Tfluid=Twall (10.42)如果固体边界为可渗漏，则边界条件要根据具体情况来确定对于所有的流动进出口截面，应给出每时刻截面上速度、压力和温度的分布对于流体绕流物体的问题，进出口边界变成了无穷远边界，应给出无穷远边界条件。
10.4 雷诺方程和雷诺应力从对湍流的研究可知，湍流运动中任何物理量都随时间和空间不断的变化，所以要想用方程求解这种运动的瞬时速度是非常困难的研究表明，虽然湍流运动十分复杂，但是它仍然遵循连续介质运动的特征和一般力学规律，因此，雷诺提出用时均值概念来研究湍流运动的方法，导出了以时间平均速度场为基础的雷诺时均NS方程雷诺从不可压缩流体的NS方程导出湍流平均运动方程（后人称此为雷诺方程）并引出雷诺应力的概念之后，人们引用时均值概念导出湍流基本方程，使湍流运动的理论分析得到了很大的发展常用的时均运算关系式常用的时均运算关系式设A、B、C为湍流中物理量的瞬时值，为物理量的时均值，为物理量的脉动值，则具有以下的时均运算规律ABC、ABC、（1）时均量的时均值等于原来的时均值，即AA(10.43)因为在时间平均周期T内 是个定值，所以其时均值仍为原来的值A（2）脉动量的时均值等于零，即 0A 0011()0TTAA dtAA dtAATT(10.44)（3）瞬时物理量之和的时均值，等于各个物理量时均值之和，即 =(10.45)ABAB000111()TTTABAB dtAdtBdtABTTT（4）时均物理量与脉动物理量之积的时均值等于零，即0AB(10.46)因为 在平均周期内是个定值，所以有A00110TTABAB dtAB dtABTT（5）时均物理量与瞬间物理量之积的时均值等于两个时均 物理量之积，即ABAB(10.47)同样在平均周期内 是个定值，所以 A0011TTABABdtABdtABTT（6）两个瞬时物理量之积的时均值，等于两个时均物理量之积与两个脉动量之积的时均值之和，即 ABABA B(10.48)000000111()()()11TTTTTTABABdtAABB dtABA BB AA B dtTTTABBA dtAB dtA B dtA BTTAB推论:(10.49)ABCABCAB CBA CCA BA B C(7)瞬时物理量对空间坐标各阶导数的时均值，等于时均物理量对同一坐标的各阶导数，即 0011()nnnnnnnnTTnnnnAAssAAAdtAdtsTssTs(10.50)其中，代表任意坐标方向，如 。
s,x y z推论：脉动量对空间坐标各阶导数的时均值等于零，即0nnAs(10.51)（8）瞬时物理量对于时间导数的时均值，等于时均物理量对时间的导数，即AAtt(10.52a)在准定常的条件下，(10.52b)0At10.4.2 10.4.2 湍流运动的连续方程湍流运动的连续方程 由于湍流流动中各物理量都具有某种统计特征的规律，所以基本方程中任一瞬间物理量都可用平均物理量和脉动物理量之和来代替，并且可以对整个方程进行时间平均的运算在湍流运动中，瞬时运动的速度应满足粘性流体的基本方程其连续方程为()()()0yxzVVVtxyz对其进行时均运算()()()()()()()()()()()()()()()()yyxxzzyyxxzyyxxzzyxzVVVVVVtxyztxyzVVVVVVtxyzVVVVVtxyVVVtzxyxyz()zVz所以可压缩湍流运动的连续方程为()()()()()()0yyxxzzVVVVVVtxyzxyz与瞬时值的连续方程相比，多出了三个脉动量乘积的导数的时均值对于不可压缩湍流运动，则连续方程可化为,0Ct0yxzVVVxyz(10.53a)并可得到 (10.53b)0yxzVVVxyz可见，对不可压湍流运动，时均运动和脉动运动的连续方程和瞬时运动的连续方程具有相同的形式。
10.4.310.4.3雷诺方程雷诺方程 对于不可压缩粘性流动，在不考虑质量力的情况下，NS方程具有下列形式 2222222222222222221()1)1()xxxxxyzyyyyyyyxyzzzzzzzzxxxyzxVVVVVVVpVVVtxyzxVVVVVVVpVVVtxyzyxyzVVVVVVVpVVVtxyzzxxzzyy （10.54a）利用不可压流瞬时运动的连续方程0yxzVVVxyz可将式（10.54 a）改写成 2222221()xyxxxxzxxxV VVV VV VVVVptxyzxxyz 2222221()yxyyyzyyyyVV VV VV VVVVptxyzyxyz 2222221()yzxzzzzzzzV VV VVV VVVVptxyzzxyz（10.54b）然后对式（10.54b）中的第一式进行时间平均运算，则有 2222221()xyxxxxzxxxV VVV VV VVVVptxyzxxyz（10.55）由于 ，应用时均物理量与脉动物理量之积的时均值等于零的运算规则，即（），可得xxxVVV0,0ABBA ,xxxxxxxyxyxyxzxzxzVVV VVVVVV VVVVVV VVV这样式（10.55）经过化简后，可表示为 222222()()()()xyxxxxzxxxyxxzxxV VVV VV VtxyzVVVpVVVVVVxyyxxyz 再应用时均运动的连续方程（10.53），上式可化为 222222()xxxxxxxxyzxyxxxzVVVVVVVpVVVtxyzxxyzVVVVVVxyz 222222()yyyyyyyxyzxyyyyzVVVVVVVpVVVtxyzyxyzVVVVVVxyz 222222()zzzzzzzxyzyzxzzzVVVVVVVpVVVtxyzzxyzVVVVVVxyz（10.56）方程组（10.56）就是著名的不可压缩流体作湍流运动时的时均运动方程称为雷诺方程。
将时均运动方程（10.56）和NS方程（10.54 a）相比可以看出，湍流中的应力，除了由于粘性所产生的应力外，还有由于湍流脉动运动所形成的附加应力，这些附加应力称为雷诺应力雷诺方程与NS方程在形式上是相同的，只不过在粘性应力项中多出了附加的湍流应力项以上导出的雷诺方程和连续方程中，除过要求解的四个变量 、和 外，还有与脉动速度有关的如 、等六个未知数四个方程中有十个未知数，即方程组不封闭要使方程组封闭，必须补充其它未知量的关系式才能够进行求解xVyVzVpxxVVxyVV10.4.410.4.4雷诺应力雷诺应力 将雷诺方程与粘性流体应力形式的动量方程进行比较，由式（10.56）可以看出，在湍流的时均运动中，除了原有的粘性应力分量外，还多出了由脉动速度乘积的时均值 、xxVV 等构成的附加项，这些附加项构成了一个对称的二阶张量，即xyVV xxxyxzxyyyyzxzyzzzVVVVVVVVVVVVVVVVVV（10.57）式（10.57）中的各项构成了所谓的雷诺应力雷诺应力的物理意义可理解如下 在稳定湍流中绕某点M处取一微元六面体图10.4a，考察过点M取与x轴垂直的某微元面，其面积为 。
在单位时间内通过单位面积的动量为 ，其时均值为1ds2xVxxxxVVVV22（10.58）式（10.58）左端是单位时间内通过垂直于x轴的单位面积所传递的真实动量的平均值，右端第一项是同一时间内通过同一面积所传递的按时均速度计算的动量，第二项是由于x方向 上速度脉动所传递的动量根据动量定理，通过 面有动量传递，那么在 面上就有力的作用式（10.58）中各项都具有力的因次，从而证明了在湍流情况下，沿x方向的时均真实应力，应等于时均运动情况下x方向上的应力加上由于湍流中的x方向脉动引起的附加应力对 面来说，附加应力与它垂直，所以是法向应力，因此称之为附加湍流正应力1ds1ds1dsxxVV图图 10.4a 10.4a 湍流应力分析湍流应力分析 图图 10.4b 10.4b 湍流应力分析湍流应力分析 由于在点M处沿y方向上有脉动速度 ，则在单位时间内通过微元面 （垂直于y轴）上的单位面积流入的质量为 如图10.4a所示，这部分流体本身具有x方向的速度 ，因而随之传递的x方向上的动量为 ，其时均值为yV2dsyVxxxVVVyxVVxyxyxxyxyVVVVVVVVV)(0yxVV根据时均运算关系式，所以 xyxyVVVV（10.59a）yV图 10.4b表示一个单位长度的流体微团因y方向的速度脉动 ，而在单位时间内通过单位面积上增加的x方向上的动量的时均值，即()1yxyxyxyxVVVyVVVVyV（10.59b）式（10.59a）表明，在单位时间内通过垂直于y方向的 面的单位面积所传递出去的x方向动量为 ，因而该单位面积就受到一个沿x方向的大小为 的作用力。
式（10.59b）说明了这个力的变化量可以理解为：当流体质点由时均速度较高的流体层向时均速度较低的流体层脉动时由于脉动引起的动量传递，使低速层被加速反过来，如果脉动由低速层向高速层发生，高速层被减速，因此这两层流体在x方向上各受到切应力的作用是湍流中流体微团的脉动造成的，称为湍流切应力，记作 2dsyxVVyxVVyxVVt湍流正应力和湍流切应力统称为雷诺应力10.4.510.4.5普朗特混合长度理论普朗特混合长度理论 从雷诺方程可以看出，由于湍流运动采用了时均方法，在运动方程中出现了雷诺应力，从而增加了方程中的未知量，因此需要补充新的关系式才能求解如果补充的关系式是一个代数方程，而不需要补充任何附加的微分方程来求解时均流场，则称这种模型为零方程模型；若补充的关系式是一个微分方程（如湍流脉动动能方程），则称为一方程模型；若是两个微分方程，则称为双方程模型等等本节所讨论的普朗特混合长度理论即是所谓的代数模型（零方程模型）混合长度理论是基于经验性的一个经过实验验证的理论模型在许多问题中得到了较好的应用其基本思想是如果能够找出湍流应力与其它流场参数之间的关系，即找到了这些物理量的补充关系式，就可以使方程组封闭。
为此普朗特把湍流脉动与气体分子运动相比拟，认为雷诺应力是由流体微团的脉动引起的它和分子运动引起粘性应力的情况十分相似在定常层流直线运动中，由分子动量输运而引起的粘性切应力 ，与此相对应，当湍流的时均流动的流线为直线时，认为脉动引起的雷诺切应力（湍流应力）也可以表示成上述类似的形式，即/lxdVdydyVdxtt（10.60）式中的 称为湍流粘性系数这就是混合长度理论的基本思想txV另一方面，湍流应力与脉动速度有关，为了确定这种关系，普朗特做出了第一个假设：即流体微团x方向脉动速度 近似等于两层流体的时均速度之差，即()xxxxxdVdVVVlVldydy这一假设的基础是认为流体微团在y方向脉动，从这一层跳入另一层时，要经过一段与其他流体微团不相碰撞的距离 （参看图10.5），在这段距离上速度保持不变这个距离ll称为混合长度，它是流体微团在湍流运动中的自由行程的平均值经过 距离后，流体微团以自己原来的动量进入另一层和周围流体相掺混l从图（10.5）上可以看出，层上的流体质点脉动到y层时，其速度比y层上的流体时均速度大 它引起y层上流体速度有一个正的脉动，其值 同理，当流体微团从y层脉动到 层时，使 层的流体有一个负的脉动速度，其大小也是 。
)(lyxV/xldVdy)(ly/xldV dy)(ly/xldV dy图图10.5湍流的混合长度湍流的混合长度 普朗特又做出第二个假设，他认为y方向的脉动速度yV和/xldVdy成正比其根据可用图10.5说明两层流体混合时，由于上下两层流体的速度差为 ，因此两流体质点间相互作用从而引起横向脉动，速度为 显然第二个假设成立，即/xldVdyyVxydVVCldy普朗特引入了混合长度的概念，确定了脉动速度 的大小与时均速度梯度之间的关系，从而确定湍流切应力的大小xyVV、2220011dyVdCldtdyVdlCTdtVVTVVxTxyTxyxt式中混合长度 尚未确定，因此可取 这样湍流切应力就可以写为 l1C 22dyVdlVVxyxt考虑到湍流切应力的符号 应与粘性切应力的符号 相同为tl标出符号，上式可写成dyVddyVddyVdlxtxxt2（10.61）式中，混合长度 一般需要实验确定2xtdVldyl10.510.5附面层基本知识附面层基本知识 附面层的概念附面层的概念 1 1附面层厚度及流动阻力附面层厚度及流动阻力 粘性是流体的重要属性根据流体粘性的特点，在靠近物体表面处，流体将粘附在物面上而流速为零，即满足无滑移条件。
而沿物面的法线方向上，流速逐渐增加，到某一距离处，流速与外边界速度近似相等我们定义靠近物体表面，存在较大速度梯度的薄层为附面层或边界层通常定义当V=0.99V0（V0为附面层外边界的速度）时的垂直物面的法向距离为附面 层厚度，用 表示在航空上，有实际意义的问题大多属于大雷诺数下的流动问题此时紧贴物面法线方向速度梯度很大的这一层都是很薄的，因此附面层厚度 是个小量气流流过物体表面的距离越长，附面层厚度也越大，即附面层厚度随气流流过物体的距离而增加粘性影响较大的另一种情况是流体在物体后面的部分，通常要离开物体的表面，即在物体后面形成所谓的尾迹区由于粘性的作用较强，粘性切应力作用较大，因而形成流动阻力显然，该阻力产生的根源是流体与物体表面之间的摩擦以及附面层分离引起的之外，由于附面层脱离后的尾迹区中，还会导致物体表面上产生流动方向的压力差，因而形成所谓的压差阻力在附面层外边界，流速接近于外边界速度，因此附面层外边界的速度梯度很小而空气的粘性系数也很小，所以在附面层之外，可以忽略粘性的影响，而作为理想流动来处理总之，在靠近物体表面的附面层内以及在物体之后的尾迹区内，粘性都有显著的影响2 2附面层中沿物面的法向压强保持近似不变附面层中沿物面的法向压强保持近似不变 在附面层内，除了速度梯度 很大外，还有另外一个重要的特点，对于物面曲率半径比较大，即物面不太弯曲的情况，沿着其物面的法线方向流体压强保持近似不变。
如果测量流体流过平板的附面层内沿y方向的压强梯度，的确可以得到在附面层内压强p沿y方向不变,即 该结论非常重要，它可以使附面层运动方程大大简化同时它还使得理想流体的结论具有实际意义当按理想流体理论计算附面层外边界的压强分布后，即可得到物面上对应点的压强Vy0py3 3位移厚度位移厚度 和动量损失厚度和动量损失厚度*所谓的位移厚度 就是由于附面层内速度降低而要求流道加宽的厚度，即全部粘流所占的流道比无粘流体流动应占流道所加宽的部分，即是位移厚度0v0 vx图图10.6 10.6 附面层位移厚度附面层位移厚度设物体上某点处的附面层厚度为 如图10.6所示，垂直纸面方向为单位宽度则粘性流体与理想流体同时流过该物面时，由于粘性流体中附面层的影响，所减少的质量流量为000()xVV dy其中 是附面层外边界处理想流体的密度和速度；分别是附面层内的密度和速度这些减少的质量流量要在主流中挤出 的距离才能流过去因此它应等于以理想流体 流过0,0 V,Vx*0,0V 距离上的质量流量，即*00000()xVVV dy所以得 （10.62）*000(1)xVdyV由此可见，在质量流量相等的条件下，犹如将理想流体的流动区域自物面向外移动了一个 的距离。
它表示了由于粘性的作用，附面层内流体质量流量相对理想流体减小的程度对于不可压流体，上式可改写为*00(1)xVdyV(10.63)根据以上的分析，如果按理想流体设计的型面，为了使相同质量流量的粘性流体能够通过则物面应向外移动一个 的距离位移厚度的概念，对于流动方向要求严格的流道设计具有重要的意义特别是对于管道内出现声速截面时，实际管道壁面必须进行修正由于流通面积的复杂性，精确的 的距离很难计算准确，下面给出一种相对简便的近似方法进行修正，即*设附面层位移厚度取决于当地马赫数和沿流动下游的距离，即假设位移厚度与流向距离成正比，则根据经验知位移厚度随马赫数的变化按下列规律确定：*x tg（a）2345012345aa Maa Maa Maa Maa Ma（b）式中，与马赫数的关系为 012243457.16665;6.694431;2.2097180.3385411;2.3611065 10;6.0763751 10aaaaaa 式中，式（a）和（b）适合于设计马赫数直到10的超声速及高超声速喷管由于附面层内的流速小于理想流体的流速，因此附面层内流体的动量也会减小单位时间内通过附面层厚度 的流体实际具有的动量为 ，此部分流体若以附面层外边界上理想流体速度 运动时，所具有的动量为 ，因此其动量损失应等于单位时间内以速度 、密度 的流体流过一层厚度为20 xV dy0V00 xV V dy0V0 的流体所具有的动量，即*2*200000XxVV V dyV dy 称为动量损失厚度，即*0000(1)xxVVdyVV（10.64）对不可压缩流体，则0*000(1)xxVVdyVV（10.65）附面层的转捩附面层的转捩根据雷诺实验，粘性流体存在着两种流态，即层流和湍流。
附面层流动和管流一样有层流附面层和湍流附面层之分实验观察表明，流体从物体前缘开始，先形成层流附面层层流附面层的存在有一个极限情况，超过此极限时，层流处于不稳定状态，并逐渐过渡为湍流附面层图10.7是均匀来流流过平板时的流动图形，图中O-A称为层流附面层，A-B称为转紊 流 附 面 层转 捩 段层 流 附 面 层BAov图图10.7 10.7 平板上的附面层平板上的附面层 捩段，转捩起点A距平板前缘的距离用 表示，对应于转捩点A的雷诺数称为临界雷诺数，即 ,通常转捩雷诺数的TXTecrV XR大小要由实验确定一般地对于绕平板的流动，经过转捩段A-B后，即 附面层转变为湍流由 可以 565 10 3 10ecrR ReRecrRecr得到转捩点的位置：RecrTXV（10.66）由上式可见，转捩点的位置与流体的粘性系数、密度、来流速度和临界雷诺数有关文献5引用了米歇尔（Michel）基于实验提出的转捩点位置XT和相应的动量损失厚度之间的关系为*2.9TeexRR（10.66 a）参考文献6给出了经过改进的半经验公式*0.4351.718TexeRR60.310 20TeXR只要速度分布光滑和表面光滑，上式提供了确定转捩点位置的较好的方法。
10.66 b）10.610.6附面层微分方程附面层微分方程 附面层概念的提出，可以将粘性流动的求解简化为求解附面层内的流动和附面层外边界的理想流动要求解附面层内的详细流动细节，必须求解附面层微分方程10.6.110.6.1层流附面层微分方程层流附面层微分方程 由于附面层内的流动为粘性流动，因此应符合 方程，所以可以根据附面层的特点，将 方程简化得到附面层微分方程为了简化推导，考虑二维不可压缩层流流动，取物面为 坐标轴，垂直于物面为 轴如果忽略壁面曲率和质量力的影响，则连续方程和 可表示为 NSNSxyNS0yxVVxy22221()xxxxxxyVVVVVpVVtxyxxy 22221()yyyyyxyVVVVVpVVtxyyxy（10.68）为了简化式（10.68），对它进行无量纲化根据附面层流动的特点，选取附面层外边界速度 、物体的特征长度 、附面层厚度 及密度 为特征量，对上式进行无量纲化，即令0VL20000,/Re/ReyxxyVVxyytpxytVpVLL VVVLV（10.69）式中，将式（10.69）代入基本方程式（10.68）可得0ReV L222211()RexxxxxxyVVVVVpVVtxyxxy 0yxVVxy22222111()()()ReReReyyyyyxyVVVVVpVVtxyyxy（10.70）上式中带“”的物理量的数量级均为1，因此各项的量级取决于相应的系数的量级。
由于在附面层中 ，所以方程中带有Re 12111,1ReRe的项可以忽略方程变为0yxVVxy22xxxxxyVVVVpVVtxyxy（10.71）0py利用式（10.69），可将上式还原为有量纲形式的方程，即0yxVVxy221xxxxxyVVVVpVVtxyxy 0py（10.72）上式即为平面壁的二维不可压层流附面层方程由上式的最后一个方程可以看出，对于直壁，沿垂直于壁面方向，压强近似保持不变即附面层内横向截面上的压强近似等于附面层外边界处的主流压强因此在求解绕平面物体（或物面曲率半径比较大的物体）的流动时，第三个方程可以去掉,而压强可以用附面层外边界的压强代替 因此，平面壁的二维不可压附面层方程为0p0yxVVxy2021xxxxxyVVVpVVVtxyxy （10.73a）（10.73b）对于曲面物体，采用沿曲面壁方向作为 坐标轴，轴与 坐标轴垂直并从壁面算起采用正交曲线坐标系，并采用与上述同样的分析方法，考虑到物面的曲率半径为 ，经数量及分析后，得到曲线坐标系中的附面层方程为xxyR0yxVVxy221xxxxxyVVVVpVVtxyxy 21xVpyR（10.74）由上式可以看出，对于曲壁的情况，由于壁面弯曲产生的离心力，使得横向的压强梯度不为零，显然这是由于壁面弯曲造成的。
求解附面层方程（10.73）或（10.74），必须根据具体问题提出相应的边界条件和初始条件下面给出初始条件和附面层内外边界上的边界条件初始条件：时，0tt0(,)xxVV x y t0(,)yyVVx y t边界条件：1）在物面上，满足物滑移条件，即 时，；0y 0,0 xyVV 2)在附面层外边界，满足外边界条件，即 时，其中 附面层外边界上的理想流体的速度，可以通过附面层外的无粘流动求出0y 0()xVV x0()V x10.6.210.6.2湍流附面层微分方程湍流附面层微分方程 对于二维不可压湍流附面层，方程（10.68）中的动量方程中存在有湍流切应力的附加应力项，省略各时均化参数的记号，则有NS经过数量级的分析，湍流附面层方程可以写成如下形式：0yxVVxy221()xyxxxxxxxyV VVVVVV VpVVtxyxyxy 21xVpyR（10.76）22221()()xyxxxxxxxxyV VVVVVVV VpVVtxyxxyxy 22221()()yyyyyyxyyxyVVVVVV VV VpVVtxyyxyxy（10.75）0yxVVxy10.710.7附面层积分方程附面层积分方程 虽然附面层微分方程比较有了很大的简化，但是要求解这一组偏微分方程，其计算工作量仍然很大，需要借助于计算机进行数值求解。
求解附面层问题的另一种方法是附面层积分法这种方法的基本思想是使流动参数在总体上满足附面层基本方程在求解时，近似的给定一个只依赖于x坐标的单参数速度分布来代替附面层内真实的速度分布解法的精确度取决于所选定的速度分布10.7.1 10.7.1 附面层的动量积分方程附面层的动量积分方程 附面层积分方程可以由两种方法导出，一种是将附面层微分方程在整个附面层厚度 的区间上积分，另一种是在附面层内取一微元段，运用基本方程前者主要是从数学上推导，而后者的物理概念比较清楚下面我们采用后一种推导方法来得出附面层动量积分方程图图10.8 10.8 动量积分方程的推导动量积分方程的推导 图10.8 给出了附面层内流体沿某一壁面的流动设流动为定常的平面不可压缩流动在附面层中取一微元控制体ABDCA，其中AB和CD是垂直于壁面的两个控制面，相距为dx，BD是壁面，AC是附面层外边界垂直于纸面控制体的宽度取单位宽度对控制体运用动量定理由于dx是无限小量，所以将AC边界上的流体速度都看作是 ，实际上，是 的函数，由壁面形状决定0V0V0()V xx在单位时间内，通过界面流出与流入控制体的动量的差值为dxdyVxVdxdyVxxx0002pppdxx2p dxdpdxxdxwdxAB面上x方向的作用力CD 面上AC面上BD面上进一步分析作用在控制体上的力。
因为在附面层内 ，所以在 AB，CD面上的压强沿y方向没有变化，于是沿x方向作用在控制体上的力有如下几项：/0py 在上表中，AC面上的压强取A点和C点的压强的平均值AC面积在x方向的投影面积大小为 符号 表示壁面上的摩擦应力CD和BD上的作用力方向与x方向相反，1dddxdx w所以都带有负号作用在控制体上沿x方向上的合力经过化简整理后得 2wwpp dxdpppdxpdxdxdxxxdxx 根据动量定理，作用在控制体上所有作用力的合力等于单位时间流出和流入控制体动量之差，即：2000wxxpdxV dy dxVV dy dxxxx即：（10.77）2000wxxpV dyVV dyxxx式（10.77）称附面层积分方程该方程对于层流附面层和湍流附面层都适用对于后一种情况，可直接将附面层连续和动量方程相加后沿附面层积分得到，积分时注意到在壁面上及附面层外边界处湍流应力等于零对不可压流，式（10.77）化为 2000wxxdddpV dyVV dydxdxdx（10.78）式（10.78）右端的压强梯度可以根据附面层外边界的理想流动得出根据柏努利方程20012pV常数对x求导后得00dVVdx 0dpdpdxdx注意到 ，则（10.78）式右侧第一项写为 0dy00000000dVdVdVdpVVdyV dydxdxdxdx a)式（10.78）左侧第二项，按两函数乘积的求导法则，有 0000000000 xxxxxdVdVdddVV dyVV dyV dyV V dyV dydxdxdxdxdx b)将a)、b)两式带入式（10.78）可得 00000wxxxdVdVV dyV VV dydxdx根据 和 的定义式，上式可进一步化成*2*000()wdVdVVdxdx展开合并同类项，最后得到*020012wdVddxVdxV（10.79）式（10.79）即为附面层动量积分方程。
在式（10.79）中，一共有四个未知数 、和 ，其中，未知数 是由理想流动计算获得，而 和 由 和 决定，因此方程尚有三个未知量 、和 在求解式（10.79）时，通常补充附面层内速度分布 和壁面摩擦切应力 的表达式0Vw*0V*xVwxV xVf xw10.7.210.7.2速度分布在边界上应满足的边界条件速度分布在边界上应满足的边界条件 用积分法求解附面层时，需要补充附面层内的速度分布虽然所选定的速度分布不能精确地表示附面层内的流动，但是可以精确地满足边界条件在附面层外边界上，粘性流可以近似地看作理想流体，因此在外边界上，它们的速度和各阶导数都相等，即 时，（10.80）y0 ,0 (n=1,2,3,)nxxnVVVy在壁面上，应满足无滑移条件，即 时 （10.81）0y 0,0 xyVV如果将此条件用于附面层动量积分方程 221xxxxyVVVdpVVxydxy 则可得到另一个边界条件，即 时 （10.82）0y 20021 xVV dVdpydxdx 再把动量方程对y求导，有 22323yxxxxxxyVVVVVVVVyxyy xyy 根据连续方程和无滑移条件，又可得到一个边界条件，即 时 （10.83）0y 33 0 xVy只要选定的速度分别满足边界条件，则表明它在近物体表面和边界层外部附近都和真实速度分布接近。
在附面层中间部分虽然可能有一定的误差，但是在应用积分法时，由于总体上满足动量积分方程，因此可以得到满足工程需要的结果在上述边界条件中，无滑移条件（10.81）和压强梯度条件（10.82）反映了物面及物面形状对速度分布的影响，因此在附面层计算中，为了保证一定计算精度，应满足这些条件10.7.3不可压缩平板层流附面层计算 有一直匀流速度为 ，密度为 流过如图10.7所示的平板假设平板的厚度无限薄，平板长度为1，宽度为b,下面用上节介绍的附面层积分法对其进行求解，求解的内容有：速度近似分布；附面层厚度；切应力；摩擦阻力系数等V 根据假设，可以认为平板不影响附面层外的流动，仍然可以将附面层以外的流动看成是与平板平行的理想流动于是，附面层外的流速 ，且沿平板 将其代入动量积分关系式（10.79），则方程简化为0VV0V 常数*2wddxV（10.84）为了求解式（10.84），需要补充两个关系式，即附面层内的速度分布和壁面上的摩擦应力关系式求速度分布的步骤为：首先假设速度分布为的幂函数，即 230123.nxnVaa ya ya ya y式中的待定系数 是未知的，它们必须由速度分布应遵循的边界条件确定。
式中的幂次方 可根据具体要求选取实验证明，取 ，即可与实验得到的速度分布曲线吻合很好，即 012,a a a n3n 2012xVaa ya y式中的三个系数必须由三个边界条件确定这些边界条件是：1）在物面上，代入上式，得 0,0 xyV00a 2）在附面层外边界上，可得,xyVV212Vaa 3）在附面层外边界上，可得,0 xVyy1220aa由以上各式，可以确定 于是，速度分布为01220,2,VVaaa 222xVVVyy 或 （10.85）222xVyyV需要补充的第二个关系式是牛顿内摩擦定律，它提供了 的关系式 w02xwyVVy（10.86）利用补充方程（10.85）、（10.86）和动量积分方程（10.84），联立求解即可得到附面层内所需要的有关结果由速度分布可求得动量损失厚度22*22002121 215xxVVyyyydydyVV于是，（10.87）*215dddxdx将（10.86）、（10.87）代入式（10.84）得 222215VddxVV整理上式后得 0015xddxV 积分为 2152xV故得附面层厚度随 的变化关系为 x5.477xV（10.88a）或 （10.88b）5.477Rexx式中，是距平板前缘为x处的当地雷诺数。
由上式可见，层流附面层厚度与 成正比，与当地雷诺数的平方根成反比Re/xV x12x（10.89）将 代回式（10.86），经化简后可得平板表面上的切应力分布为()x3020.365xwyVVVyx当地摩擦阻力系数 定义为 ，将式（10.89）代入可得层流附面层的 ，即 fC21/2fwCVfC0.73RefxC（10.90）作用在宽度为b的平板上表面的摩擦阻力，积分式（10.89），即3200.73lfwXbdxV bl（10.91）整个平板的上表面的摩擦阻力系数定义为 21.461Re2fDlXCV bl（10.92）式中，Re/lV l10.7.410.7.4光滑平板不可压湍流附面层计算光滑平板不可压湍流附面层计算一般情况，如果绕物体的附面层不发生严重的脱体现象，曲壁附面层的摩擦阻力与平板情形相差不大，因此可以简化计算一、光滑平板湍流附面层一、光滑平板湍流附面层 当流动雷诺数足够大时，在靠近平板前缘一段是层流附面层，而靠近平板后一段是湍流附面层，下面讨论假设平板从前缘开始就是湍流附面层的情况为了求解湍流附面层，根据普朗特的假设：沿平板的附面层流动与管流的情况没有显著的差别因此对于充分发展的湍流，可以把管流看作一种附面层流动，其中附面层厚度已达到管道半径，管中心的最大速度 相当于附面层外边界的速度 。
实验证明，当 时，平板湍流附面层的速度分布与管流的速度分布一致切应力的关系也可采用圆管的结果maxVV6Re/10V x湍流流动的速度分布可以根据半经验的对数分布规律，也可以根据经验的幂次方的分布规律，现采用后者作为第一个补充方程，即17xVyV（10.93）代入附面层动量损失厚度的表达式可得 1177*0071172xxVVyydydyVV故 （10.94）*772dddxdx第二个补充方程为 的关系式对于光滑圆管中的湍流流动，当 时，沿程损失系数w5Re10140.3164Re（10.95）式中，是平均速度，当用七分之一次方分布时，它与圆管轴线上的速度 的关系是 当用圆管中的结果于附面层计算时，要用附面层厚度去代替管径即 ：用附面层外边界上的速度 去代替 ，这样，应用壁面切应力 与 的关系，并应用式（10.95）就可得到 的表达式RemV dmVmaxVmmax0.817VV/2dmaxVmVwpw220.2500.2520.25210.3164Re0.8172880.817210.31640.81780.0233wprVVlVVVV（10.96）将式（10.94），（10.96）代入附面层积分关系式得0.252270.23372dVVVdx简化后得到 0.250.25000.24xdxdV积分后得到附面层厚度随 的变化 x1 50.381xV x（10.97）或 1 50.381Rexx应用式（10.96），（10.97），可以得到平板湍流附面层当地摩擦系数为 1 520.05921Re2wfxCV平板上部的摩擦阻力系数及摩擦阻力为 1 520.0741Re2fDlXCV bl其中，21/500.07412lfwXbdxV blV l上面的公式是应用七分之一次方速度分布得出的结果，一般认为在 的范围内较合适，随着 的增加，偏差也增大。
通常在 的范围内采用下列计算公式575 10Re10eRee7910Re10e1 70.026RefC二、湍流附面层与层流附面层的比较二、湍流附面层与层流附面层的比较 湍流附面层与层流附面层在基本特性上有较大差别：（1）.湍流附面层的速度分布曲线比层流速度分布曲线要饱满得多，附面层内流体平均动量比层流的大，因此不易分离；（2）湍流附面层的厚度比层流附面层的厚度增长的快，因为湍流附面层的 与 成正比，而层流附面层的 与 成正比，可见湍流附面层比层流附面层要厚得多；（3）对于湍流附面层来说，作用在平板上的摩擦阻力 与 参数 及 成正比；对于层流附面层来说，作用在平板上的摩擦阻力 与 及 成正比；因此，从减小摩擦阻力来看，层流附面层将优于湍流附面层0.8x0.5xfX0.8l1.8VfX0.8l1.8V10.7.510.7.5光滑平板混合附面层计算光滑平板混合附面层计算在高雷诺数的情况下，绕物体流动的附面层往往是混合附面层，即从平板前缘开始先是一段层流附面层，经过过度段再变为湍流附面层如图10.910.9所示在计算中忽略过渡段，即认为从转捩点开始，都是湍流附面层，混合附面层的摩擦阻力计算方法如下：图图10.910.9高雷诺数的情况下混合附面层高雷诺数的情况下混合附面层令 表示平板总长度；表示平板上层流附面层长度；lTx 表示从前缘开始平板上全为湍流附面层时的摩擦阻力系数；表示段上为湍流附面层的摩擦阻力系数；表示段上层流附面层的摩擦阻力系数；表示混合附面层的摩擦阻力系数。
它们之间的关系为DCDtCDlCDmCRelV lReTcrV x2211 22DmDTDtTDlV lCVl Cx Cx CTDmDDtDlxCCCCl故又 ，因此 ReReRecrDmDDtDlDllCCCCCC式中，4 51 20.074Re1.328RecrcrC Rel当 很大时，DmDCC10.8 10.8 附面层分离与控制附面层分离与控制10.8.110.8.1附面层分离附面层分离 SMx图图10.10 10.10 曲壁附面层分离现象曲壁附面层分离现象 对于平板附面层，在平板上的压强为常数，即 而对于曲壁附面层，沿物体表面可能存在压强梯度 ，即流体0px0px是在逆压梯度下流动，因而使速度迅速衰减另一方面，流体沿壁面流动时，附面层厚度逐渐增加.由于粘性摩擦影响，靠近壁面处动能有很大损失在这双重的作用下，使得靠近壁面某S处的流体停止流动，结果使S点之后的附面层内部的流体出现倒流的现象S点称为分离点由图10.10可见，在M点之前，0,xVpxy在M点之后，在分离点S处，0,0,xVpxy00 xyVy由以上分析可知，只有在逆压梯度下，即 ，才有可能出现分离因此，是分离的必要条件。
在逆压梯度下，满足 的条件，是判别分离的准则总之，附面层分离只0px0px00 xyVy可能在逆压梯度的条件下发生附面层分离点S的准确计算非常困难，因为点S是在附面层厚度很小，并按外部势流场的压力分布求出的在分离点之前的流动阻力可按前述的附面层方法计算得到而一旦附面层出现分离，附面层厚度增加很快，即 （物体特征尺寸）的条件不再满足，此时附面层理论失效因此要用完整的粘性流方程来求解L附面层分离后，流动中出现了强烈的旋涡，结果是流动阻力急剧增加，这是由于物体表面上产生流动方向的压力差所致即所谓的压差阻力流动阻力包括了压差阻力和摩擦阻力摩擦阻力主要取决于附面层的流动状态（层流或湍流），压差阻力则主要与附面层的分离有关10.8.2附面层控制 附面层分离会使流体的一部分机械能损失，流体绕物体的阻力急剧增加，发动机各部件效率降低；有时甚至产生不稳定流动，甚至造成发动机的损坏因此在设计时，应尽量避免大范围内的流体分离预防和推迟附面层分离是工程设计应关注的问题附面层分离是由于流体质点在运动中，由于粘性摩擦和逆向压差。