第一章 导数及其应用章末检测(一)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．曲线y＝xex－1在点(1,1) 处切线的斜率等于( )A．2e B．eC．2 D．1解析：由y＝xex－1得y′＝ex－1＋xex－1，所以曲线在点(1,1)处切线的斜率k＝y′|x＝1＝e1－1＋1e1－1＝2.故选C.答案：C2．二次函数y＝f(x)的图象过原点且它的导函数y＝f′(x)的图象是如图所示的一条直线，y＝f(x)的图象的顶点在( )A．第Ⅰ象限 B．第Ⅱ象限C．第Ⅲ象限 D．第Ⅳ象限解析：设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵二次函数y＝f(x)的图象过原点，∴c＝0，∴f′(x)＝2ax＋b，由y＝f′(x)的图象可知，2a<0，b>0，∴a<0，b>0，∴－>0，＝－>0，故选A.答案：A3．设函数f(x)＝ax＋3，若f′(1)＝3，则a等于( )A．2 B．－2C．3 D．－3解析：∵f′(x)＝li ＝li ＝a，∴f′(1)＝a＝3.答案：C4．若f(x)＝x2－2x－4ln x，则f(x)的单调递增区间为( )A．(－1,0) B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)解析：f′(x)＝2x－2－＝＝，由f′(x)＞0得x＞2. 答案：C5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值为( )A．－37 B．－29C．－5 D．－11解析：由f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)＝0，解得x＝0或x＝2，又f(0)＝m，f(2)＝m－8，f(－2)＝m－40，所以f(x)max＝m＝3，f(x)min＝m－40＝3－40＝－37.答案：A6．已知f(x)＝2cos2x＋1，x∈(0，π)，则f(x)的单调递增区间是( )A. B.C. D.解析：∵f(x)＝2cos2x＋1＝2＋cos 2x，x∈(0，π)，∴f′(x)＝－2sin 2x.令f′(x)>0，则sin 2x<0.又x∈(0，π)，∴0<2x<2π.∴π<2x<2π，即0；当－22时，f′(x)>0.由此可以得到函数在x＝－2处取得极大值，在x＝2处取得极小值，选D.答案：D8．由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积是( )A. B.C. D．9解析：解得交点A(－3，－9)，B(1，－1)．如图，由y＝－x2与直线y＝2x－3围成的图形的面积S＝－3(－x2)dx－－3(2x－3)dx＝－x3－(x2－3x)＝.答案：B9．下列函数中，x＝0是其极值点的函数是( )A．f(x)＝－x3 B．f(x)＝－cos xC．f(x)＝sin x－x D．f(x)＝解析：对于A，f′(x)＝－3x2≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于B，f′(x)＝sin x，当x∈(－π，0)时，f′(x)<0，当x∈(0，π)时，f′(x)>0，故f(x)＝－cos x在x＝0的左侧区间(－π，0)内单调递减，在其右侧区间(0，π)内单调递增，所以x＝0是f(x)的一个极小值点；对于C，f′(x)＝cos x－1≤0恒成立，在R上单调递减，没有极值点；对于D，f(x)＝在x＝0没有定义，所以x＝0不可能成为极值点，综上可知，答案选B.答案：B10．已知函数f(x)＝asin x－bcos x在x＝时取得极值，则函数y＝f(－x)是( )A．偶函数且图象关于点(π，0)对称B．偶函数且图象关于点(，0)对称C．奇函数且图象关于点(，0)对称D．奇函数且图象关于点(π，0)对称解析：∵f(x)的图象关于x＝对称，∴f(0)＝f()，∴－b＝a，∴f(x)＝asin x－bcos x＝asin x＋acos x＝asin(x＋)，∴f(－x)＝asin(－x＋)＝asin(π－x)＝asin x.显然f(－x)是奇函数且关于点(π，0)对称，故选D.答案：D11．已知定义在实数集R上的函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x)的导数f′(x)在R上恒有f′(x)＜1(x∈R)，则不等式f(x)＜x＋1的解集为( )A．(1，＋∞)B．(－∞，－1)C．(－1,1)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：不等式f(x)＜x＋1可化为f(x)－x＜1，设g(x)＝f(x)－x，由题意g′(x)＝f′(x)－1＜0，g(1)＝f(1)－1＝1，故原不等式⇔g(x)＜g(1)，故x＞1.答案：A12．函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为( )解析：在[－π，π]上，∵f(－x)＝[1－cos(－x)]sin(－x)＝(1－cos x)(－sin x)＝－(1－cos x)sin x＝－f(x)，∴f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，排除B.取x＝，则f()＝(1－cos)sin＝1＞0，排除A.∵f(x)＝(1－cos x)sin x，∴f′(x)＝sin xsin x＋(1－cos x)cos x＝1－cos2x＋cos x－cos2x＝－2cos2x＋cos x＋1.令f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－.结合x∈[－π，π]，求得f(x)在(0，π]上的极大值点为π，靠近π，选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)13．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(ex)＝x＋ex，则f′(1)＝________.解析：令ex＝t，则x＝ln t，所以f(x)＝ln x＋x，即f′(x)＝1＋，则f′(1)＝1＋1＝2.答案：214．曲线y＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________．解析：因为y＝e－5x＋2，所以y′＝－5e－5x，所求切线的斜率为k＝y′|x＝0＝－5e0＝－5，故所求切线的方程为y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3或5x＋y－3＝0.答案：y＝－5x＋3或5x＋y－3＝015．若函数f(x)＝在区间(m,2m＋1)上单调递增，则实数m的取值范围是________．解析：f′(x)＝，令f′(x)> 0，得－10，当x∈(，10)时，V′(x)<0，∴当x＝时，V(x)取得最大值为π cm3.答案：π cm3三、解答题(本大题共有6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)求曲线y＝x3在点(3,27)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积．解析：因为f′(3)＝li ＝27，所以在点(3,27)处的切线方程为y－27＝27(x－3)，即y＝27x－54.此切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)，(0，－54)．所以切线与两坐标轴围成的三角形的面积为254＝54.18．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.(1)求a，b的值；(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．解析：(1)f′ (x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4.故b＝4，a＋b＝8.从而a＝4，b＝4.(2)由(1)知，f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2)(ex－)．令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．19. (本小题满分12分)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2,1)内x＝－1时取极小值，x＝时取极大值．(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；(2)求函数y＝f(x)在[－2,1]上的最大值与最小值．解析：(1)f′(x)＝－3x2＋2ax＋b.又x＝－1，x＝分别对应函数取得极小值、极大值，所以－1，为方程－3x2＋2ax＋b＝0的两个根．所以a＝－1＋，－＝(－1).于是a＝－，b＝2，则f(x)＝－x3－x2＋2x.当x＝－2时，f(－2)＝2，即(－2,2)在曲线上．又切线斜率为k＝f′(－2)＝－8，所求切线方程为y－2＝－8(x＋2)，即为8x＋y＋14＝0.(2)当x变化时，f′(x)及f(x)的变化情况如下表：x－2(－2，－1)－1(－1，)(，1)1f′(x)－0＋0－f(x)2－则f(x)在[－2,1]上的最大值为2，最小值为－.20．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝3x2－3x，直线l1：x＝2和l2：y＝3tx(其中t为常数，且00，得x0>1或x0<－1；由g′(x0)<0，得－10时，“>a”等价于“sin x－ax>0”；“0对任意x∈(0，)恒成立．当c≥1时，因为对任意x∈(0，)，g′(x)＝cos x－c<0，所以g(x)在区间[0，]上单调递减．从而对g(x)g(0)＝0.进一步，“g(x)>0对任意x∈(0，)恒成立”当且仅当g()＝1－c≥0，即00对任意x∈(0，)恒成立；当且仅当c≥1时，g(x)<0对任意x∈(0，)恒成立．所以，若a<0且g(1)<0，即－30，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．。