第第8节节条件概率与事件的独立性条件概率与事件的独立性正态分布正态分布最新考纲1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念；2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布.能解决一些简单的实际问题；3.了解正态密度曲线的特点及曲线所表示的意义，并进行简单应用.知知 识识 梳梳 理理1条件概率及其性质条件概率的定义条件概率公式对于任何两个事件A和B，在已知_的条件下，_的概率叫做条件概率，用符号“_”表示P(B|A)_，其中_0，_称为事件A与B的交(或积).事件A发生事件B发生P(B|A)P(A)AB2.事件的独立性(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B 发 生 的 概 率 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，即_这时，称两个事件A，B相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件(2)概率公式没有影响P(B|A)P(B)条件公式A，B相互独立P(AB)_A1，A2，An相互独立P(A1A2An)_P(A)P(B)P(A1)P(A2)P(An)3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验定义：在_条件下，_做n次试验，各次试验的结果_，那么一般就称它们为n次独立重复试验概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，则n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)_(k0，1，2，n)相同的重复地相互独立(2)二项分布：在n次独立重复试验中，事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q1p，则n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率是P(Xk)_，其中k0，1，2，n.于是X的分布列：X01knP_此时称离散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作_XB(n，p)上方x当一定时，曲线的形状由确定，_，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；_，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散.(3)正态总体在三个特殊区间内取值的概率值P(X)_；P(2X2)_；P(32)0.023，则P(2X2)_.解析因为0，所以P(X2)P(X2)0.023，所以P(2X2)120.0230.954.答案0.954答案(1)B(2)C答案B规律方法(1)求解该类问题在于正确分析所求事件的构成，将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积，然后利用相关公式进行计算.(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.【训练2】某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮.假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立.则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率等于_.解析记“该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮”为事件A，由题意，若该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮，必有第二个问题回答错误，第三、四个回答正确，第一个问题可对可错，故P(A)10.20.80.80.128.答案0.128考点三独立重复试验与二项分布考点三独立重复试验与二项分布(易错警示易错警示)【例3】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495，(495，500，(510，515.由此得到样本的频率分布直方图(如下图).(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.X的分布列为Y的分布列为规律方法利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(Xk)Cpk(1p)nk的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.易错警示1.对于，超几何分布对应的抽取问题是不放回抽取，各次抽取不独立，而二项分布对应的抽取问题是有放回抽取，各次抽取是独立的，故处不要误作二项分布来处理；对于，当超几何分布所对应的总体数量很大时，可近似为二项分布来处理，这一点不易想到.2.这两个分布列的期望是相等的，请思考这是否是巧合呢？【训练3】(2018河北“五个一”名校联盟二模)空气质量指数(AirQuality Index，简称AQI)是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级：050为优；51100为良；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300以上为严重污染.一环保人士记录去年某地六月10天的AQI的茎叶图如图.(1)利用该样本估计该地六月空气质量为优良(AQI100)的天数；(2)将频率视为概率，从六月中随机抽取3天，记三天中空气质量为优良的天数为，求的分布列.考点四正态分布考点四正态分布【例4】(1)(2018郑州模拟)已知随机变量服从正态分布N(2，2)，且P(4)0.8，则P(04)()A.0.6 B.0.4 C.0.3 D.0.2(2)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(1，1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()附：若XN(，2)，则P(X)0.682 6，P(2X2)0.954 4.A.1 193 B.1 359 C.2 718 D.3 413解析(1)因为随机变量服从正态分布N(2，2)，2，得对称轴为x2，P(4)0.8，P(4)P(0)0.2，P(04)0.6.答案(1)A(2)B规律方法(1)利用3原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的，进行对比联系，确定它们属于(，)，(2，2)，(3，3)中的哪一个.(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用：P(Xa)1P(Xa)；P(X)P(X).【训练4】已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N(0，32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3，6)内的概率为(附：若随机变量服从正态分布N(，2)，则P()68.26%，P(22)95.44%.)()A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%答案B。
