专题08 勾股定理在动点直角三角形存在性问题中的应用动点题是近年来中考的一个热点问题也是难点问题,而因动点产生的直角三角形存在性问题是这类题目考查的重点. 解这类题目要掌握转化、分类讨论、数形结合的数学思想方法,尤其对勾股定理的运用炉火纯青,才能准确、快速的解答. 这类题目的基本思路是什么,解答的难点在哪？我们将通过以下几个例题加以说明.直角三角形是一类特殊三角形,有着丰富的性质,角的关系、边的关系等,这些性质在求线段的长度等方面有广泛的应用.需掌握以下几个基本图形：题1. 如图1-1,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AB＝5m,AC＝3m,动点P从点B出发沿射线BC以1m/s的速度移动,设运动的时间为t s.图1-1(1)求BC边的长；(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值．【参考参考答案】（1）4m；（2）见解析【解析】解：（1）∵∠C＝90°,AB＝5m,AC＝3m[来源:Zxxk.Com]在Rt△ABC中,由勾股定理得：∴BC=4m.（2）由题意可知,∠ABP≠90°,分两种情况讨论：①当∠APB=90°时,此时P点与C点重合,如图1-2所示.图1-2由（1）知BP=4,所以t=4 s.②当∠BAP=90°时,如图1-3所示.图1-3由题意得：BP=t,CP=t－4在Rt△ABP中,由勾股定理得：AP2=BP2－AB2在Rt△ACP中,由勾股定理得：AP2=AC2+CP2所以BP2－AB2=AC2+CP2即：解得：综上所述,当△ABP为直角三角形时,t=4或.【点睛】直角三角形存在性问题,分类讨论的出发角度是直角的位置,此题分∠APB和∠BAP为直角时,进行分类讨论,准确画出图形,根据勾股定理列方程求解.题2. 如图2-1,在四边形ABCD中,∠D=90°,AB∥DC,AB=3,DC=4,AD=7. 若点P是线段AD上一动点,当AP为何值时,△BCP是直角三角形？图2-1【参考参考答案】见解析.【解析】解：∵∠D=90°,AB∥DC,∴∠A=90°过B作BE⊥CD于E,如图2-2所示.则四边形ABED为矩形所以BE=AD=7,DE=AB=3,CE=CD－DE=1图2-2在Rt△BCE中,由勾股定理得：BC2=CE2+BE2=50.因为∠C<90°,P段AD上运动,所以当△BCP是直角三角形时,∠BCP≠90°,分两种情况讨论：①当∠BPC=90°时,如图2-3所示.图2-3设AP=x,则PD=7-x在Rt△ABP中,由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+9.在Rt△DCP中,由勾股定理得：PC2=PD2+CD2= (7-x) 2+16.在Rt△BCP中,由勾股定理得：PC2=PB2+BC2=x2+9+50.∴(7-x)2+16= x2+9+50解得：.即AP=.②当∠PBC=90°时,如图2-4所示.图2-4设AP=x,则PD=7-x在Rt△ABP中,由勾股定理得：BP2=AP2+AB2=x2+9.在Rt△DCP中,由勾股定理得：PC2=PD2+CD2= (7-x) 2+16.在Rt△BCP中,由勾股定理得：PC2= BC2-PB2 = 50-x2-9.∴(7-x)2+16=50- x2-9解得：.即AP=3或4.综上所述,当AP为或3或4时,△BCP是直角三角形.【点睛】直角三角形的存在性问题用到的数学方法是分类讨论,针对直角所在不同的位置进行讨论,解题方法除了利用勾股定理外,也可用相似三角形、三角函数等求解. 以图2-4为例,是典型的“一线三直角”模型.易知△ABP∽△DPC,所以即,解得. 因此在日常学习过程中,我们要针对每一个题多思考,有没有多种求解方法,这样对拓展眼界有很大的好处. 题3. 如图3-1,在△ABC中,AB＝30 cm,BC＝35 cm,∠B＝60°,有一动点M自A向B以1 cm/s的速度运动,动点N自B向C以2 cm/s的速度运动. 若点M,N分别从A,B同时出发．(1)经过多少秒,△BMN为等边三角形；(2)经过多少秒,△BMN为直角三角形．图3-1【参考参考答案】见解析.【解析】解：（1）设经过x秒,△BMN为等边三角形,则AM＝x,BN＝2x,∴BM＝AB－AM＝30－x,根据题意得30－x＝2x,解得x＝10. 所以经过10 s,△BMN为等边三角形.（2）设经过x秒,△BMN是直角三角形.根据题意分两种情况讨论：图3-2①当∠NMB=90°时,如图3-2所示.∵∠B＝60°,∴∠BNM＝30°,∴BN＝2BM,即2x＝2 (30－x),解得x＝15；[来源:学.科.网]图3-3②当∠BNM＝90°时,∵∠B＝60°,[来源:]∴∠BMN＝30°,∴BM＝2BN,即30－x＝2×2x,解得x＝6,即经过6秒或15秒,△BMN是直角三角形．【点睛】(1)设时间为x,用x表示出AM、BN、BM,根据等边三角形的判定列出方程,解之可得；(2)分①∠BNM＝90°时,即可知∠BMN＝30°,依据2BN＝BM列方程求解可得；②∠BMN＝90°时,∠BNM＝30°,依据2BM＝BN列方程求解可得．题4. 已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°．(1)如图4-1,点O是AB的中点,OM⊥AC于M,求证：AM=CM；(2)如图4-2,若∠A=30°,AB=8 cm,动点P从点A出发,在AB边上以每秒2 cm的速度向点B匀速运动,同时动点Q从点C出发,在CA边上以每秒cm的速度向点A匀速运动,运动时间为t秒（0＜t＜4）,连接PQ．若△APQ是直角三角形,求出t的值.图4-1 图4-2【参考参考答案】见解析.【解析】（1）证明：连接OC. 如图4-3所示. 图4-3∵∠ACB=90°,O是AB的中点∴OC=OA=OB.∵OM⊥AC,∴∠OMA=∠OMC=90°.在Rt△OMA和Rt△OMC中,∵OM=OM,OA=OC∴Rt△OMA≌Rt△OMC∴AM=MC.（2）∵∠A=30°,AB=8 cm∴BC=4,根据勾股定理可得,AC=.由题意得：AP=2t,CQ=,AQ=.当△APQ是直角三角形时,分两种情况讨论图4-3①当∠AQP=90°时,如图4-3所示.∵∠A＝30°,∴AP=2PQ,AQ=PQ即∴,解得t＝2；②当∠APQ＝90°时,如图4-4所示.图4-4∵∠A＝30°,∴AQ＝2PQ,AP=PQ,即,即,解得t＝,综上所述,当△APQ是直角三角形时,t为2秒或秒．题5. 如图5-1所示,正方形网格中每个小正方形的边长均为1,每个小正方形的顶点叫格点,以格点为顶点按下列要求画图：（1）在图中画一条线段MN,使MN=；（2）在图中画一个三边长均为无理数,且各边都不相等的直角△DEF．图5-1【参考参考答案】见解析.【解析】（1）如图5-2所示,因为PM=1,PN=4在Rt△MNP中,由勾股定理得：MN=.即图中MN即为所求的线段.图5-2（2）根据题意,得图5-3. [来源:Zxxk.Com]由勾股定理得：AB= ,BC=,AC=由,得△ABC为直角三角形.该题参考参考答案不唯一. 如图5-4亦是一种情况. 图5-3 图5-4题6. 在平面直角坐标系中,点A的坐标为（1,1）,点B的坐标为（9,1）,点C到直线AB的距离为4,且△ABC是直角三角形,则满足条件的点C有 个．坐标分别为 .【参考参考答案】6. （1,5）、（1,-3）、（9,5）、（9,-3）、（5,5）、（5,-3）.【解析】因为点C到直线AB的距离为4所以C在直线向上或向下平移4个单位所得到的直线上,如图6-1所示.图6-1当△ABC是直角三角形时,分三种情况讨论[来源:学.科.网Z.X.X.K]①当∠CAB=90°时,如图6-2所示. 有两个点满足要求,坐标为（1,5）、（1,-3）图6-2②当∠CBA=90°时,如图6-3所示. 有两个点满足要求,坐标为（9,5）、（9,-3）图6-3②当∠BCA=90°时,如图6-4所示. 有两个点满足要求,坐标为（5,5）、（5,-3）图6-4作AB的垂直平分线交DE于点C. 由题意得：CH=4,AB=8,AH=HB=4∴∠CAH=∠ACH=45°,∠BCH=∠HBC=45°∴∠ACB=90°即△ABC为直角三角形. C点坐标为（5,5）,根据对称性,可求得另一点坐标为（5,-3）.故参考参考答案为,6个点. 坐标分别为：（1,5）、（1,-3）、（9,5）、（9,-3）、（5,5）、（5,-3）.题7．如图7-1,在△ABC中,AB=BC=4,AO=BO,P是射线CO上的一个动点,∠AOC=60°,则当△PAB为直角三角形时,AP的长为 ．【参考参考答案】或或2.【解析】解：分类讨论：① 当∠APB=90°时（如图7-2）,图7-2∵AO=BO,∴PO=BO,∵∠AOC=60°,∴∠BOP=60°,即△BOP为等边三角形,∵AB=BC=4,∴AP=AB•=4×=；②当∠ABP=90°时,情况一：（如图7-3）,图7-3∵∠AOC=∠BOP=60°,∴∠BPO=30°,∴BP==,在直角三角形ABP中,由勾股定理得：AP=；情况二：如图7-4,图7-4∵AO=BO,∠APB=90°,∴PO=AO,∵∠AOC=60°,∴△AOP为等边三角形,∴AP=AO=2,故参考参考答案为：或或2．【点睛】本题主要考查了勾股定理,含30°直角三角形的三边关系和直角三角形斜边的中线的性质；利用分类讨论,数形结合的方法是解答此题的关键．知识改变命运。