西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学第一节第一节 点估计点估计一、点估计问题的提法一、点估计问题的提法二、估计量的求法二、估计量的求法第七章第七章 参数估计参数估计2023/5/71西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学一、点估计问题的提法一、点估计问题的提法 设总体设总体 X 的分布函数形式已知的分布函数形式已知,但它的一个或但它的一个或多个参数为未知多个参数为未知,借助于总体借助于总体 X 的一个样本来估计的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为总体未知参数的值的问题称为点估计问题点估计问题.例例12023/5/72西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学解解用样本均值来估计总体的均值用样本均值来估计总体的均值 E(X).2023/5/73西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学点估计问题的一般提法点估计问题的一般提法2023/5/74西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学二、估计量的求法二、估计量的求法 由于估计量是样本的函数由于估计量是样本的函数,是随机变量是随机变量,故故对不同的样本值对不同的样本值,得到的参数值往往不同得到的参数值往往不同,如何如何求估计量是关键问题求估计量是关键问题.常用构造估计量的方法常用构造估计量的方法:(两种两种)矩估计法和最大似然估计法矩估计法和最大似然估计法.2023/5/75西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学1.矩估计法矩估计法2023/5/76西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学(X为连续型为连续型)(X为离散型为离散型)2023/5/77西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学矩估计法的定义矩估计法的定义 用样本矩来估计总体矩用样本矩来估计总体矩,用样本矩的连续函用样本矩的连续函数来估计总体矩的连续函数数来估计总体矩的连续函数,这种估计法称为这种估计法称为矩矩估计法估计法.矩估计法的具体做法矩估计法的具体做法:矩估计量的观察值称为矩估计值矩估计量的观察值称为矩估计值.2023/5/78西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学解解例例22023/5/79西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学解方程组得到解方程组得到a,b的矩估计量分别为的矩估计量分别为2023/5/710西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学解解解方程组得到矩估计量分别为解方程组得到矩估计量分别为例例32023/5/711西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学上例表明上例表明:总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不总体均值与方差的矩估计量的表达式不因不同的总体分布而异同的总体分布而异.一般地一般地,2023/5/712西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学2.最大似然估计法最大似然估计法似然函数的定义似然函数的定义2023/5/713西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学2023/5/714西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学最大似然估计法最大似然估计法2023/5/715西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学似然函数的定义似然函数的定义2023/5/716西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学2023/5/717西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学求最大似然估计量的步骤求最大似然估计量的步骤:最大似然估计法是由费舍尔引进的最大似然估计法是由费舍尔引进的.2023/5/718西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学 最大似然估计法也适用于分布中含有多个最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况未知参数的情况.此时只需令此时只需令对数似然方程组对数似然方程组对数似对数似然方程然方程2023/5/719西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学解解似然函数似然函数例例42023/5/720西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学这一估计量与矩估计量是相同的这一估计量与矩估计量是相同的.2023/5/721西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学解解X 的的似然函数为似然函数为例例52023/5/722西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学2023/5/723西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学它们与相应的矩估它们与相应的矩估计量相同计量相同.2023/5/724西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学解解例例62023/5/725西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学2023/5/726西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学最大似然估计的性质最大似然估计的性质证明证明2023/5/727西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学 此性质可以推广到总体分布中含有多个未知此性质可以推广到总体分布中含有多个未知参数的情况参数的情况.如例如例5中中,2023/5/728西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学第三节第三节 估计量的评选标准估计量的评选标准一、问题的提出一、问题的提出二、无偏性二、无偏性三、有效性三、有效性四、相合性四、相合性2023/5/729西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学一、问题的提出一、问题的提出 从前一节可以看到从前一节可以看到,对于同一个参数对于同一个参数,用用不同的估计方法求出的估计量可能不相同不同的估计方法求出的估计量可能不相同,如如第一节的例第一节的例2和例和例6.而且而且,很明显很明显,原则上任何原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量统计量都可以作为未知参数的估计量.问题问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么评价估计量的标准是什么?下面介绍几个常用标准下面介绍几个常用标准.2023/5/730西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学二、无偏性二、无偏性无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义:无系统误差无系统误差.2023/5/731西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学证证例例12023/5/732西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学特别的特别的:不论总体不论总体 X 服从什么分布服从什么分布,只要它的数学期望存在只要它的数学期望存在,2023/5/733西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学证证例例22023/5/734西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学(这种方法称为这种方法称为无偏化无偏化).2023/5/735西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学证证例例32023/5/736西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学2023/5/737西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学证明证明例例4 42023/5/738西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学 由以上两例可知由以上两例可知,一个参数可以有不同的无一个参数可以有不同的无偏估计量偏估计量.2023/5/739西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学三、有效性三、有效性 由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好.2023/5/740西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学证明证明例例5 (5 (续例续例4)4)2023/5/741西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学证明证明例例6 (续例续例3)2023/5/742西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学2023/5/743西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学四、相合性（一致性）四、相合性（一致性）例如例如2023/5/744西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学证明证明 由大数定律知由大数定律知,例例72023/5/745西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学由大数定律知由大数定律知,2023/5/746西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学2023/5/747西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学西安电子科技大学作业：作业：书面：书面：P173:2(1),4,10,13.熟练掌握熟练掌握两种估计法两种估计法;估计量的三种评选标准估计量的三种评选标准。
2023/5/748。