51 纯弯曲纯弯曲52 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力53 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力54 弯曲弯曲切应力切应力56 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施第五章第五章 弯曲应力弯曲应力内力剪力FS弯矩M51 纯弯曲纯弯曲MFS 纯弯曲:FS=0，M0正应力 切应力 横力弯曲：FS 0，M0AB段纯弯曲段纯弯曲(Pure Bending):FFaaABFSx+FFMx+F a纵向对称面纵向对称面F1F2平面弯曲平面弯曲52 纯弯曲时的正应力纯弯曲时的正应力一、一、纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力1.梁的纯弯曲实验 横向线(mn、mn）变形后仍为直线，但有转动；纵向线变为曲线，横向线与纵向线变形后仍正交变形几何规律：变形几何规律：bnamabnmababMMnmnm横截面变形后仍为平面横截面变形后仍为平面2.平面假设：平面假设：bnamabnmababMMnmnm设想梁由无数根平行于轴设想梁由无数根平行于轴线的纵向纤维组成，变形线的纵向纤维组成，变形后，上部纤维缩短，下部后，上部纤维缩短，下部纤维伸长纤维伸长有一层纤维变形后不伸长有一层纤维变形后不伸长也不缩短。
也不缩短3.两个概念两个概念中性层：梁内既不伸长也不缩短的一层纤维，此层纤维中性层：梁内既不伸长也不缩短的一层纤维，此层纤维称中性层称中性层中性轴中性轴中性轴：中性层与横截面的交线中性轴：中性层与横截面的交线中性层中性层2022-11-69（一）变形几何关系：dxbblllddd)(ybbnamanmydx建立坐标系变形前：变形后：dy)(a b a b MMn m n m ybbl1yd（1）dlll1伸长量：线应变：dxdxdy)(dxdy)(y中性层中性层中性轴中性轴zyxy（二）物理关系：（二）物理关系：假设：纵向纤维无挤压假设：纵向纤维无挤压2)yEEP时，当xyzx-曲线曲线 P 式中：E和为常数，所以横截面上正应力与 y 成正比三）静力关系：（三）静力关系：zyxzyxMMMFFF0（1）0（2）M（3）xyzFxMyMzMx横截面上的正应力组成一个横截面上的正应力组成一个空间平行力系，可以简化后空间平行力系，可以简化后得到三个内力分量：得到三个内力分量：000 xyzxF 0 0ZSE所以必须，由于yMyAMAz)d(ydAdAAxAFdAAyEdAAyEdZSE00（1）0（2）M（3）由（1）式xyzFxMyMz轴必须通过形心中性所以，)(zAdAzzA )d(AyEzAMAy)d(（平面弯曲，（平面弯曲，Iyz=0）yAMAz)d(EIz 梁的抗弯刚度。
梁的抗弯刚度由（2）式由（3）式zIyM（5-2）xyzyzdAdAAAEyzdAAyzEdyzEIAAEyd2AAyEd2zEIMzzEIM1（5-1）0yEzIyM（5-2）xyzMx53 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力hFlAB对于横力弯曲，当 5 时，按纯弯曲时的公式计算正应力，误差不超过1%hl一、一、横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力 zIyM 二、最大正应力：二、最大正应力：zIMymaxmaxmax:yIWzZ记zWMmaxWz称为抗弯截面系数maxM6 2bhWzbhzy矩形：2 ,12max3hybhIZ抗弯截面系数：抗弯截面系数：32 3dWz)1(32 43DWzDd空心圆：实心圆：2 ,64max4dydIZ2 maxDydzyDdzy,)1(6444DIZ nsmaxhFlAB zWMmaxmax三、梁的正应力强度条件三、梁的正应力强度条件max塑性材料脆性材料 ntbttmaxncbccmax例例1FABl图示起重机大梁，Q235钢，=170MPa，小车和重物重量F=265kN，l=4m，求：1）设计h/b=1.5的矩形截面梁；2）选择工字钢型号：3）比较这两种截面梁的耗材。
hbzy解：解：(1)(1)当小车在跨中时梁最危险当小车在跨中时梁最危险zy求支座反力求支座反力,画弯矩图画弯矩图FABl/2l/2Chbzy(2)矩形截面梁ZWMmaxmaxzWMmaxmax62maxbhM32max5.16bM32max5.16 Mb)mm(8.160)mm(2.241 h(3)工字形截面梁 maxMWz)cm(8.15583zyxM265m)(kN+查表，选择No.45c工字钢工矩AA3cm1570zW23.3(4)比较耗材工字钢耗材是矩形截面梁的三分之一工字钢耗材是矩形截面梁的三分之一hbzyzy120002.2418.160 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：梁内的最大正应力；例例2q=60kN/mAB3m120180zyxM+5.67m)(kN解：解：MPa2.1041048.6105.6756maxmaxzWMkNm5.67maxM62bhWz61801202)mm(1048.635例例3支座A和B放在什么位置，梁的受力最合理q=60kN/mAB3maa120180zy解：解：考虑两种极限情况考虑两种极限情况a=0 和和 a=1.5mq=60kN/mABl=3maaq=60kN/mABl=3mxM+5.67m)(kNM+Mq=60kN/ml=3mABq=60kN/mAl=3maaBM+282qlaql22qaq=60kN/ml=3maaABC22qa2 2qaMMBA8 )2(22qlalqlMC时，梁受力最合理：当 ACMM04422llaa222llla舍去负值la)12(21l207.02 2822qaqalql2 82qlaqlM+q=60kN/maaABCm)kN(56.11BAMMm)kN(56.11CM最大弯矩下降了：82.05.6756.115.67%82。
降了梁内最大正应力同样下%82l=3mm)kN(56.1156.1156.11M+铸铁梁，受力如图，铸铁的t=20MPa，c=60 MPa，试根据危险截面k-k的强度，确定最大载荷P2)求危险截面上的弯矩例例4k770Fk101010180285解：(1)求形心位置和惯性矩Cycyzz1)(mm3.112cy)(mm10622044zI)mm(N770FMKtcMk101010180285Cycyzz1k770FkMktcMk(4)压应力强度(3)拉应力强度zcktIyM)(kN4.14 F101010180285Cycyzz141062203.112770FtzckcIyM)285(41062207.172770Fc)(kN1.28 F允许的最大载荷允许的最大载荷F14.4kNk770FkMk T 字形截面的铸铁梁，受力如图，铸铁的t=30MPa，c=60 MPa，其截面形心位于C点，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4 ，试校核此梁的强度解：(1)求支座反力)kN(5.2AFF1=9kN1m1m1mF2=4kNABCD例例5y1y2CFAFB)kN(5.10BF（2）画弯矩图找危险截面F1=9kN1m1m1mF2=4kNABCDy1y2CFAFBB截面弯矩最大，是危险截面2.5kNm4kNmMx+(2)B截面的强度F1=9kN1m1m1mF2=4kNABCDy1y2C负弯矩，上边缘受拉，下边缘受压负弯矩，上边缘受拉，下边缘受压zBtIyM1zBcIyM2tc+-tcMB2.5kNm4kNmMx+MPa2.27107635210446MPa2.46107638810446(3)C截面的强度F1=9kN1m1m1mF2=4kNABCDy1y2C正弯矩，下边缘受拉，上边缘受压正弯矩，下边缘受拉，上边缘受压zCtIyM2zBzCcIyMIyM21tc+-+-梁安全tcMCMPa2.281076388105.2462.5kNm4kNmMx+讨论：若将若将T字形梁倒置，梁是否安全？字形梁倒置，梁是否安全？F1=9kN1m1m1mF2=4kNABCDy1y2Cy1y2CMPa2.461076388104t462zBtIyMB截面的拉应力：梁的强度不够。
tcMB2.5kNm4kNmMx+T 字形截面铸铁梁，梁长为l，受活动载荷，如图，已知许用拉应力与许用压应力之比t:c=1:4，y1:y2=1:5，试确定合理的 a 值例例6y1y2Cal/2ABCDaFl/2解：al/2ABCDaFl/2al/2ABCDaFl/2y1y2CFa+)2(4alF正弯矩：拉应力控制强度负弯矩：压应力控制强度t:c=1:4，y1:y2=1:5y1y2C正弯矩：拉应力控制强度负弯矩：压应力控制强度t:c=1:4，t2zCtIyMc2zBcIyMctBCMM4BCMM4)2(4FaalF3la+)2(4alFFaFSM 54 弯曲弯曲切应力切应力b2h2hzy一、一、矩形截面矩形截面梁梁1 1、切应力的切应力的两点假设：两点假设：54 弯曲弯曲切应力切应力yFS（2）切应力沿宽度均匀分布切应力沿宽度均匀分布1 1）切应力与剪力切应力与剪力Fs平行；平行；hbxzyyFS2 2、研究方法：分离体平衡、研究方法：分离体平衡（1 1）在梁上取微段）在梁上取微段hbxzyyFSMM+dMdxdxyFSzyxhbFSFSSFxMdddxF1dx2 2、研究方法：分离体平衡、研究方法：分离体平衡,0 xFMM+dMyydxyFSzyxhb1dxF2（1 1）在梁上取微段）在梁上取微段（2 2）在微段上再切取一部分求平衡在微段上再切取一部分求平衡0)d(112xbFF1FSFSzIyMM1)d(dxyzyx2FzzISMM)d(bISxMzzdd1由切应力互等定理由切应力互等定理bISFzz*S zzIMSF1同理：*d)d(1AzAyIMMF2dxF1 1AzIyMM1)d()d(zzISMMSddFxMbISFzzS0)d(112xbFF由AdAdAy1 *zzIMS0d1xbAdA*b2h2hyzyFSbISFz*zS zb2h2hyyFSy*cA*zS)2(yhb)4(222yhb)2(yhb)4(222yhIFzS矩max(2b当 y=0 时，max,2hy 0cyA)24(yhy)24(yh)(2yh)2yh、切应力分布规律、切应力分布规律422ShIFzmax)4(222S矩yhIFz 方向：与横截面上剪力方向一致；方向：与横截面上剪力方向一致；大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。
分布为抛物线最大最大切切应力为平均应力为平均切切应力的应力的1.51.5倍zb2h2hyyFSy*cA*当 y=0 时，max矩形截面弯曲切应力分布规律：矩形截面弯曲切应力分布规律：AF.S51412223ShbhFbhF23S平均5.1平均5.1maxB2H2H2h2hbyzyFS bISFzZ*S分为腹板和翼板：分为腹板和翼板：翼板上除了有平行于翼板上除了有平行于FS的切应的切应力分量外，还有水平分量力分量外，还有水平分量腹板为狭长矩形，可以采用前述的腹板为狭长矩形，可以采用前述的两个假设采用相同的推导，得到两个假设采用相同的推导，得到切应力公式切应力公式：二、二、工字形截面工字形截面梁梁 zS)442)(22(hHhhHB)(8)4(22222*hHByhbSZB2H2H2h2hbyzy)24)(2(yhyyhb2211yAyAA2A11y2y)4(2)(82222yhbhHBbIFZSmaxminB2H2H2h2hbyyFSy=0时，8)(8222maxbhhHBbIFZS8)(822hbBBHbIFZS8 822minBhBHbIFZS时，2hy BbBbB则，如果 minmax此时腹板上的切应力可以看成近此时腹板上的切应力可以看成近似的均匀分布。
似的均匀分布A腹 腹板的面积SAFA)97.095.0(d 腹即：腹板承受了95%97%的剪力又因为max min腹AFSmaxB2H2H2h2hbyzyFS计算计算腹板上切应力的合力：腹板上切应力的合力：对工字形型钢，切应力由下式计算：dSIFZzS)(max为腹板厚度由查表得到，式中：dSIZzzydmax三、三、T T字形截面字形截面梁梁yzyFSA*bbISFzZS*在梁的横截面上，最大正应力发生梁截面的上下边缘，在梁的横截面上，最大正应力发生梁截面的上下边缘，最大切应力发生在截面的中性轴处最大切应力发生在截面的中性轴处三、切应力强度条件三、切应力强度条件切应力强度条件：切应力强度条件：bISFzzS*maxmaxmaxM max max细长梁的控制因素通常是弯曲正应力，只有在下述情况细长梁的控制因素通常是弯曲正应力，只有在下述情况下，需要进行梁的弯曲切应力强度校核：下，需要进行梁的弯曲切应力强度校核：（2 2）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度较薄，要校核腹板）铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度较薄，要校核腹板的切应力的切应力1 1）梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷，以致梁）梁的跨度较短，或在支座附近作用较大的载荷，以致梁的的M较小，而较小，而FS较大时。
较大时3 3）经）经铆接、焊接或胶合而成的梁，应对焊缝、铆钉、胶合面铆接、焊接或胶合而成的梁，应对焊缝、铆钉、胶合面进行切应力校核进行切应力校核矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，=7MPa，=0.9 M Pa，校核梁的强度例例7q=3.6kN/mABL=3m120180zy解：q=3.6kN/mABL=3m（2）校核强度梁安全！zWMmaxmaxAFmaxsmax5.1(1)画内力图找危险截面(kN)FS+x4.54.5xM+m)(kN4.0518.012.054005.10.375MPa 2max6bhM218.012.0405066.25MPa 例例8 已知：已知：q=407kN/m，=190MPa，=130 MPa，校校核梁的强度核梁的强度qAB3700200200FAFB)mm(6.3821y)mm(10249zI)mm(4.3092y解：（解：（1 1）求形心位置和惯性矩）求形心位置和惯性矩300206501640022y2y1Cz847150150qAB3700200200FAFB+m)kN(xMx(kN)FS753+753300206501640022y2y1Cz（2 2）画内力图）画内力图zIyM1maxmax961026.38210847（3 3）弯曲正应力强度）弯曲正应力强度)MPa(162qAB3700200200FAFB(kN)FSx753+7534.29822400*zS（4 4）弯曲切应力强度）弯曲切应力强度)MPa(4.77梁安全梁安全bISFzzS*maxmax1610210287.31075396324.287164.287)mm(10287.336bISFzzS*maxmax300206501640022y2y1Cz例例9已知：F=30kN，l=5m，大梁由20a工字钢制成，=170MPa，=100 MPa，校核梁的强度。
zy200FABlPABl)mkN(5.37maxM3610237105.37zWMmaxmax解：（1 1）弯曲正应力强度）弯曲正应力强度FABl/2l/2小车在跨中时，梁内弯矩最大，小车在跨中时，梁内弯矩最大，5.37m)(kN+)cm(237 3ZW查表得)MPa(158)kN(30max FFS717210303dSIFzzS*maxmax（2 2）弯曲切应力强度）弯曲切应力强度小车在支座附近时，梁内剪力小车在支座附近时，梁内剪力最大，最大，)cm(2.17 *zzSI查表得)MPa(9.24FABlFAFB+FAFB梁安全！zy200d)mm(7d例例1010zy12010200FAB2.21.41.4单位：m已知：F=50kN，大梁由20a工字钢制成，用12010mm的钢板加强，=152MPa，=95 MPa，校核梁的强度)mkN(5.62maxM46105018110105.62zIyMmaxmaxmax解：（1）跨中弯曲正应力强度跨中弯曲正应力强度5.101121211222370 23ZI)MPa(137PAB2.21.41.4FABl/2l/2CDzy12010200)cm(50184355.62m)(kN+（2）D截面弯曲正应力强度)mkN(4.50maxDM3610237104.50zDWMmaxmax小车在D截面时)MPa(2134.50m)(kN+FABl/2l/2CDFAB3.61.4D5.62m)(kN+35（2）D截面弯曲正应力强度)cm(237 3ZW查表得强度不够，钢板需加长。
FFSmax717210503dSIFzzS*maxmax（3）弯曲切应力强度小车在支座附近时，梁内剪力最大，)cm(2.17SI *zz查表得)MPa(5.41梁切应力强度足够！zy200d)mm(7dPABl/2l/2CDFAFB+FAFB)kN(50例例11已知：Me=40kNm，q=20kN/m，=170MPa，=100 MPa，试选择工字钢型号FAAB4m2mq1mFBMeFAAB4m2mq1mFBMeFSkN40+解：画 FS、M 图kN40AF0BF（1）弯曲正应力强度zWMmaxmax17010406 maxMWz3cm3.235查表，选择No.20a工字钢，Wz=237cm3MmkN40+FAAB4m2mq1mFBMeFSkN40+（2）弯曲切应力强度)cm(2.17:ZZ:SI查表得)mm(7ddSIFzzSmaxmax)MPa(2.33梁切应力强度足够！717210403选择No.20a工字钢注意：先按正应力强度注意：先按正应力强度选择型号，再校选择型号，再校核切应力强度核切应力强度MmkN40+例例12已知：前轴重已知：前轴重F1=10kN，后轴重，后轴重F2=50kN，l=10m，大梁，大梁由两根工字钢制成，由两根工字钢制成，=160MPa，=100 MPa，试选择，试选择工字钢型号工字钢型号。
F1ABl2mF2xFA650解：（解：（1 1）弯曲正应力强度）弯曲正应力强度设小车在距左端设小车在距左端 x 距离距离F1ABl2mF2xFAFBCDMCMD+xFB610MCMD+0dd xMC令xFMAC)mkN(104maxCMxx)650(m)(17.4 0 xF1ABl2mF2xFAFBCDmkN2.140 maxM1602102.1406zWM2maxmax 2 maxMWz3cm438MCMD+MCMD+0dd xMD令2)2(1FxFMAD)mkN(2.140maxDM22)2()650(Fxxm)(17.3 0 xF1ABl2mF2xFAFBCD查表，选择查表，选择No.28a工字钢两根，工字钢两根，Wz=508cm3（2 2）弯曲切应力强度）弯曲切应力强度+FAFB小车在距左端小车在距左端 x 距离时距离时xFA650 xFB610kN58maxSF当 x=8时，)cm(42.26SI *zz查表得)mm(5.8d)MPa(9.13梁切应力强度足够！梁切应力强度足够！dSIFzz)(2*maxS,max（1 1）合理安排梁的受力情况）合理安排梁的受力情况56 提高弯曲强度的措施提高弯曲强度的措施 zWMmaxmaxqABlFABl/2l/2qAlaaBABl/4l/2l/42F2Fzy在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截面在面积相等的情况下，选择抗弯截面系数大的截面（2 2）合理选取截面形状）合理选取截面形状zDyzhbzhb来衡量截面形状的合理性，比值越大截面的形状较为合理。
AWz用比值根据材料特性选择截面形状：根据材料特性选择截面形状：对于抗拉、压能力不同的材料对于抗拉、压能力不同的材料(如铸铁、混凝土等脆性如铸铁、混凝土等脆性材料材料)，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面形状，充分利用，宜采用中性轴偏于受拉一侧的截面形状，充分利用材料抗拉能力差、抗压能力好的特性材料抗拉能力差、抗压能力好的特性y1y2zyzytcM21maxmaxyyctzyct（3 3）等强度梁）等强度梁)()()(maxxWxMx Flx6)(bFxxhFxxM)(6)()(2xbhxW又FlPlMhbxF考虑弯曲切应力强度，则梁高的最小值为：23minmaxbhFS23minbFhxF5m400kN2009005m400kN200900300蔡甸汉江公路大桥蔡甸汉江公路大桥110m+180m+110m预应力混凝土连续刚构桥预应力混凝土连续刚构桥内蒙古磴口黄河大桥内蒙古磴口黄河大桥。