圆形有界磁场问题的分类及解析1、对心飞入问题【例1】电视机的显像管中，电子束的偏转是用磁偏转技术实现的电子束经过电压为U的加速 电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图1所示磁场方向垂直于圆面磁场区的中心为O，半径 为厂当不加磁场时，电子束将通过O点而打到屏幕的中心M点为了让电子束射到屏幕边缘， 需要加磁场，使电子束偏转一已知角度0，此时磁场的磁感应强度B应为多少？團1 图E解析：如图2所示，电子在磁场中沿圆弧ab运动，圆心为C，半径为R可证三角形厶©竺△CbO,则ZCbO=90 °,电子离开磁场时速度的反向延长线经过O点由几何关系可知- 0 一2又有1eU = 2mv2V2 evB=mR-三式联立解 点评：粒子沿半径方向飞入圆形匀强磁场，必沿半径方向飞出磁场2、圆心出发问题【例2】一匀强磁场，磁场方向垂直于兀0尹平面，在xQy平面上，磁场分布在以O点为中心的一 个圆形区域内一个质量为眈、电荷量为g的带电粒子，由原点O开始运动，初速度为V,方向沿 %轴正方向后来粒子经过尹轴上的F点，此时速度方向与尹轴的夹角为30°, F到O的距离为厶 如图3所示不计重力的影响求磁场的磁感应强度B的大小和卩平面上磁场区域的半径人。
解析：如图4所示，粒子在磁场中轨迹的圆心C必在尹轴上，且F点在磁场区之外粒子从4点离rL= r+sn丽=3rv2r3 mV开磁场区，设轨迹半径为厂则又可求得磁场区域的半径 点评：画轨迹时可先画一个完整的圆，然后分析粒子从圆周上哪一点离开，速度方向才会与题 意相符，只要找到了离场点，问题就能解决了3、最长时间（最大偏角）问题【例3】如图5所示，在真空中半径r=3.0X10-2m的圆形区域内，有磁感应强度B=0.2 T,方向垂直纸面向里的匀强磁场，一束带正电的粒子以初速度vo=1.0X106 m/s,从磁场边界直径ab的 a端沿各个方向射入磁场，且初速方向都垂直于磁场方向若该束粒子的比荷善=1.0X108C/kg,不计粒子重力求粒子在磁场中运动的最长时间v2解析：如图6所示，由qv0B=mRmvR=B= 5.0X 10-2 m>r要使粒子在磁场中运动的时间最长，应使粒子在磁场中运动的圆弧最长，即所对应的弦最长则以磁场圆直径 为弦时，粒子运动的时间最长设该弦对应的圆心角为2a,而2nm T= qB '则最长运动时间tmax2a 2am= ・T=2n qB. r 3 sina^R^5故 tmax = 6-5X10-8S°点评：粒子穿过圆形磁场时，以磁场圆直径为弦时，粒子运动时间最长，偏转角最大。
4、最小半径问题【例4】如图7所示，一带电质点，质量为m,电荷量为q,以平行于兀轴的速度v从y轴上的Q点 射入图中第一象限所示的区域为了使该质点能从x轴上的b点以垂直于兀轴的速度*射出，可在 适当的地方加一个垂直于卩平面、磁感应强度为〃的匀强磁场若此磁场仅分布在一个圆形区 域内，试求这圆形磁场区域的最小半径重力忽略不计解析：质点在磁场区中的轨迹弧是4圆周由qvB=mR 得轨迹半径人=篦在通过M, N两点的不同的圆周中，最小的一个是以MN连线为直径的圆周 故所求的圆形磁场区域的最小半径为，r^2MN=进R=器, 所求磁场区域如图8中实线圆所示点评：粒子穿过圆形磁场时，若轨迹是确定的，则以轨迹圆弧对应的弦为直径时，磁场圆最小5、会聚一点问题【例5】如图9所示x轴正方向水平向右，尹轴正方向竖直向上在谊尹平面内有与y轴平行的匀强 电场，在半径为人的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场在圆的左边放置一带电微粒发射装 置,它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量眈，电荷量q(q> 0)和初速度v的带电微粒发射时， 这束带电微粒分布在0< 2人的区间内已知重力加速度大小为g⑴从A点射出的带电微粒平行于兀轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离 开，求电场强度和磁感应强度的大小和方向。
2) 请指出这束带电微粒与兀轴相交的区域，并说明理由3) 若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与着由相交的区域又在哪里?并说明理由图9 图10解析：(1)粒子平行于着由从C点进入磁场，贝何得E=m，方向沿y轴正方向q带电微粒进入磁场后，做圆周运动并从坐标原点O沿y轴负方向离开，则轨迹半径r=R由qvB=mR 得B=mR，方向垂直纸面向外2) 如图10所示，从任一点F水平进入磁场的带电微粒在磁场中做半径为R的匀速圆周运动, 圆心位于其正下方的0点，微粒从M点离开磁场可证明四边形POMQ是菱形，则M点就是 坐标原点，故这束带电微粒都通过坐标原点O3) 带电微粒在y轴右方(兀>0)的区域离开磁场并做匀速直线运动靠近上端发射出来的带 电微粒在穿出磁场后会射向兀轴正方向的无穷远处，靠近下端发射出来的带电微粒会在靠近原 点之处穿出磁场所以，这束带电微粒与兀轴相交的区域范围是Q 0点评：一束带电粒子以平行的初速度v垂直射入圆形匀强磁场，若带电粒子的轨道半径与磁场 圆半径相同，则这些带电粒子将会聚于初速度方向与磁场圆的切点6、平行离开问题【例6】电子质量为眈，电荷量为e,从坐标原点O处沿xQy平面射入第一象限，射人时速度方向 不同，速度大小均为v0O,如图11所示。
现在某一区域加方向向外且垂直于xQy平面的匀强磁场， 磁感应强度为〃，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到荧光屏上，荧光屏与尹轴平行，求荧 光屏上光斑的长度初速度沿兀轴正方向的电子，沿弧运动到F；初速度沿y轴正方向的电子，沿弧OC运动到0v2 mv设电子轨迹半径为人，则ev0B=mjR即R=~b0mv荧光屏上光斑的长度pq=r=s 点评：速度大小相等的一束带电粒子从圆周上同一点沿不同方向垂直射入圆形匀强磁场，若粒 子的轨道半径与磁场圆半径相同，那么所有粒子成平行线离开磁场，而且与磁场圆在入射点的 切线方向平行7、最小面积问题【例7】如图13所示，ABCD是边长为a的正方形质量为眈，电荷量为e的电子以大小为v0的初 速度沿纸面垂直于BC边射入正方形区域在正方形内适当区域中有匀强磁场电子从BC边上 的任意点入射，都只能从A点射出磁场不计重力，求：(1) 此匀强磁场区域中磁感应强度的方向和大小；(2) 此匀强磁场区域的最小面积解析：(1)让平行粒子束射入圆形匀强磁场，若轨道半径与磁场圆半径a相同，则这些带电粒子 将会聚于初速度方向与磁场圆的切点Av2 mv由 ev0B=m-a 得所加匀强磁场的磁感应强度大小〃=70°，方向垂直于纸面向外。
2)如图14所示，以D为圆心、a为半径的4圆周与电子最上边轨迹CEA圆弧所围的区域，就 是所求的最小磁场区域其面积为S=2l 4 na2—2 a点评：此题也属会聚一点问题，圆形磁场内刚好能覆盖粒子轨迹范围的部分，就是所要求的磁 场最小面积8、先散后聚问题【例8】某平面内有M, N两点，距离为厶，从M点向此平面内各个方向发射速率均为v的电子, 请设计一种匀强磁场分布,使得由M点发出的电子都能汇聚到N点要求画出匀强磁场分布图, 并加以必要的说明，电子质量为眈，电荷量为eL图15才 K XlX X 上* X X/Ni**x 9 A x x^x > ! x m x!x5xXTx x x j XiX X X/解析：加上四个磁感应强度〃大小相等的圆形匀强磁场，磁场方向如图15所示，磁场圆半径人要和轨迹圆半径相等，故要满足RB==的条件，而且2RWL矩形M] N\ N2码区域外的磁场 可向外围区域扩展） 点评：此题是平行离开和会聚一点问题的综合，需要较好的空间想象能力9、回归起点问题【例9】如图16所示，半径为人的圆筒形区域内，分布着磁感应强度为方向垂直纸面向里的 匀强磁场，一带正电的微粒从圆筒壁上小孔^点沿半径方向射入磁场，且初速度方向垂直于磁 场方向。
若该微粒与筒壁碰撞时不损失电荷量，并能以大小相等的速度反向弹回，问初速度大小满足什么条件时，微粒能回到/点，并求出微粒回到/点所经历的时间已知微粒质量为m，电荷量为q，不计微粒重力XXXXXXXXXXXXXXXXx-X其XXXX其.XXXXA图16图17解析：如图17所示，设微粒经”一1次碰撞，飞行〃段圆弧后回到/点,设6OCF '则吐話,兀微粒轨迹半径r=Rtan3=Rtan~， n再由qvB=^可得初速度满足v=qBRtann的条件时，微粒能回至临点，其中n取大于2的整数设微粒回到4点所经历的时间为t,周期为八圆弧/B对应圆心角ZACB=a,2n 2nr 2nm na贝^a=n~2o=n~n，t=—=-qB，t=2nT三式联立可得：点评：由于微粒轨迹有无数种可能，关键是理清几何关系找到通式10、粒子束缚问题【例10】如图18所示，环状匀强磁场围成的中空区域内有自由运动的带电粒子，但由于环状磁 场的束缚，只要速度不很大，都不会穿出磁场的外边缘设环状磁场的内半径R] = 0.5m，外半 径R2=1.0m，磁感应强度B=1.0 T，方向垂直纸面，若被束缚的带电粒子的比荷为m = 4X107 C/kg，中空II区域中带电粒子具有各个方向的速度，试计算：(1) 粒子沿环状半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度；(2) 所有粒子不能穿越磁场的最大速度。
解析：(1)如图19(a)所示，粒子沿圆弧运动时，刚好没有出磁场外沿，C点为轨迹的的圆心， v2对直角三角形OAC，由勾股定理有(R2—r)2=Rj+r2,与qvB=m~联立可求得粒子不能穿 越磁场的r最大速度为v=1.5X 10 7m/s2)如图19(b)所示，当沿内圆切线方向射入磁场的粒子也飞不出磁场外沿时，所有粒子都 v2不能穿越磁场由几何关系有2r=R2—R1，再由qvB=mr，可解得所有粒子不能穿越磁场的最 大速度为 v=1.0X107 m/s点评：应分析粒子的可能轨迹，从中找到刚好不出磁场的临界轨迹11、循环运动问题【例11】如图20所示，三个圆半径分别为A, 2R, 3R,中心圆和外环区域分布着相同的匀强磁 场，磁感应强度为5方向垂直纸面向里，内环是无磁场区从圆心O点沿着纸面射出一带正电 的粒子，初速度大小尸逬讐，问此粒子能否逃出两个磁场的束缚冲出圆环外？若能，请求 出粒子从圆心到冲出圆环所需的时间若不能，请求出粒子完成一次周期性运动的时间已知 粒子的质量为m，电荷量为q，不计粒子重力粒子在磁场中做圆周运动的周期为：故粒子完成一次周期性运动的时间为：(2兀+2\/7 — 2)t=T+2t^=-—qB解析：由qvB=mVr2求得粒子的轨迹半径厂=語=数，粒子从O点沿纸面向不同方向射出时，轨 迹不同，但轨迹形状是一样的。
如图21所示，粒子先完成1圆周到4点离开磁场，沿AB做匀速直 线运动，在B点进入外环磁场容易判断粒子没有冲出外环，而是做了半个圆周运动后到E点回 到里侧无磁场区，E到尸做匀速直线运动，从F点进入圆形磁场，做1圆周运动后回到O点，完成 一次周期性运动设AB=CD=EF=d，在AOBD 中，由勾股定理有(r+d)2+r2 = (2R)2,解得d「^；%， 2nr 2nm点评：分析粒子的入场点和出场点从而确定轨迹是关键12、电磁综合问题【例12】 1932年，劳伦斯和利文斯设计出了回旋加速器回旋加速器的工作原理如图22所示， 置于高真空中的形金属盒半径为人，两盒间的狭缝很小，带电粒子穿过的时间可以忽略不计磁感应强度为〃的匀强磁场与盒面垂直A处粒子源产生的粒子，质量为眈，电荷量为g，在加 速器中被加速，加速电压为U加速过程中不考虑相对论效应和重力作用1) 求粒子第2次和第1次经过两形盒间狭缝后轨道半径之比；(2) 求粒子从静止开始加速到出口处所需的时间；(3) 实际使用中，磁感应强度和加速电场频率都有最大值的限制若某一加速器磁感应强度和加速电场频率的最大值分别为Bm，人，试讨论粒子能获得的最大动能Ekm。
解析：(1)设粒子第1次经过狭缝后的半径为s速度为"，1 V2 1贝归"=尹卩2 ，qV]B=mr 解得 G=B q1 [4mU同理，粒子第2次经过狭缝后的半径r2=B q ，则r2 : r1=；2 : 1 o1 v2 2nm(2)设粒子到出口处被加速了n圈，有2nqU=^mv2，qvB=mR， T=~gB 解得 t=nBR2mUt=nT，(3)加速电场的频率应等于粒子在磁场中做圆周运动的频率，即 f=2Bm粒子的动能 Ek=*mv2g2B2R2 Ek =— m 2m当磁感应强度为$时，加速电场的频率应为fBm=2Bm 当时，粒子的最大动能由由久决定qvmBm = mRm解得解得当沧肿人时，粒子的最大动能由由人决定vm=2nfmR点评：要综合运用带电粒子在电场、磁场中运动的规律，尤其要理清电场Ekm = 2n2mfm R2磁场的相互制约关系，才能正确求解。