2.2.1 直线的点斜式方程【学习目标】课程标准学科素养1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程(重点).2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题(难点)．1、直观想象2、数学运算3、数形结合【自主学习】1.直线的点斜式方程和斜截式方程点斜式斜截式已知条件点P(x0,y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程形式y－y0＝ 适用条件斜率存在斜率存在2.直线l的截距(1)直线在y轴上的截距：直线与y轴的交点(0,b)的__________．(2)直线在x轴上的截距：直线与x轴的交点(a,0)的____________．3．直线平行、垂直的判断对于直线l1：y＝k1x＋b1,l2：y＝k2x＋b2,(1)l1∥l2__________________；(2)l1⊥l2__________________．【小试牛刀】1.经过点P0(x0,y0)的所有直线是否都能用点斜式方程来表示？2.直线与y轴交点到原点的距离和直线在y轴上的截距是同一概念吗？3.判断对错（1）y轴所在直线方程为y＝0.( )（2）直线y－3＝k(x＋1)恒过定点(－1,3).( )（3）直线在y轴上的截距是直线与y轴交点到原点的距离.( )（4）直线y＝kx－b在y轴上的截距为b.( )4．已知直线的方程是y＋2＝－x－1,则( )A．直线经过点(2,－1),斜率为－1B．直线经过点(1,－2),斜率为－1C．直线经过点(－2,－1),斜率为1D．直线经过点(－1,－2),斜率为－1【经典例题】利用点斜式求直线方程的方法(1)用点斜式求直线的方程,首先要确定直线的斜率和其上一个点的坐标.注意在斜率存在的条件下,才能用点斜式表示直线的方程；(2)已知两点坐标求直线的方程,可以先求斜率,再用点斜式求直线的方程.例1 已知点A(3,3)和直线l：y＝x－.求：(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程.[跟踪训练] 1 根据条件写出下列直线的点斜式方程：(1)经过点A(2,5),斜率是4；(2)经过点B(2,3),倾斜角是45°；(3)经过点C(－1,－1),与x轴平行．题型二 直线的斜截式方程直线的斜截式方程的求解策略：(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可．(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程．例2 根据条件写出下列直线的斜截式方程．(1)斜率为2,在y轴上的截距是5；(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是－2；(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.[跟踪训练] 2 (1)直线(2m2－m＋3)x＋(m2＋2m)y＝4m＋1在x轴上的截距为1,则m的值是( )A．2或 B．2或－C． －2或－ D．－2或(2)已知直线l1的方程为y＝－2x＋3,l2的方程为y＝4x－2,直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同,求直线l的方程.题型三 斜截式方程的应用例3 (1)当a为何值时,直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？(2) 当a为何值时,直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直？[跟踪训练] 3 求证：不论m为何值,直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限．【当堂达标】1.方程y＝k(x－2)表示( )A.通过点(－2,0)的所有直线B.通过点(2,0)的所有直线C.通过点(2,0)且不垂直于x轴的所有直线D.通过点(2,0)且除去x轴的所有直线2．过点(－1,3)且垂直于直线x－2y＋3＝0的直线方程为( )A．2x＋y－1＝0 B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0 D．x－2y＋7＝03.已知直线l的方程为y＋＝(x－1),则l在y轴上的截距为( )A.9 B.－9 C. D.－4.直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限,则有( )A.k>0,b>0 B.k>0,b<0C.k<0,b>0 D.k<0,b<05．经过点(－1,1),且斜率是直线y＝x－2的斜率的2倍的直线方程是( )A．x＝－1 B．y＝1C．y－1＝(x＋1) D．y－1＝2(x＋1)6.倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是______ _____。
7．已知△ABC在第一象限,若A(1,1),B(5,1),∠A＝60°,∠B＝45°,求：(1)边AB所在直线的方程；(2)边AC和BC所在直线的点斜式方程．8．已知直线l的斜率为,且和两坐标轴围成面积为3的三角形,求l的方程．【参考参考答案】【自主学习】1.k(x－x0) y＝kx＋b2. 纵坐标b 横坐标a3．k1＝k2且b1≠b2 k1·k2＝－1【小试牛刀】1.斜率不存在的直线不能用点斜式表示,过点P0且斜率不存在的直线为x＝x0.2.不是同一概念,距离非负,而截距可正,可负,可为0.3. × √ × ×4. D【经典例题】例1 解 因为直线l：y＝x－,所以该直线的斜率k＝.(1)过点A(3,3)且与直线l平行的直线方程为y－3＝(x－3).(2)过点A(3,3)且与直线l垂直的直线方程为y－3＝－(x－3).[跟踪训练] 1 解 (1)由点斜式方程可知,所求直线方程为y－5＝4(x－2)；(2)∵直线的斜率k＝tan 45°＝1,∴直线方程为y－3＝x－2；(3)y＝－1.例2 解 (1)由直线方程的斜截式可知,所求直线方程为y＝2x＋5.(2)∵倾斜角α＝150°,∴斜率k＝tan 150°＝－.由斜截式可得方程为y＝－x－2.(3)∵直线的倾斜角为60°,∴其斜率k＝tan 60°＝.∵直线与y轴的交点到原点的距离为3,∴直线在y轴上的截距b＝3或b＝－3.∴所求直线方程为y＝x＋3或y＝x－3.[跟踪训练] 2 (1) A 解析 令y＝0,解得x＝.由已知得＝1,则4m＋1＝2m2－m＋3,即2m2－5m＋2＝0.解得m＝2或(符合题意)．故选A.（2）解 由斜截式方程知,直线l1的斜率k1＝－2,又因为l∥l1,所以kl＝－2.由题意知,l2在y轴上的截距为－2,所以直线l在y轴上的截距b＝－2.由斜截式可得直线l的方程为y＝－2x－2.例3 解 (1)由题意可知,kl1＝－1,kl2＝a2－2,∵l1∥l2,∴解得a＝－1.故当a＝－1时,直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行.(2)由题意可知,＝2a－1,＝4,∵l1⊥l2,∴4(2a－1)＝－1,解得a＝.故当a＝时,直线l1：y＝(2a－1)x＋3与直线l2：y＝4x－3垂直.[跟踪训练] 3 证明 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2),∴直线l过定点(－2,3),由于点(－2,3)在第二象限,故直线l总过第二象限．法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.令解得∴无论m取何值,直线l总经过点(－2,3)．∵点(－2,3)在第二象限,∴直线l总过第二象限．【当堂达标】1. C 解析 易验证直线通过点(2,0),又直线斜率存在,故直线不垂直于x轴.2. A 解析 所求直线与已知直线垂直,因此其斜率为－2,故方程为y－3＝－2(x＋1),即2x＋y－1＝0.3. B 解析 由y＋＝(x－1),得y＝x－9,∴l在y轴上的截距为－9.4. B 解析 ∵直线经过第一、三、四象限,∴图形如图所示,由图知,k>0,b<0.5. C 6. y＝x＋3或y＝x－3 解析 ∵直线的倾斜角是60°,∴其斜率k＝tan 60°＝,∵直线与y轴的交点到坐标原点的距离为3,∴直线在y轴上的截距是3或－3,∴所求直线的斜截式方程是y＝x＋3或y＝x－3.7.解 (1)∵A,B两点的纵坐标均为1,∴AB边所在直线的方程为y＝1.(2)∵AB平行于x轴,且△ABC在第一象限,kAC＝tan 60°＝,kBC＝tan(180°－45°)＝－tan 45°＝－1,∴直线AC的方程为y－1＝(x－1)；直线BC的方程为y－1＝－(x－5)．8．解 设直线l的方程为y＝x＋b,则x＝0时,y＝b；y＝0时,x＝－6b.由已知可得·|b|·|6b|＝3,即6|b|2＝6,∴b＝±1.故所求直线方程为y＝x＋1或y＝x－1.知识改变命运7。