2018版高考数学一轮总复习 第1章 集合与常用逻辑用语 1.3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词模拟演练 文[A级 基础达标](时间：40分钟)1．命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A．任意一个有理数，它的平方是有理数B．任意一个无理数，它的平方不是有理数C．存在一个有理数，它的平方是有理数D．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B解析 特称命题的否定规律是“改变量词，否定结论”，特称命题的否定是全称命题，选B项．2．[2017·太原模拟]下列命题中的假命题是( )A．∀x∈R，ex>0 B．∀x∈R，x2≥0C．∃x0∈R，sinx0＝2 D．∃x0∈R,2x0>x答案 C解析 对∀x∈R，sinx≤1<2，所以C选项是假命题，故选C.3．[2015·湖北高考]命题“∃x0∈(0，＋∞)，ln x0＝x0－1”的否定是( )A．∃x0∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1B．∃x0∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1C．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1D．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1答案 C解析 特称命题的否定是全称命题，故该命题的否定是∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1.选C.4．如果命题“綈(p∨q)”为假命题，则( )A．p、q均为真命题B．p、q均为假命题C．p、q中至少有一个为真命题D．p、q中至多有一个为真命题答案 C解析 因为命题“綈(p∨q)”为假命题，所以p∨q为真命题．所以p、q一真一假或都是真命题．5．[2017·桂林模拟]若命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是( )A．[－1,3] B．(－1,3)C．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)答案 D解析 因为命题“∃x0∈R，x＋(a－1)x0＋1<0”等价于x＋(a－1)x0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a－1)2－4>0，即a2－2a－3>0，解得a<－1或a>3，故选D.6．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测：甲：中国非第一名，也非第二名；乙：中国非第一名，而是第三名；丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．答案 一解析 由题可知：甲、乙、丙均为“p且q”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．7．[2017·太原十校联考]已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．答案 解析 由“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x2－5x＋a>0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×a<0，解得a>，即实数a的取值范围.8．[2015·山东高考]若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．答案 1解析 若0≤x≤，则0≤tanx≤1，∵“∀x∈，tanx≤m”是真命题，∴m≥1，∴实数m的最小值为1.9．设命题p：函数f(x)＝lg (ax2－4x＋a)的定义域为R；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax在x∈(－∞，－1)上恒成立，如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．解 对于命题p：Δ<0且a>0，故a>2；对于命题q：a>2x－＋1在x∈(－∞，－1)上恒成立，又函数y＝2x－＋1为增函数，所以<1，故a≥1，命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，等价于p，q一真一假．故1≤a≤2.10．给定两个命题：p：对任意实数x，都有ax2＋ax＋1>0恒成立，q：函数y＝3x－a在x∈[0,2]上有零点，如果(綈p)∧q为假命题，綈q为假命题，求a的取值范围．解 若p为真命题，则有或a＝0，即0≤a<4，故当p为真命题时，0≤a<4.若q为真命题时，方程3x－a＝0在x∈[0,2]上有根．∵当x∈[0,2]时，有1≤3x≤9，∴1≤a≤9，即当q为真命题时，1≤a≤9.∵(綈p)∧q为假命题，∴綈p，q中至少有一个为假命题．又∵綈q为假命题，∴q为真命题．∴綈p为假命题，p为真命题．∴当p，q都为真时，即1≤a<4.故所求a的取值范围是1≤a<4.[B级 知能提升](时间：20分钟)11．[2017·皖南八校联考]下列命题中，真命题是( )A．存在x0∈R，sin2＋cos2＝B．任意x∈(0，π)，sinx>cosxC．任意x∈(0，＋∞)，x2＋1>xD．存在x0∈R，x＋x0＝－1答案 C解析 对于A选项：∀x∈R，sin2＋cos2＝1，故A为假命题；对于B选项：存在x＝，sinx＝，cosx＝，sinx0恒成立，C为真命题；对于D选项：x2＋x＋1＝2＋>0恒成立，不存在x0∈R，使x＋x0＝－1成立，故D为假命题．12．[2017·唐山统考]已知命题p：∀x∈R，x31，∴命题p为假命题；若sinx－cosx＝sin＝－，则x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝＋2kπ(k∈Z)，∴命题q为真命题，∴綈p∧q为真命题．13．已知命题p：方程x2－mx＋1＝0有实数解，命题q：x2－2x＋m>0对任意x恒成立．若命题q∨(p∧q)真、綈p真，则实数m的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈p真，所以p假，则p∧q假，又q∨(p∧q)真，故q真，即命题p假、q真．当命题p假时，即方程x2－mx＋1＝0无实数解，此时m2－4<0，解得－21.所以所求的m的取值范围是1
