北 师 大 版 数 学 课 件2019 版 教 学 精 品 4 角平分线第2课时尺规作图尺规作图角平分线的作法 做一做做一做l已知:AOBAOB,如图.l求作:射线OC,使AOC=BOCAOC=BOC.l作法:l用尺规作角的平分线用尺规作角的平分线.l1.在OA和OB上分别截取OE,OD,使OD=OE.l2.分别以点D和E为圆心,以大于DE/2长为半径作弧,两弧在 AOBAOB内内交于点C.l3.作射线OC.请你说明OC为什么是AOBAOB的的平分线,并与同伴进行交流老师提示:作角平分线是最基本的尺规作图,这种方法要确实掌握.l则射线OC就是AOBAOB的平分线.CABODE角平分线的性质w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等.老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.w如图如图,wOCOC是是AOBAOB的平分线的平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂垂足分别是足分别是D,E(D,E(已知已知)PD=PE(PD=PE(角平分线上的点到这角平分线上的点到这个角的两边距离相等个角的两边距离相等).).回顾 思考OCB1A2PDE角平分线性质定理的逆逆定理定理w逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到角的两边距离相等的且到角的两边距离相等的点点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上.w如图如图,wPD=PE,PDOA,PEOB,PD=PE,PDOA,PEOB,垂足分垂足分别是别是D,E(D,E(已知已知),),w点点P P在在AOBAOB的平分线上的平分线上.(.(在一在一个角的内部个角的内部,且到角的两边距离相且到角的两边距离相等的点等的点,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).老师提示:这个结论又是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.从这个结果出发,你还能联想到什么?回顾 思考OCB1A2PDE亲历知识的发生和发展w剪一个三角形纸片通过折叠找出每个角的平分线.结论:三角形三个角的平分线相交于一点.老师期望:你能写出规范的证明过程.你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗?w观察这三条角平分线,你发现了什么?做一做做一做亲历知识的发生和发展利用尺规作出三角形三个角的平利用尺规作出三角形三个角的平分线分线.结论:三角形的三条角平分线相交于一点.老师期望:你能写出规范的证明过程.你想证明这个命题吗?你能证明这个命题吗?做一做做一做w再观察这三条角平分线,你又发现了什么?与同伴交流.思考分析命题:三角形三个角的平分线相交于一点.如图,设ABC的角平分线BM,CN相交于点P,过点P分别作BC,AC,AB的垂线,垂足分别是E,F,D.BM是ABC的角平分线,点P在BM上,ABC的三条角平分线相交于一点P.怎样证三条直线交于一点怎样证三条直线交于一点w基本想法是这样的:我们知道,两条直线相交只有一个交点.要想证明三条直线相交于一点,只要能证明两条直线的交点在第三条直线上即可.这时可以考虑前面刚刚学到的逆定理.ABCPMNDEFPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等).同理,PE=PF.PD=PF.点P在BAC的平分线上(在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上).定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.如图,在ABC中,BM,CN,AH分别是ABC的三条角平分线,且PDAB,PEBC,PFAC(已知),BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).老师提示老师提示:这又是一个证明三条直线交于一点的根据这又是一个证明三条直线交于一点的根据这个交点叫做三角形的这个交点叫做三角形的内心内心.几何的三种语言H 做一做做一做ABCPMNDEF挑战自我挑战自我 随堂练习随堂练习l如图,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.老师期望:你能正确地解答并规范地写出其过程.l(1)如果CD=4cm,AC的长;l(2)求证:AB=AC+CD.EDABC梦想成真 试一试试一试1.如图,已知ABC,作ABC一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线,看它们是否交于一点?这样的点有几个?如果以这个点为圆心,这一点到三角形一边的距离为半径作圆,你能作出这个图形吗?ABC老师提示:三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点,这个点叫做三角形的旁心.这样的点有三个.回味无穷w 定理定理 角平分线上的点到这个角平分线上的点到这个角的两边距离相等角的两边距离相等.w 逆定理逆定理 在一个角的内部在一个角的内部,且到且到角的两边距离相等的点角的两边距离相等的点,在这在这个角的平分线上个角的平分线上.小结 拓展OCB1A2PDEw定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等(这个交点叫做三角形的内心).w三角形一个内角和与它不相邻的两个外角的平分线交于一点,这个的点叫做三角形的旁心.这样的点有三个.知识的升华独立独立作业作业习题祝你成功！习题 独立作业独立作业w1.已知:如图,C=900,B=300,AD是RtABC的角平分线.w求证:BD=2CD.w老师期望:w你能写出规范的证明过程.ABCD习题 独立作业独立作业w2.已知:如图,ABC的外角CBD和BCE的角平分线相交于点F.w求证:点F在DAE的平分线上.老师期望:养成用数学解释生活的习惯.ABCFDE习题 独立作业独立作业w3.已知:如图,P是AOB平分线上的一点,PCOA,PDOB,垂足分别C,D.w求证:w(1)OC=OD;w(2)OP是CD的垂直平分线.老师期望:做完题目后,一定要“悟”到点东西,纳入到自己的认知结构中去.BAPDCO结束寄语 严格性之于数学家,犹如道德之于人.证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!。