2022年高三数学一轮复习讲义 数系的扩充与复数的引入教案 新人教A版自主梳理1．数系的扩充数系扩充的脉络是：________→________→________，用集合符号表示为________⊆________⊆________，实际上前者是后者的真子集．自然数系 有理数系 实数系 N Q R 2．复数的有关概念(1) 复数的概念形如a＋bi (a，b∈R)的数叫复数，其中a，b分别是它的________和________．实部 虚部 复数a＋bi(2)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔____________(a，b，c，d∈R)．a＝c，b＝d(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔____________(a，b，c，d∈R)．为z的共轭复数a＝c，b＝－d 3．复数的几何意义(1) 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．______叫做实轴，______叫做虚轴．实轴上的点表示________；，虚轴上的点（除原点外）都表示________；各象限内的点都表示____________．x轴 y轴 实数 纯虚数 非纯虚数 （2）复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R)．_____平面向量________ (3)复数的模向量的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作______或________，即|z|＝|a＋bi|＝____________.|z| |a＋bi| 4．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝______________；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝________________；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝________________；④除法：＝＝＝________________________(c＋di≠0)．① (a＋c)＋(b＋d)i ②(a－c)＋(b－d)i ③(ac－bd)＋(ad＋bc)i ④ (2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝________，(z1＋z2)＋z3＝______________________.z2＋z1 z1＋(z2＋z3) 5．进行复数运算时，熟记以下结果有助于简化运算过程(1) (a±bi)2＝a2±2abi－b2＝a2－b2±2abi，(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(2) i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0 (n∈N)(3) (1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝i，＝－i复数的加减运算类似于实数中的多项式的加减运算(合并同类项)，复数的乘除运算是复数运算的难点，在乘法运算中要注意i的幂的性质，区分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2与(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法运算中，关键是“分母实数化”(分子、分母同乘以分母的共轭复数)，此时要注意区分(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2与(a＋b)·(a－b)＝a2－b2失误与防范两个虚数不能比较大小． z2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z＝3i时z2＝－9<0.自我检测1．复数等于( )A．－－i B．－＋i C.－i D.＋iC [＝＝＝＝＝－i.]2．复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1等于( )A．－2i B．－i C．i D．2iB [∵z＝1＋i，∴＝1－i，∴z·＝|z|2＝2，∴z·－z－1＝2－(1＋i)－1＝－i.]3．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i(i为虚数单位)，则z的实部是________.解析 设z＝a＋bi(a、b∈R)，由i(z＋1)＝－3＋2i，得－b＋(a＋1)i＝－3＋2i，∴a＋1＝2，∴a＝1.4．在复平面内，复数z满足＝2－i(i为虚数单位)，则复数z对应的点的坐标为________． (－，－)，5．已知复数z满足＝1－2i，则复数z＝__.－＋ i __________.题型一 复数的分类例1 已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，(1)z∈R；(2)z是纯虚数；(3)z对应的点位于复平面第二象限；(4)z对应的点在直线x＋y＋3＝0上．11．解 (1)当z为实数时，则有m2＋2m－3＝0且m－1≠0得m＝－3，故当m＝－3时，z∈R.(2)当z为纯虚数时，则有解得m＝0，或m＝2.∴当m＝0或m＝2时，z为纯虚数．(3)当z对应的点位于复平面第二象限时，则有，解得m<－3或1，其中当c＝9时，＝(6,8)＝－2，三点共线，故c≠9. c>且c≠9 (3)已知复数z＝x＋yi，且|z－2|＝，则的最大值为________． 妙解] 由|z－2|＝可得，|z－2|2＝(x－2)2＋y2＝3.设＝k，即得直线方程为kx－y＝0，∴圆(x－2)2＋y2＝3的圆心(2,0)到直线kx－y＝0的距离d＝≤.解得k∈[－，]，即得的最大值为. 题型四 用待定系数法解决复数问题例4（1）已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.（2）已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实数根，求m.解 设x＝a＋bi (a，b∈R)，则y＝a－bi，x＋y＝2a，xy＝a2＋b2， 代入原式，得(2a)2－3(a2＋b2)i＝4－6i， 根据复数相等得， 解得或或或. 故所求复数为或或或. 点评 复数问题的实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的方法，其依据是复数相等的充要条件．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．应用复数的实数化策略可解决求复系数方程的实数解、求复平面上动点的轨迹等问题。
对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方程的求解，判别式不再成立．因此解此类方程的解，一般都是将实根代入方程，用复数相等的条件进行求解．变式训练4 （1）若z＝cos θ＋isin θ，则使z2＝－1的θ值可能是 ( )A. B. C. D.解析：z2＝cos2θ－sin2θ＋isin 2θ＝cos 2θ＋isin 2θ，当θ＝时，z2＝cos π＋isin π＝－1.（2）已知|z|－z＝1－2i，求复数z.解 设z＝a＋bi (a、b∈R)，则－(a＋bi)＝1－2i.由两复数相等的充要条件得解得所以所求复数为z＝＋2i.一、选择题1．若复数z＝，则复数等于( )A．－i B.i C．－i D．i2．若复数(a∈R，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a的值为 ( )A．2 B．4 C．－6 D．63．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( )A．|z－|＝2y B．z2＝x2＋y2C．|z－|≥2x D．|z|≤|x|＋|y|4．复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|<|z2|，则实数a的取值范围是 ( )A．－11 C．a>0 D．a<－1或a>15．若θ∈(，)，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i在复平面内所对应的点在( )A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限B [由三角函数线知识得当θ∈(，)时，sin θ＋cos θ<0，sin θ－cos θ>0，故选B.]6．下面四个命题：①0比－i大；②两个复数互为共轭复数，当且仅当其和为实数；③x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1；④如果让实数a与ai对应，那么实数集与纯虚数集一一对应．其中正确命题的个数是( )A．0 B．1 C．2 D．3A [(1)中实数与虚数不能比较大小；(2)两个复数互为共轭复数时其和为实数，但两个复数的和为实数时这两个复数不一定是共轭复数；(3)x＋yi＝1＋i的充要条件为x＝y＝1是错误的，因为没有标明x，y是否是实数；(4)当a＝0时，没有纯虚数和它对应．]7．在复平面内，向量对应的复数是2＋i，向量对应的复数是－1－3i，则向量对应的复数为 ( )A．1－2i B．－1＋2i C．3＋4i D．－3－4i二、填空题8．已知复数z与(z＋2)2－8i均是纯虚数，则z＝_____－2i _______9．若复数z1＝a＋2i，z2＝1＋bi，a，b∈R，且z1＋z2与z1·z2均为纯虚数，则＝___________.－＋ i10．已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m＝________.解析 ＝＝＝是实数，∴6＋4m＝0，故m＝－.11．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为_2_______．12．已知z1＝2＋i，z2＝1－3i，则复数的虚部为______．解析 ＝＝＝－i，故虚部为－1.13．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别为A，B，C.若＝x＋y，则x＋y的值是__5______．14．复数z＝x＋yi (x，y∈R)满足|z－1|＝x，则复数z对应的点Z(x，y)的轨迹方程为__________．解析 由|z－1|＝x得|(x－1)＋yi|＝x，故(x－1)2＋y2＝x2，x≥0，整理得y2＝2x－1.三、解答题15．已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.解 (z1－2)(1＋i)＝1－i⇒z1＝2－i.(4分)设z2＝a＋2i，a∈R，则z1·z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i.∵z1·z2∈R，∴a＝4.∴z2＝4＋2i.(12分)16．已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．解 设z＝x＋yi (x、y∈R)，∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.∵＝＝(x－2i)(2＋i)＝(2x＋2)＋(x－4)i.由题意得x＝4，∴z＝4－2i.∴(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，由于(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，∴，解得2
