第三章 空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算3・1・1空间向量及其加减运算制作人：高二数学组 使用时间：目标要求1、 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程，了解空间向量的概念；2、 掌握空间向量的加法、减法运算预习学案1、 空间向量’ （1）定义：在空间,把具有 和 的量叫做空间向量•（2） 长度：向量的 叫做向量的长度或 •空间向量 a.几何表示法：空间向量用 表示.（3） 表示法＜ b.字母表示法:用字母表示，若向量的起点是A,终点是B,可记作a,也可记作 ,其模记为iai或iabi.k J2、 几类特殊向量① 零向量： 的向量叫做零向量，记为 ② 单位向量： 的向量称为单位向量③ 相等向量：方向 且模 的向理称为相等向量在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量④ 相反向量：与向量a 而方向 的向量，称为a的相反向量，记为3、空间向量的加减法与运算律空间向量的加减法类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算（如图1 為亍OB = OA + AB = :_ _ _ 旷~亍1CA = OA - OC = .加法运算律（1） 交换律：a + b = :（2） 结合律：（a + b） + c = :想一想：空间两向量的加减法与平面内向量的加减法完全一样吗?4、 如何认识空间向量？空间向量与平面向量没有本质区别，都是表示既有大小又有方向的量，具有数与形 的双重性。
形的特征：方向、长度、夹角等；数的属性：大小、正负、可进行运算等 空间向量的数形双重性，使形与数的转化得以实现，利用这种转化可使一些几何问题利 用数的方式来解决空间向量和有向线段不是同一概念，有向线段只是空间向量的一种几何直观表示法5、 如何理解几类特殊向量？(1) 零向量和单位向量均是从向量模的角度进行定义的，I o i= 0，单位向量e的模I e I=12) 零向量不是没有方向，它的方向是任意的3) 注意零向量的书写，必须是0这种形式4) 两个向量不能比较大小，若两个向量的方向相同且模相等，称这两个向量为相 等向量，与向量起点的选择无关 —*■ . Z7 —*-拓展：对于一个确定的向量a，其单位向量为-二，方向与a方向一致I a I6、如何理解向量的加法？根据向量的加法法则，表示相加向量的有向线段依次首尾相接，贝I」从第一个向量的 首指向最后一个向量的尾的向量就是这些相加向量的和向量加法可以推广到有限个向 量的和，并且可用口诀记忆：首尾首尾首指向尾课上学案类型一：空间向量的概念辨析例1：给出以下命题：① 若空间向量a, b满足i a i=i b i,则a=b ；② 若向量a是向量b的相反向量，则i a i=i b i；③ 两个空间向量相等，贝陀们的起点相同，终点也相同；④ 空间向量的减法满足结合律；⑤ 若空间向量m, n, p满足m = n, n = p，则m = p ；⑥在正方体ABCD— A1B1C1D1中，必有AC = AC ；1111 1 1⑦空间中任意两个单位向量必相等。
其中不正确命题的个数是( )D、4A、1 B、2 C、3变式训练：判断以下命题的真假1) 向量AB与BA的长度相等;(2) 将空间中所有的单位向量平移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆;(3) 空间向量就是空间中的一条有向线段；(4) 不相等的两个空间向量的模必不相等类型二：空间向量的加减运算例2：如图，已知正方体ABCD- A1B1C1D1中，点E是上底面的中心，化简下 列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量1) AB + BC — CC; (2)丄 AB — - DA — A!;2 2 1(1) AA' — CB ;(2) AA ' + AB + B 'C 'A B类型三：有关向量的证明例3：证明平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分变式训练：已知O是厶ABC内一点,的面积之比为1： 3OA + OC = — 3 OB，求证：AAOB 与厶 AOC变式训练：如图，已知长方体ABCD- A，B'CD中，化简下列向量表达式，并在图 中标出化简结果的向量课下限时训练限时：20分钟使用时间:1、下面有四个命题：①单位向量的模都相等;② 若a, b满足I a I〈 I b I且丨a I与丨b丨同向，则a〉b;③ 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；④ 对任意非零向量a,b必有I a+b I〈I a丨+丨b i.其中正确命题的序号是（）A、①③④ B、③④ C、①④ D、②④2、 在平行六面体ABCD- A1B1C1D1中与向量AD相等的向量共有（ ）A、1个 B、2个 C、3个 D、4个3、 设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO + OB = DO + OC，则四边形ABCD是（ ）A、平行四边形B、空间四边形C、等腰梯形 D、矩形的八个顶点的两点为起点和终点的向量中A B4、在长方体 ABCD- A]B]C]D]中，化简式子：DA — DB + BC —丽 + a b - AB =1111 1 1 1115、如图，在长、宽、高分别为AB=4 AD=2，AA1=1的长方体ABCD-A1B1C1D1中（1）单位向量共有多少个?（2） 写出模为営5的所有向量。
3） 试写出込的相反向量3.1.2空间向量的数乘运算制作人：高二数学组 使用时间：目标要求1、 掌握空间向量的数乘运算2、 理解共线向量定理及推论3、 理解共面向量定理及推论预习学案1、空间向量的数乘运算（1）定义：实数a与空间向量a的乘积 仍然是一个 ，称为向量的数乘运算2）向量a与入a的关系入的范围方向关系模的关系入＞0方向入a的模是a的模的入=0入a = ，其方向是任意的入V0方向（3）空间向量的数乘运算律设入、M是实数，则有①分配律：入（a + b）= ②结合律： 推论：如果i为经过点a平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使上取AB = a，则①式可化为 :op = OA+ta①，其中a叫做直线i的 ，如图所示，若在i2、共线向量与共面向量（1）共线向量定义：表示空间向量的有线线段所在直线 ，则这些向量叫做 或平行向量充要条件：对于空间任意两个向量a,b（b丰0）,a□ b的充要条年是存在实数入使 O（2）共面向量定义：平行于 的向量叫做共面向量充要条件；若两个向量a,b不共线，则向量2与b共面的充要条件是存在惟一的有序 实数对（x, y）,使 。
3、 如何认识空间向量的数乘运算？（1） 空间向量的数乘运算是线性运算的一种，其实质是空间向量的加减运算，即相 同向量的和或差的运算；（2） 空间向量的数乘运算的结果仍然是一个向量，方向取决于入的正负，模为原向 量模的I入I倍4、 如何理解共线向量及共线向量定理？（1） 用共线向量定理证明两直线平行是常用方法，但是要注意，向量平行与直线平 行是有区别的，直线平行不包括共线的情形，如果应用共线向量定理判断a,b所在直线 平行，还需说明a（或）b上有一点不在b（或）a上2） 用共线向量定理证明三点共线也是常用方法，在利用该定理证明（或判断）三 点A、B、C共线时，只需证明存在实数入，使AB = XBC或AB = X AC即可.拓展：对于空间任意点O若有OB = X OA + （1-X） OC成立，则A, B, C三点共线.5、如何理解共面向量定理？（1） 共面向量定理给出了平面向量的表示式，说明两个不共线的向量能确定一个平 面，它是判定三个向量是否共面的依据2） 共面向量定理的推论是判定空间四点共面的依据 推论：如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对（x, y）,使MP = ,或对空间任意一点0来说，有 OP = OM + xMA + yMB.想一想：两个向量a, b共线是两个向量共面的什么条件?课上学案类型一：空间向量的数乘运算A B例1 :如图所示，在平行 六面体 ABCD— A1B1C1D1中,——• 1 __•——- -AM = MC, A N = 2 ND设 AB = a, AD = b, A A】=c,试用 a, b, c 表示 MN.变式训练：如图，空间四边形OABC中，O1 = a, OB = b, OC = c,点M在O!上,且OM = 2 MA, n为bc的中点,试用a, b, C表示MN.类型二：向量共线问题AC、BF的中点，判断CE与MN是否共线？变式训练：如图所示，在正方体ABCD— A1B1C1D1中，E在A1D1 上,且——- ——- ——- 2 —-A E = 2 ED, F在 对角线 A 上 , A F FC 证1 1 1 1 3E F三点共线类型三：向量共面问题例3：如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连结 PA、PB、PC、PD,点 E、F、G、H 分别为△ PAB、A PBC、APCD、APDA的重心，应用向量共面定理证明：E、F、G、 H四点共面。
P变式训练：对于任意空间四边形ABCD，E、F分别是AB、CD的中点，试判断例2：如图所示，四边形ABCD, ABEF都是平行四边形且不共面，M、N分别是EF与BC , AD的关系并给出证明.课下限时训练限时：20分钟使用时间：1、 下列命题中正确的是（ ）a、 若若a与b共线,b与c共线,则a与c共线b、 向量a, b, c共面即它们所在的直线共面C、 零向量没有确定的方向D、 右a □ b,则存在惟一的实数九，使a = X b2、 在下列条件中，使M与A、B、C 一定共面的是（ ）A OM = 3 OA - 2 OB - OC B、OM + OA + OB + OC = 0c、 MA + MB + Me = 0 D、om =丄 OB — OA +1 Oc4 23、 非零向量e , e不共线，使k e + e与e + k e共线的k = .1 2 12 1 24、 在正方体 ABCD— A1B1C1D1 中，DD^— AB + CB = .5、 如图，已知平行六面体 ABCD一A ‘B'C D 中，AB = a, AD = b, AA ' = c,N是面A ' B 'C ' D啲中心，若BN = x： + yb , + zC,试求x, y, z的值各为多少？C13.1.3空间向量的数量积运算及其加减运算制作人：高二数学组 使用时间：目标要求1、 掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算 方法及运算规律。
2、 掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题预习学案1、空间向量的夹角定义已知两个非零向量a b在空间中任取一点O,作OTA - a Ob - b则zaob叫做向量a, b的夹角记法范围当〈a. b〉二巫时a b2想一想：< a, b〉与〈b, a〉相等吗? < a, b〉与〈a, -b〉呢?2、空间向量的数量积(1)定乂：已知两个非零向量a, b，则a 11 b 1 cos < a, b >叫做a, b的数量积，记作aDb.(2)数量积的运算律:数乘向量与向量数量积的结合律(九 a) Db -交换律a Db =分配律a D( b + c)-(3)数量积的性质两 个 向 量 积(1)右a, b是非零向量,则a丄b o a Db - 0.(2)若a与b同向,则acb-1a★ 1；若反向,则a庄--1a★ i . 特别地：a Da -i a i 2若i a i-專7.的 性 质（3）右&为a,b的夹角,则cos 0 = f f .I a II b I（4） I a Ob I< I a IO b I.想一想：类比平面向量，你能说出a ab的几何意义吗？3、 如何理解空间向量的夹角？（1） 任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两个平面向量夹角范围 一样，即［0，冗］;（2） 空间向量的夹解在［0，冗］之间，但直线夹角在（0，—］内，利用向量求直线夹2 角时注意转化，两直线的夹角余弦值一定为非负数。
4、 如何理解平面向量与空间向量数量积的关系？由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和 取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律 等都与平面向量相同5、 怎样理解向量的应用？由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以许多立体几何中的问题，如距 离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助向量的数量积运算加以解决f f f f ff f f a I b（1） aab =|a II b I cos < a,b >,则cos < a,b >=— —,可用来求两个向量的夹角、I a II b I两条异面直线所成的角2） a丄b O aab = 0，用于判断空间两个向量（或空间两条直线）的垂直3） i a 12= a茁，用于对向量模的计算，求两点间的距离和线段的长度拓展：（1）空间向量数量积运算不满足消去律，即aOc = aDb n c = b.（2）空间向量的数量积运算不满足结合律，即（a Ob） Oc = a 0（ b Oc）不正确课上学案类型一：利用数量积求夹角例1：如图，在正方体ABCD— A1B1C1D1中，求直线BC1与AC的夹角的大小。
变式训练：已知在平行六面体ABCD— A ‘B' C ‘D'中，AB=4, AD=3, AA‘=5,ZBAD=90°ZBAA' =ZDAA ‘=60°求 AC 与 AC 的夹角的余弦值A B类型二：利用数量积求两点间的距离D与A在a的同侧，若AB=BC=CD=2,求A、D两点间的距离例2：如图，已知线段AB丄平面a BC a , CD丄BC, DF丄平面a ,且ZDCF=30°,C1CD=Z BCD,求证 CA］丄 B］D］变式训练：如图所示，已知矩形ABCD, AB=4, BC=3，沿对角线AC把矩形ABCD折成 30°的二面角，求BD类型三：利用数量积证明垂直关系例3：如图已知平行六面体ABCD— A1B1C1D]的底面ABCD是菱形，且ZC]CB=ZOB变式训练：已知空间四边形0ABC中，M为BC中点，N为AC 中点，P为OA中点，Q为OB中点，若AB=OC，求证：PM丄QN课下限时训练限时：20分钟使用时间:1、设a, b, c是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题:① (a Db) Dc — (c Da) Db = 0 ;② I a I — I b I〈 I a — b I ；③(bDa)Dc — (cDa)Db不与 c 垂直;f f f f f f④(3a + 2b)D(3a — 2b) = 9 I a P -4|b|2.A、①② B、②③ C、③④ D、②④2、空间向量a与b的夹角为e,则e的范围是（ ）A、兀[0, ] B、[0, “ ]2c 兀C、(0,)2D、(0,兀)3、空间四边形OABC 中,OB=OC，Z AOB=Z AOC=—，则3cos < OA, BC > 的值为A、2B、C、D、0I= 5, I b I= 3, I c I= &C.求BA4、设向量：与b相互垂直，向量：与它们构成的角是60°,且I a;(2 a + b — 3c)2那么(a + 3 c) D(3 b — 2 a)=5、如图所示，在正方体ABCD— A1B1C1D1中，若棱长为a,BA DB C。
123.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示制作人：高二数学组 使用时间：目标要求1、 理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题2、 理解基底、其向量及向量的线性组合的概念3、 掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标预习学案1、空间向量基本定理定理：如果三个向量a,b,c ,那么对空间任一向量~p,存在有序实数组｛x,y,z｝,使得~p = ,其中｛a,b,c｝叫做空间的一个 , a,b,c都叫做 2、空间向量的正交分解及其坐标表示单位正父基底三个有公共起点0的 的单位向量e ,e ,e称为单位正交基底1 2 3空间直角坐标系以e ,e ,e为 为原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴1 2 3的正方向建立空间直角坐标系Oxyz空间向量的坐标表示对于空间任意一个向量p，一定可以把它 ，使它的 与原点O重合，得到向量OP = p，由空间向量基本定理可知，存在有序 实数组｛x, y，z｝，使得p = ，把 称作向量p在单位正交基底e , e , e下的坐标，记作 1 2 3想一想：你能写出坐标轴或坐标平面垂直的向量的坐标吗?3、怎样正确理解空间向量基本定理？（1）空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组｛a, b, c｝可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的。
2）空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基 底拓展：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在惟一的有序实 数组｛x, y，z｝，使OP = xOA + yOB + zOC,当且仅当 x+y+z=l 时，P、A、B、C 四点 共面4、如何理解空间向量与平面向量的正交分解？空间向量的正交分解与平面向量的正交分解类似，都需要事先提供一组基底，空间 向量表示为p = xa + yb + zc的形式，平面向量表示为p = xa + yb的形式课上学案类型一：基底的判断④殳 a, x, y}⑤殳 x, y, a + b + c}例1：设x = a + b , y = b + c忆=c + a ,且a b C ｝是空间的一个基底，给出下列向量 组：①{a, b, x}②（a, b, y} ®{x, y, z}其中可以作为空间基底的向量组有（A、1个 B、2个 C、3个D、变式训练：已知（a, b, c｝是空间的一个基底,则可以与向量p = a + b, q = a - b构成基底的向量是（ ）A、2 aB、 2 bC、2 a +3bD、2a + 5c类型二：用基底表示向量例2：如图，已知正方体ABCD—A‘B' C D,点E是上底面A‘B' C D 的中心，求下列各式中x、y、z的值。
1）BD ' = xAD + yAB + zAA'；（2） AE = xAD + yAB + zAA'；变式训练：如图，在平行六面体ABCD—A‘B'C D中，AB = ：, AD = b, AA' = CP是CA '的中点,M是CD '的中点，N是C 'D '的中点,点Q在CA '上,且CQ : QA ' = 4:1,Af Df用向量a, b, c表示以下向量.(1A〒；(2A)M 一； 3N~~\ A42类型三：空间向量的坐标表示例 3：在直二棱柱 ABO—A1B1O1 中 zaob = , AO = 4, BO = 2, AA. = 4, D为 A1B啲中点,2 1在如图所示的空间直角坐标系中，求DO,AB的坐标.变式训练：已知矩形ABCD, P为平面ABCD外一点，M、N分别为PC、PD上的点且|pm|=2|mc| , |pn| = |nd| ,设｛AB,AD,AP｝为基底，求MN在此基底下的坐标.课下限时训练限时：20分钟使用时间：1、下列说法中正确的是（ ）A、 任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底B、 空间的基底有且只有一个C、 两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底2、D、 基底（a,b, c｝中的基向量与基底（e, f, g ｝的基向量对应相等如图所示，空间四边形OABC中，O! = a,OB = b,OC = c,点M在O!上,且 OM = 2MA, N为 BC 的中点,MN = xa + yb + zc,则 x, y, z分别为(A、B、2 1 13, 2,2C、D、3、设｛e , e , e ｝是空间向量的一个单位正交基底，a = 4e - 8e + 3e ,1 2 3 1 2 32 23’ 3b = -2e - 3e + 7e，则a, b的坐标分别为1 2 34、若｛a, b, c｝是空间的一个基底 ，且存在实数x、y、z使得xa + yb + zc = 0，则X、y、z满足的条件是 5、如图所示，已知ABCD— A1B1C1D1是平行六面体，且込=：,AB = b, AD =；用a, b, c表示以下向量:(1) AC;（2）BG （G是B D上分B D的比值为1的点）.ii ii 23.1.5空间向量运算的坐标表示制作人：高二数学组 使用时间：目标要求1、 理解空间向量坐标的概念，会确定一些简单几何体的顶点坐标。
2、 掌握空间向量的坐标运算规律，会判断两个向量的共线或垂直3、 掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些知识解决一些相关问题预习学案1、空间向量运算的坐标表示―> ―>设 a = (a , a , a ), b = (b , b , b )1 2 3 1 2 3向量的加法a + b = :向量的减法a 一 b = :数乘向量九 a = ( X g R)；向量的共线若 b 工 0 则 a n b o a = X b (X g R) o , , .数量积a nb = :向量的模| a 1= J： ra = :向量的夹角-丁 a nb a b + a b + a bcos < a, b > _ _ / 1 1 2 2/ 3 31 a □ b 1 寸a 2 + a 2 + a 2 Jb 2 + b 2 + b 212 3 12 3向量的垂直若a丄b,则有= .2、空间中向量的坐标及两点间的距离公式在空间直角坐标系中，设A(a ,b , c ), B(a ,b , c )则111 222(1) AB = ；(2) d = I AB 1= .3、 如何确定向量的坐标？(1) 向理的坐标可由其两个端点的坐标确定，可先求其两端点的坐标；(2) 通过向量间的坐标运算求得新向量的坐标；(3) 给出条件求向量的问题，可先设出向量的坐标，然后通过建立方程组，解方程 组求其坐标。
4、 如何利用向量坐标处理空间中的平行与垂直？(1) 向量化：即将空间中的垂直与平行转化为向量的垂直与平行；(2) 向量关系代数化：即写出向量的坐标；(3) 求解：利用向量的坐标运算列出关系式求解a = X b_ _ _ _ _ 1 1提醒：设 a = (a + a + a ), b = (b + b + b ),则 a □ b (b 工 0) o < a = Xb，这一形式1 2 3 1 2 3 2 2a = X b1 3 3不能等价于佯=Z = Z,只有在b与三个坐标轴均不平行时才能这样写，比如，当b与 b b b1 2 3坐标轴平面xOy平行时，b3=0,此时2无意义b3课上学案类型一：空间向量的坐标运算例 1：设向量 a = (2,1, 6), b = (-8, -3,2)，计算—> —> —> —> 1 -* -*(1) 2a + 3b; (2) 3a - 4b; (3) — bDa;2(4)若X ： +卩b与y轴垂直，求X与卩满足的关系式•变式训练：已知△ ABC中，A (2, —5, 3),，a =翼—3翼 =- 求顶点B, C的坐标及CA.类型二：向量的平行与垂直已知空间三点 A(—2, 0，2)、B(—1, 1，2)、C(—3, 0，4)。
设a = ~AB,b = ~AC .(1) 设 | c 1= 3, c □ BC ,求 c;(2) 右ka + b与ka - 2b互相垂直,求k.变式训练：(1)已知向量a = (2, 4, 5), b = (3, x, y)若a □ b,求x,y的值.(2)已知：a = (2, 4, x), b = (2, y, 2),若 |a 1= 6,且 a 丄 b,求 x+y 的值.类型三：夹角与距离的求解例 3： (1)已知空间三点 A (0, 2, 3)、B (—2, 1, 6)、C (1,—1, 5)求以 AB、 AC为边的平行四边形的面积2)已知a = (5,3,1), b = (- 2, t,--)若a与b的夹角为钝角，求实数t的取值范围.5变式训练：已知点 A(1,2, 1)、B(—1,3,4)、D(1, 1, 1),若 AP = 2PB ,试求 |PD|.课下限时训练限时：20分钟使用时间:1、在空间直角坐标系Oxyz中，已知点A的坐标为(一1, 2, 1),点B的坐标为(1,3, 4),则( )A、AB = (-1,2,1)B、AB = (1,3, 4)C、AB = (2,1, 3)D、AB = (— 2, -1, - 3)2、已知 a = (1, -2,1), a +b = (—1,2, -1)则 b 等于( )A、 (2, 一4, 2)B、(一2, 4, 一2)C、(一2, 0, 一2)D、 (2, 1, 一3)3、已知 a = (1, 2, - y), b ==(x ,1,2),且(a + 2 b) □ (2 a—b )则()A 1r 1A、x = —, y = 1B、x = , y = - 432C、x = 2, y =—D、 x = 1, y = — 144、 设 A(3, 2, 1), B(l, 0, 5), C(0, 1, 0),则 AB 的中点 M 到点 C 的距离为 ，5、 已知空间三个向量a = (1,-2, z), b = (x,2, -4), C = (-1, y,3),若它们分别两两垂直，则 x= , y= , z= 。
6、 已知向量：=(1,-2, 4),向量b满足以下三个条件：(1) a Db = 0;(2) | b 1= 10;(3) b与向量c = (1,0, 0)垂直,试求向量b.21。