1第二章第二章 连续系统的时域分析连续系统的时域分析2022-12-2022022-12-203系统数学模型的时域表示 时域分析方法时域分析方法:不涉及任何变换，直接求解不涉及任何变换，直接求解系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，系统的微分、积分方程式，这种方法比较直观，物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基础元一阶微分方程元一阶微分方程状态变量描述状态变量描述阶微分方程阶微分方程一元一元输入输出描述输入输出描述 :NN本课程中我们主要讨论本课程中我们主要讨论输入、输出描述法输入、输出描述法2022-12-204系统分析过程 变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求零零输输入入双双零零法法经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程:,:经典法经典法:前面电路分析课里已经讨论过，但与前面电路分析课里已经讨论过，但与(t)有关的问题有待进一步解决有关的问题有待进一步解决 h(t)；卷积积分法卷积积分法:任意激励下的零状态响应可通过任意激励下的零状态响应可通过冲激响应来求。
冲激响应来求新方法新方法)2022-12-205本章主要内容线性系统完全响应的求解；线性系统完全响应的求解；冲激响应冲激响应h(t)的求解；的求解；卷积的图解说明；卷积的图解说明；卷积的性质；卷积的性质；零状态响应：零状态响应：thtfty zs2022-12-2062022-12-207主要内容物理系统的模型物理系统的模型微分方程的列写微分方程的列写n 阶线性时不变系统的描述阶线性时不变系统的描述求解系统微分方程的经典法求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法复习求解系统微分方程的经典法2022-12-208许多实际系统可以用线性系统来模拟许多实际系统可以用线性系统来模拟若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用若系统的参数不随时间而改变，则该系统可以用线性常系数微分方程线性常系数微分方程来描述一微分方程的列写一微分方程的列写2022-12-209根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程对于电路系统，主要是根据对于电路系统，主要是根据元件特性约束元件特性约束和和网网络拓扑约束络拓扑约束列写系统的微分方程列写系统的微分方程元件特性约束：元件特性约束：表征元件特性的关系式。
例如表征元件特性的关系式例如二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流二端元件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电的关系以及四端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等流的关系等等网络拓扑约束：网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约由网络结构决定的电压电流约束关系束关系,KCL，KVL2022-12-2010二求解系统微分方程的经典法分析系统的方法：分析系统的方法：列写方程，求解方程列写方程，求解方程变变换换域域法法利利用用卷卷积积积积分分法法求求解解零零状状态态可可利利用用经经典典法法求求解解零零输输入入应应零零输输入入响响应应和和零零状状态态响响经经典典法法解解方方程程网网络络拓拓扑扑约约束束根根据据元元件件约约束束列列写写方方程程:,:求解方程时域求解方程时域经典法经典法就是：就是：齐次解齐次解+特解2022-12-2011 齐次解齐次解：由特征方程由特征方程求出特征根求出特征根写出齐次解形式写出齐次解形式 nktkkA1e 注意重根情况处理方法注意重根情况处理方法特特 解解：根据微分方程右端函数式形式，设含待定系根据微分方程右端函数式形式，设含待定系 数的特解函数式数的特解函数式代入原方程代入原方程，比较系数，比较系数 定出特解。
定出特解经典法经典法kA 全全 解解：齐次解齐次解+特解，由特解，由初始条件初始条件定出齐次解定出齐次解 2022-12-2012 我们一般将激励信号加入的时刻定义为我们一般将激励信号加入的时刻定义为t=0，响应为响应为 时的方程的解，初始条件时的方程的解，初始条件 0t1122d)0(d,d)0(d,d)0(d,)0(nntrtrtrr 初始条件的初始条件的确定确定是此课程要解决的问题是此课程要解决的问题2022-12-2013起始状态与激励源的等效转换起始状态与激励源的等效转换系统响应划分系统响应划分对系统线性的进一步认识对系统线性的进一步认识2022-12-20141起始状态与激励源的等效转换在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效在一定条件下，激励源与起始状态之间可以等效转换即可以将原始储能看作是激励源即可以将原始储能看作是激励源电容的等效电路电容的等效电路电感的等效电路电感的等效电路外加激励源外加激励源系统的完全响应系统的完全响应共同作用的结果共同作用的结果可以看作可以看作起始状态等效激励源起始状态等效激励源系统的完全响应系统的完全响应=零输入响应零输入响应+零状态响应零状态响应(线性系统具有叠加性线性系统具有叠加性)2022-12-20152系统响应划分自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state)2022-12-2016 也称固有响应，由系统本身特性决定，与外也称固有响应，由系统本身特性决定，与外加激励形式无关。
对应于齐次解加激励形式无关对应于齐次解形式取决于外加激励对应于特解形式取决于外加激励对应于特解1)(1)自由响应：自由响应：强迫响应：强迫响应：3、各种系统响应定义2022-12-2017 是指激励信号接入一段时间内，完全响应是指激励信号接入一段时间内，完全响应中暂时出现的有关成分，随着时间中暂时出现的有关成分，随着时间t 增加，它将增加，它将消失由完全响应中减去暂态响应分量即得稳由完全响应中减去暂态响应分量即得稳态响应分量态响应分量2)(2)暂态响应：暂态响应：稳态响应：稳态响应：2022-12-2018 没有外加激励信号的作用，只由起始状态没有外加激励信号的作用，只由起始状态（起始时刻系统储能）所产生的响应起始时刻系统储能）所产生的响应不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态不考虑原始时刻系统储能的作用（起始状态等于零），由系统的外加激励信号产生的响应等于零），由系统的外加激励信号产生的响应3)(3)零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：2022-12-2019 系统系统零输入响应零输入响应，实际上是求系统方程的齐次解，实际上是求系统方程的齐次解，由非零的系统状态值由非零的系统状态值 决定的初始值求出决定的初始值求出待定系数待定系数。
00LCiv和和 系统系统零状态响应零状态响应，是在激励作用下求系统方程的非齐，是在激励作用下求系统方程的非齐次解，由状态值次解，由状态值 为零决定的初始值求出待为零决定的初始值求出待定系数定系数00LCiv和和 求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出求解非齐次微分方程是比较烦琐的工作，所以引出卷卷积积分法积积分法t 线线性性时时不不变变系系统统 th te th tr4、求解、求解系统的零状态响应系统的零状态响应=激励与系统冲激响应的卷积，即激励与系统冲激响应的卷积，即 thtetr 2022-12-2020系统的初始状态为零，激励为单位冲激信号系统的初始状态为零，激励为单位冲激信号 作用下的响应，用作用下的响应，用 表示)(th系统的冲激响应系统的冲激响应2022-12-2021由于冲激函数及其各阶导数仅在由于冲激函数及其各阶导数仅在t=0处作处作用，而在用，而在t0的区间恒为零也就是说，的区间恒为零也就是说，激励信号激励信号 的作用是在的作用是在t=0的瞬间给的瞬间给系统输入了若干能量，贮存在系统的各系统输入了若干能量，贮存在系统的各贮能元件中，而在贮能元件中，而在t0系统的激励为零，系统的激励为零，只有冲激引入的那些贮能在起作用，只有冲激引入的那些贮能在起作用，)(t因而，因而，系统的冲激响应由上述贮能唯一地确定。
系统的冲激响应由上述贮能唯一地确定一个特殊的零输入响应时，系统的冲激响应是当 0t2022-12-2022+-)(tvsRL)(tiL列微分方程：列微分方程：)()()(tvdttdiLtRisLL)()()()(,0)0(thtittviLsL，则设)()()(tdttdiLtRiLL一、简单电路可直接计算一、简单电路可直接计算2022-12-2023上式从上式从 到到 取积分，得取积分，得 0t 0t001)0()0()(LLLLiLidttiRLiidttitiLLLL1)0(0)0(0)()(00且是有限的，由于电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到电感电流在冲激信号作用下，从零跃变到L1由三要素公式得由三要素公式得)()(1)(thteLtitLRL当当 时，时，t 0(),t 0此时电路是一个此时电路是一个特殊的零输入响应特殊的零输入响应2022-12-2024与与RL电路相对偶，可得电路相对偶，可得RC电路的冲激响应电路的冲激响应)(tRc+_)(tvc)(1)()()()(1tectvtdttdvcRtvtRcccc2022-12-2025二先计算系统的阶跃响应二先计算系统的阶跃响应 ，然后利用冲激，然后利用冲激响应响应 与阶跃响应与阶跃响应 的关系求冲激响应的关系求冲激响应)(th)(ts)(ts 与与 的关系（线性时不变系统）的关系（线性时不变系统）)(th)(ts)()(tst)()(ttstt2022-12-2026)()()()(lim)()()()(lim00thdttdstttststdttdtttttt响应为激励为dttdsth)()(2022-12-2027RiiiLLL1)(,0)0()0(RLteRtst),()1(1)()(1)()1(1)()(teLteRdttdsthtt+-)(tvsRL)(tiL如如0)()1(1),()0()()(teRtfttft故由于)(1)(teLthLRt2022-12-2028例：如图所示电路，例：如图所示电路，R1=R2=1,c=1F,求阶跃求阶跃响应和冲激响应响应和冲激响应解：先用三要素法求阶跃响应解：先用三要素法求阶跃响应0)0()0(ccvv)(tv+-)(tvs1R2RcsRcVvVv2,1)(,21)0(2022-12-2029冲激响应会少一项不能不写，否则，注意：求阶跃响应时，)(t)(41)(21)(),()211()(22tetthtetSttv从波形图上也能得到同样的结论：从波形图上也能得到同样的结论：(0.5)0.25h t()10.5s tv()2022-12-2030三、三、从微分方程求解得冲激响应从微分方程求解得冲激响应当已知微分方程时，求解冲激响应有两种方法。
当已知微分方程时，求解冲激响应有两种方法1)间接法：人为假设描述间接法：人为假设描述n阶连续系统的微分阶连续系统的微分方程右侧只有一项，为方程右侧只有一项，为)()()()()(01)1(1)(txtyatyatyatyannnn)()(),()(0thtyttx)()()()()(0001)1(01)(0tthathathathannnn则有则有2022-12-2031 0t当当 时，由因果性时，由因果性0)0()0()0()1(000nhhh为保证等式两边平衡，只能是第为保证等式两边平衡，只能是第n阶导数项包阶导数项包含冲激函数含冲激函数 而且只有一项而且只有一项这时)(t则则n-1阶导数项包含阶导数项包含 ，而，而n-2阶导数项包阶导数项包含含 ,)(t)(tt)(,0)(0tht 0t当当 时，由于时，由于 将是一个将是一个特殊的零特殊的零输入响应输入响应，它取决于，它取决于 时的时的n n个初始条件个初始条件0t2022-12-2032 在在t=0处，只有处，只有 是不连续的，而其余的如是不连续的，而其余的如 等都是连续的，因而等都是连续的，因而 的低于的低于n-1阶导数在阶导数在t=0处是连续的。
即处是连续的即)(t)(tt)(0th0)0()0(,0)0()0(,0)0()0()2(0)2(0hhhhhhnn注意：注意：，是是一族一族很有用很有用的函数)(t)(t)(tt只有只有hhnn010100()()()()2022-12-2033对上述微分方程两边取积分对上述微分方程两边取积分0000000000)1(01)(0)()()()(dttdtthadtthadtthannnn上式左边只第一项不为零，其他项为零上式左边只第一项不为零，其他项为零1)0()0()1(0)1(0nnnhhannah1)0()1(0单位冲激信号引起的单位冲激信号引起的t=0+时的时的n个初始条件为个初始条件为2022-12-2034一、一、卷积的图解卷积的图解 能够直观地理解卷积积分的计算过程，能够直观地理解卷积积分的计算过程，有助于确定更为一般的卷积积分的上下有助于确定更为一般的卷积积分的上下限进一步加深对其物理意义的理解进一步加深对其物理意义的理解卷积的图解和卷积积分限的确定卷积的图解和卷积积分限的确定2022-12-2035)()(.2 hh折叠)(.3th位移4.相乘相乘5.积分积分 求函数求函数 的面积。
的面积xh t()()xh t()()dthxthtxty)()()()()()()(),()(hthxtx求响应，必须：求响应，必须：1.换元（换元（t)ththtththt在时间轴上左移是时，在时间轴上右移是时，)()(0)()(02022-12-203611t0)(tx130.5t)(th0110)(x130.5)(h0解解：)()()()(),(thtxtythtx波形如图，求例：已知2022-12-2037-1-30.5)(h0-1+t-3+t0.5)(th0(1)当当-1+t0即即t1时，时，-1+t-3+t)(th011)(xy(t)=0移动距离移动距离 t前沿坐标前沿坐标-1+t两函数两函数无无公共的非零区域公共的非零区域2022-12-2038)(th011)(x-3+t-1+t时，即当21110)2(tt)1(5.05.01)()()(1010tddthxtytt-3+t-1+t时，即且当320311)3(ttt5.05.01)()()(1010ddthxty)(th011)(x2022-12-2039-3+t-1+t时，即当43130)4(tt)4(5.05.01)()()(1313tddthxtytt-3+t-1+t时，即当413)5(tt0)(ty)(th011)(x)(th011)(x2022-12-20404043)4(5.0325.021)1(5.010)(tttttttty将上述结果整理得：0.51 2 3 42022-12-2041120t)(tx解解：(1)当当t0时时 1t0)(th10)(th)(x2ty(t)=0)()()(),()(),()(sin)(thtxtytethttttxt求例：设22022-12-204201)(th)(x2时当20)2(t)cos(sin21sinsin)()()(00)(0ttttttettdeededthxty01)(th)(x2时当2)3(t)1(21sin)()()(220)(20eededthxtytttt2022-12-2043二、二、卷积的另一种计算方法卷积的另一种计算方法 当被卷积函数中有分段连续函数时，当被卷积函数中有分段连续函数时，直接用公式直接用公式)()()()()()()()()()()()(),()()(21212211221121tttdtffdtttftfthtxtttfthtttftxttt2022-12-2044用图解来说明。
用图解来说明x t()t1th t()t2tt-t2-t2 t12022-12-2045)()()(),()(),2()(sin)(thtxtytethttttxt求例：设)()2()(sintetttt解：)()2(sin)()(sintetttetttt)2(sin)(sin2)(0)(tttttdetde2022-12-2046)2(sin)(sin20tdetdeetttdeededtettttcossin)(sinsin0000tttdeee000sincossin)cossin(21sin000ttteede2022-12-2047)2(cossin2)(cossin22200teeeteeetttttt原卷积式)2(cossin21)(cossin212tteettetttt2)1(2120)cot(sin21002teetetttt2022-12-2048一、一、卷积代数卷积代数(1)交换律交换律)()()()(txththtxx t()h t()y t()x t()h t()y t()如，输入和冲激响如，输入和冲激响应的函数表达式互应的函数表达式互换位置，则零状态换位置，则零状态响应不变。
响应不变卷积积分的性质卷积积分的性质2022-12-2049)()()()()()()()()()(,txthdtxhdhtxdthxthtxt有令证：证：2022-12-2050(2)分配律分配律)()()()()()()(2121thtxthtxththtx利用卷积的定义比较容易得到利用卷积的定义比较容易得到)()()()()()()()()()()()()()(21212121thtxthtxdthxdthxdththxththtx两个子系统并联两个子系统并联2022-12-2051)()(21thth)(ty)(tx)(1th)(2th)(tx)()()()(21ththtxty)()(1thtx)()(2thtx2022-12-2052两次卷积运算是二重积分，变换积分次序可得两次卷积运算是二重积分，变换积分次序可得)()()()()()(2121ththtxththtx(3)结合律结合律两个子系统级联两个子系统级联)(2th)(ty)(tx)(1th)()(21thth)(tx)(ty2022-12-2053二、二、卷积的微分与积分卷积的微分与积分，有设)()()(thtxty(1)卷积的微分性质卷积的微分性质)()()()()()()(thtxdthxdthxdtdty)()()(thtxty同理可证2022-12-2054(2)卷积的积分性质卷积的积分性质)()()()()()1()1()1(thtxthtxty(3)卷积的微积分性质卷积的微积分性质)()()()()()1()1(thtxthtxty为整数推广为ithtxtyii)()()()()(当为正整数时，表示求导数的阶数，当为当为正整数时，表示求导数的阶数，当为负整数时，表示求重积分的次数。
负整数时，表示求重积分的次数2022-12-2055()()()()()(),i jijytxthti j进一步推广为为整数注意：应用微积分性质时，被积分的函数应注意：应用微积分性质时，被积分的函数应为可积函数，被求导的函数在为可积函数，被求导的函数在 处应处应为零值t时，就不满足如1)(tx2022-12-2056三、三、含有冲激函数的卷积含有冲激函数的卷积)()()()()(ttxdtxtx)()()()()()()()(0txtxdtxdtxttx由第二章第二节，任意信号的分解，记为由第二章第二节，任意信号的分解，记为2022-12-2057)()()()()(111ttxdttxtttx进一步有即：任意函数即：任意函数 与单位冲激函数与单位冲激函数 的卷的卷积仍为该函数本身积仍为该函数本身x t()()t即：即：x tttx tt()()()11即：任意函数即：任意函数 与延迟冲激函数与延迟冲激函数 的的卷积只是把该函数卷积只是把该函数 延迟了时间延迟了时间 ，而其，而其波形不变此性质称为冲激函数的波形不变此性质称为冲激函数的重现性重现性x t()()tt1x t()t12022-12-2058冲激函数三个常用性质小结：冲激函数三个常用性质小结：1.筛选性：筛选性：(抽样性抽样性)2.加权性：加权性：3.重现性：重现性：(“照相照相”)x tttx tt()()()11x tttx ttt()()()()111x ttt dtx t()()()11xtt dx tt()()()11写详细，为写详细，为2022-12-2059利用微积分性质还可以得到利用微积分性质还可以得到tdxttxtxttx)()()()()()(推广后，有推广后，有)()()()()()(1)(1)()()(ttxtttxtxttxiiii利用卷积的性质能大大简化卷积计算。
利用卷积的性质能大大简化卷积计算2022-12-2060)()(cos1)(cos)(sin)(sin)(sin)()(sin)()(sin)()()(sin)()(0ttttttttdttdtdttttttttttthtxt解：)()(),()()(),(sin)(thtxttthtttx求例：已知2022-12-2061)()()(),(thtxthtx如图，求例：已知输入-221A)(tx0)(th(1)(1)tt00)()(thtx23-1-2At解：这类题只需解：这类题只需要画图即可要画图即可2022-12-2062)()()(),(thtxthtx如图，求例：已知输入)()(Tttx-2T0At2T t0A)()(TttxA2A02T t-2T)()(thtxa)(txA-T(1)(1)(th0 T t0 T t2022-12-2063各时间段的积分上下限和图解法确定的波形如图所示，试用和例：已知)()()()()()(txththtxthtx210t)(tx1-1 01t)(th解解：0)()(1,01thtxtt时，即当2t-1 t t+11)(th)(x2022-12-20641011,210ttt时，即当t-1 t t+1 21)(th)(xt-1 t t+1t-1 t t+12131,210ttt时，即当21)(th)(xt-1 t t+1t-1 t t+10)()(3,21thtxtt时，即当0 21)(th)(x2022-12-20651)(h)(tx t-2 t -1 0 1 0)()(1thtxt时，当1)(h)(tx -1 0 1 t-2 t t-2 t tt111时，当2022-12-2066)(tx1)(h -1 0 1 t-2 t t-2 t 0)()(3,12thtxtt时，即当1)(h)(tx -1 0 1 t-2 t t-2 t 1231,121ttt时，即当2022-12-2067)()()()(),()(thtxttthtetxt，求例：)()()()(),()()(tethtxtythtxtyt则设)()1()()1()(0tettdetyttt)()(),()(tthtth解：)()()(tethtxt，)()1()()(0tetdetytt2022-12-2068例例：已知波形如图，求：已知波形如图，求)()(thtx1021-10tt)1()1(tet)(tx)(th)()(),()()(1111tethttxt解：)()()(thtxty)()()()()(111111tettett2022-12-2069)()()()()(111111ttetett)()()()(tdedet 11111)()()(tdedet 11111111111111tttteeeeeede)()()(111111eeeede)()()()()(tetyt112022-12-2070例例：已知波形如图，求：已知波形如图，求)()(thtx0 1 2 3 t2)(tx0 1 2 3 t 1-1)(th解解：直接求卷积比较复杂，利用卷积的性质：直接求卷积比较复杂，利用卷积的性质及函数与冲激函数的卷积较为简便及函数与冲激函数的卷积较为简便如图所示求积分，得对求导，得对),()(),()()1(ththtxtx2022-12-2071)()()()()1(thtxthtx卷积结果如图所示结果如图所示0 1 2 3 t(2)(tx(2)0 1 2 3 t 1)()1(th-20 1 2 3 t 2)()(thtx4 52022-12-2072)()(),()(,)(thtxtethetxtt求例：已知2dthxthtx)()()()(解：dteet)()(2tttedee23312022-12-2073)()()()(tettttxt11例：已知：)(tx1求)()()()(tetdtdtttxdtdt122122解：)()()(tettxt1即)()(tetxt12022-12-2074)(tvc+-)(tvsRc)()(),()()(,tvVvtetvFcRRCccts求电容上响应电压电容上初始电压激励电压为电路如图，例：201113解解：列电路微分方程：列电路微分方程)()()(tvtvdttdvRCscc2022-12-2075代入数值代入数值)()()(tvtvdttdvscc，零输入响应为特征方程的特征根为10)(tketvtc代入初始条件代入初始条件 2,2)0()0(kvvcc故02)(tetvtczi故2022-12-2076要求零状态响应，须先求得电路的冲激响应要求零状态响应，须先求得电路的冲激响应直接法，设直接法，设)()(tcetht)()()(tcetcethtt代入微分方程代入微分方程)()()(tthth1c解得)()(tetht2022-12-2077电路的零状态响应电压电路的零状态响应电压)()()1()(3tetetvttczs)()1(0)(3tdeett)()(20tdeeett)(21020teeettt)(21211 3teett全响应全响应0)(21211 23tteeettt)()()(tvtvtvczsczic2022-12-2078时，系统的零状态响应求当例：如图所示系统，试)()(ttxq 32)(tx)(ty2解解：设辅助函数：设辅助函数txq23)(有ty2)(2022-12-2079程为模拟图所对应的微分方)()(2)(2)(3)(txtxtytyty要求零状态响应，须先求冲激响应要求零状态响应，须先求冲激响应直接法有直接法有)()()(221tececthtt2121，根是特征方程所对应的特征)()2()()()(22121tecectccthtt)()4()()2()()()(2212121tecectcctccthtt2022-12-2080代入原微分方程整理得代入原微分方程整理得)()(2)()2()()(2121tttcctcc1222121cccc3121cc)()3()(2teethtt零状态响应为零状态响应为)()()()()(tththtty)()(3)()(2ttettetttttdetde020)(3)(2022-12-2081)(23)(020tetett)()1(23)()1(2tetett)()2321(2teett最后，介绍最后，介绍杜阿密尔积分杜阿密尔积分y tx th tx thtx ts t()()()()()()()()12022-12-2082。