课时跟踪检测（四） 余弦定理的应用（习题课）层级一 学业水平达标1．在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a>b>c，a20，所以A为锐角，又因为a>b>c，所以A为最大角，所以角A的取值范围是.答案：2．在△ABC中，＝________.解析：原式＝·＝＝.答案：3．已知A，B两地的距离为10 km，B，C两地的距离为20 km，经测量，∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为______ km.解析：AC2＝102＋202－2×10×20×cos 120°，∴AC＝10.答案：104．在△ABC中，sin 2A≤sin2B＋sin2C－sin Bsin C，则A的取值范围是________．解析：由题意，根据正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc⇒b2＋c2－a2≥bc⇒≥1⇒cos A≥⇒00，所以新三角形中最大边所对的角是锐角，所以新三角形是锐角三角形．答案：锐角三角形6．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝，则△ABC的面积是________．解析：由c2＝(a－b)2＋6可得a2＋b2－c2＝2ab－6. ①由余弦定理及C＝可得a2＋b2－c2＝ab. ②所以由①②得2ab－6＝ab，即ab＝6.所以S△ABC＝absin＝×6×＝.答案：7.如图所示，在△ABC中，已知BC＝15，AB∶AC＝7∶8，sin B＝，求BC边上的高AD的长．解：在△ABC中，由已知设AB＝7x，AC＝8x，由正弦定理，得＝，∴sin C＝＝×＝.∴C＝60°(C＝120°舍去，由8x>7x，知B也为钝角，不符合要求)．由余弦定理得(7x)2＝(8x)2＋152－2×8x×15cos 60°，∴x2－8x＋15＝0.∴x＝3或x＝5，∴AB＝21或AB＝35.在△ABD中，AD＝ABsin B＝AB，∴AD＝12或AD＝20.8．已知圆内接四边形ABCD的边长AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四边形ABCD的面积S.解：如图，连结BD，则S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·ADsin A＋BC·CDsin C.∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C，∴S＝sin A(AB·AD＋BC·CD)＝16sin A.在△ABD中，由余弦定理，得BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos A＝20－16cos A，在△CDB中，由余弦定理，得BD2＝CD2＋BC2－2CD·BCcos C＝52－48cos C，∴20－16cos A＝52－48cos C.又cos C＝－cos A，∴cos A＝－，∴A＝120°，∴S＝16sin A＝8.5。
