福建师范大学21春《近世代数》作业二满分答案1. 求∫x2e1-2x3dx求∫x2e1-2x3dx 2. 求二次曲线2χ2＋4χy＋5y2－6χ－8y－100＝0的主轴．求二次曲线2χ2＋4χy＋5y2－6χ－8y－100＝0的主轴．正确答案：主轴为6χ＋12y－11＝0和2χ－y－2＝0．主轴为6χ＋12y－11＝0和2χ－y－2＝0．3. 设D=[0，1]×[0，1]，证明函数 在D上部可积设D=[0，1]×[0，1]，证明函数 在D上部可积对D作任意的分割T：σ1，σ2，…，σn，则f(x，y)关于分割的上和与下和分别为 其中， 所以 故f(x,y)在D上不可积 4. 1．设F(x)是连续型随机变量ξ的分布函数，x1，x2为数轴上任意两点，且有x1＜x2，则( )不一定成立． A．F(x1)1．设F(x)是连续型随机变量ξ的分布函数，x1，x2为数轴上任意两点，且有x1＜x2，则( )不一定成立． A．F(x1)2) B．F(x1)≤F(x2) C．F(x)在x1处连续 D．F(x2)-F(x1)=P(x1＜x≤x2)A5. 设f(x)的导数在x=a处连续，且，则______． (A)x=a是f(x)的极小值点 (B)x=a是f(x)的极大值点 (C)(a，f(a))是设f(x)的导数在x=a处连续，且，则______． (A)x=a是f(x)的极小值点 (B)x=a是f(x)的极大值点 (C)(a，f(a))是曲线y=f(x)的拐点 (D)x=a不是f(x)的极值点，(a，f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点B由知， 又因为f'(x)在x=a处连续，则有 f'(a)=f'(x)=0，x=a为驻点． 又 由极值的第二充分条件知，f(x)在x=a处取得极大值． 故应选(B)． 6. 设f∈L(R)且∫-∞∞fdm≠0，a是一确定的实数。
令 x∈R 试证：设f∈L(R)且∫-∞∞fdm≠0，a是一确定的实数令 x∈R 试证：设，则存在N＞0，使当x＞N 时 于是 故 7. 某公司用自动灌装机灌装营养液，设自动灌装机的正常灌装量ξ～N(100，1.22)，现测量9支灌装样品的灌装量(单位：g)某公司用自动灌装机灌装营养液，设自动灌装机的正常灌装量ξ～N(100，1.22)，现测量9支灌装样品的灌装量(单位：g)为： 99.3，98.7，100.5，101.2，98.3，99.7，102.1，100.5，99.5 问在显著性水平α=0.05下，已知σ2=1.44． 因为ξ～N(100，1.44)，n=9． ①提出假设．H0：μ=μ0=100． ②找统计量．． ③求临界值．对给定的α=0.05，查正态分布表得，满足P(|U|≥uα/2)=0.05的临界值为uα/2=1.96． ④求观察值．由，计算得． ⑤作出判断．因为|U|=0.5＜1.96，所以接受H0，即认为灌装量符合标准．$已知期望μ=100，因为ξ～N(100，1.44)，n=9． ①提出假设．H0：． ②找统计量．． ③求临界值．对给定的α=0.05，查χ2分布表，求出临界值 ④求观察值．计算，得出． ⑤作出判断．由于2.7＜10.17＜19，因此接受H0，即认为灌装精度在标准范围内． 8. 若∫f(x)dx=x+C，则∫f(1-x)dx=______。
若∫f(x)dx=x+C，则∫f(1-x)dx=______x+C9. 设有一吊桥，其铁链成抛物线型，两端系于相距100m高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10m处，求设有一吊桥，其铁链成抛物线型，两端系于相距100m高度相同的支柱上，铁链之最低点在悬点下10m处，求铁链与支柱所成之角正确答案：10. 设A为三阶非零矩阵，，r(AB)=1，则正确的是______． (A)t=2时，r(A)=1 (B)t=2时，r(A)=2 (C)f≠2时，r(A)=1 (D)设A为三阶非零矩阵，，r(AB)=1，则正确的是______． (A)t=2时，r(A)=1 (B)t=2时，r(A)=2 (C)f≠2时，r(A)=1 (D)t≠2时，r(A)=2C当t=2时，有 ，|B|=0，B不可逆． 当t≠2时，，r(B)=3，从而B可逆，则r(AB)=r(A)=1． 故应选(C). 11. 若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导函数，且 f(x1)=f(x2)=f(x3)(a＜x1＜x2＜x3＜b)，证明：在(x1，x3)内至少有一点ξ，使若函数f(x)在(a，b)内具有二阶导函数，且 f(x1)=f(x2)=f(x3)(a＜x1＜x2＜x3＜b)，证明：在(x1，x3)内至少有一点ξ，使得f"(ξ)=0．显然f(x)在(a，b)内连续可导，故f(x)在[x1,x2]及[x2，x3]上连续，在(x1，x2)及(x2，x3)上可导，于是由罗尔定理知，ξ2∈(x2，x3)，使得 f'(ξ1)=f'(ξ2)=0 (ξ1＜ξ2)，又，故f(x)在[ξ1，ξ2]上连续可导，再次应用罗尔定理知， 使得f"(ξ)=0， ξ∈(x1，x3)． 12. 设f(χ)＝χ4，χ∈[0，1]，取h＝0．2，试用分段线性插值函数和分段三次Hermite插值计算f(0．44)的估计值。
设f(χ)＝χ4，χ∈[0，1]，取h＝0．2，试用分段线性插值函数和分段三次Hermite插值计算f(0．44)的估计值正确答案：取χj-1＝0．4χj＝0．6则f(χj-1)＝0．44＝0．0256f(χj)＝0．64＝0．1296则由线性插值得\r\n\r\n 由两点三次Hermite插值公式计算得\r\n\r\n 真值f(0．44)＝0．03748096显然Hermite插值比线性插值的精度高取χj-1＝0．4,χj＝0．6,则f(χj-1)＝0．44＝0．0256,f(χj)＝0．64＝0．1296,则由线性插值得由两点三次Hermite插值公式计算得真值f(0．44)＝0．03748096,显然Hermite插值比线性插值的精度高13. 若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫xf(x2)dx=______．若∫f(x)dx=F(x)+C，则∫xf(x2)dx=______．14. 大炮以仰角α、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线．大炮以仰角α、初速v0发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线．15. 设z=f(x，y)二次连续可微，且试证对任意的常数C，由方程f(x，y)=C决定的隐函数为一直线的充要条件是设z=f(x，y)二次连续可微，且试证对任意的常数C，由方程f(x，y)=C决定的隐函数为一直线的充要条件是 由f(x，y)=C决定了隐函数y=y(x)，且 则 显然y=y(x)，即f(x，y)=C为直线的充要条件是．由我们刚才推导的式子可知等价于 16. 若一元函数φ(x)在[a，b]上连续，令 f(x，y)=φ(x)，(x，y)∈D=[a，b]×(-∞，+∞)． 试讨论f在D上是否连续?是否一致连若一元函数φ(x)在[a，b]上连续，令 f(x，y)=φ(x)，(x，y)∈D=[a，b]×(-∞，+∞)． 试讨论f在D上是否连续?是否一致连续?f(x，y)在D上连续且一致连续． 因为φ(x)在闭区间[a，b]上连续，所以φ(x)在[a，b]上一致连续．因而对，当x1，x2∈[a，b]，|x1-x2|＜δ时，有 |φ(x1)-φ(x2)|＜ε． 由于f(x，y)=φ(x)与y无关，所以对，当|x1-x2|＜δ，|y1-y2|＜δ(或ρ(P1，P2)＜)时，就有 |f(x1，y1)-f(x2，y2)|=|φ(x1)-φ(x2)|＜ε． 故f(x，y)在D上一致连续． 17. 设方阵A的特征值都是实数，且满足条件： λ1＞λ2≥…≥λn， |λ1|＞|λn| 为求λ1而作原点平移，试证：当平移量时幂法收设方阵A的特征值都是实数，且满足条件： λ1＞λ2≥…≥λn， |λ1|＞|λn| 为求λ1而作原点平移，试证：当平移量时幂法收 厶敛最快．方阵B=A-pI的特征值满足 λ1-P＞λ2-P≥…≥λn-P， 于是 为使乘幂法对B收敛最快，应使 达到最小． 记，显然有 ， 于是 下证事实上，令p=p-ε，若ε＞0，则 同理可证，若ε＜0，也有成立．故对任何户，都有，等号仅当时成立，即当时λp达到最小，从而幂法对B收敛最快．对A作原点平移求特征值λ1时，欲证平移量P取时乘幂法收敛最快，只须证明：对任意满足 的实数P，均有 根据题中条件及一些不等式运算即可证明题中结论． 18. 设 证明，A总可以表成T12(k)和T21(k)型初等矩阵的乘积．设 证明，A总可以表成T12(k)和T21(k)型初等矩阵的乘积．证 由于 若c≠0，将A的第2行乘以加到第1行，得 再将第1行乘以-c加到第2行，得 再将第1列乘以加到第2列，得 即 所以 若c=0，a≠0，那么将第1行加到第2行即化为前一种情况，同样可证明要证的结论． 19. 对事件A，B，说明下列关系式相互等价： (1); (2) (3)A+B=B; (4)AB=A; (5)对事件A，B，说明下列关系式相互等价： (1); (2) (3)A+B=B; (4)AB=A; (5)用文氏图表示事件A，B的关系即可看出(1)、(3)、(4)、(5)是相互等价的，即 又有 于是可得(2)与(1)、(3)、(4)、(5)也是相互等价的。
20. 给定微分方程组 ， 其中f(x，y)有连续一阶偏导数．试证明在原点邻域内如f＞0则零解为渐近稳定的，而f＜0则零解给定微分方程组 ， 其中f(x，y)有连续一阶偏导数．试证明在原点邻域内如f＞0则零解为渐近稳定的，而f＜0则零解不稳定．取定正，有V'=-(x2+y2)f(x，y)．当f＞0时V'定负，零解渐近稳定，而f＜0时V'定正，零解不稳定．21. 试证明： 设是非空开集，r0＞0．若对任意的x∈G，作闭球，则是开集．试证明： 设是非空开集，r0＞0．若对任意的x∈G，作闭球，则是开集．[证明] 设x0∈A，则存在x'∈G，使得.注意到G是开集，故存在δ'＞0，使得．再取x″∈B(x'，δ')且x'≠x″以及|x″-x0|＜r0，从而有.由此易知，存在δ0＞0，使得，即A是开集．22. 试证数列(n=1，2，…)收敛，并求极限．试证数列(n=1，2，…)收敛，并求极限． 所以当n＞20时， 故{xn}收敛 即 所以 从某项起数列单调有界则必收敛． 23. 设矩阵Am×n经初等行变换变成了矩阵Bm×n，证明：A的由第j1，j2，…，jr列组成的向量组与.B的由第j1，j2，…，jr列组成设矩阵Am×n经初等行变换变成了矩阵Bm×n，证明：A的由第j1，j2，…，jr列组成的向量组与.B的由第j1，j2，…，jr列组成的向量组有相同的线性相关性.证 由A与B行等价知存在可逆方阵P，使得PA=B.设A，B按列分块分别为 A=[α1 α2…αn]，B=[β1 β2…βn] 则PA=B可写成 [Pα1 Pα2…Pαn]=[β1 β2…βn] 即Pαj=βj (j=1，2，…，n) (3-37) 设有一组数x1，x2，…，xr，使得 (3-38) 用矩阵P左乘上式两端，并利用(3-37)式，得 (3-39) 反过来，若有x1，x2，…，xr使(3-39)式成立，用P-1左乘(3-39)式两端，并利用P-1βj=αj，便得(3-38)式成立.故关于x1，x2，…，xr的两个齐次线性方程组(3-38)与(3-39)是同解的，当它们只有零解时，向量组和向量组都线性无关；当它们存在非零解时，向量组和向量组都线性相关，且如果有常数k1，…，ki-1，ki+1，…，kr，使，则对应地有.所以向量组与向量组有相同的线性相关性.本题证明了：矩阵的初等行变换不改变矩阵列向量之间的线性相关性.由此可知，若A与B行等价，则为B的列向量组的极大无关组为A的列向量组的极大无关组. 24. 求圆心在(b，0)，半径为a(b＞a)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积．求圆心在(b，0)，半径为a(b＞a)的圆绕y轴旋转而成的环状体的体积．圆的方程为 (x-b)2+y2=a2 显然，此环状体的体积等于由右半圆周x2=ψ2(y)=b+和左半圆周分别与直线y=-a，y=a及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转所产生的旋转体之差，因此所求的环状体的体积 由几何意义知其值为． 25. 证明以直线A1x+By+C1=0为渐近线的二次曲线方程总能写成 (A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D=0.证明以直线A1x+By+C1=0为渐近线的二次曲线方程总能写成 (A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D=0.[证明] 设以A1x+B1Y+C1=0为渐近线的二次曲线为 F(x,y)=a11x2+2a12xy+a22y2+2a13x+2a23y+a33=0.它的渐近线为Φ(x-x0，y-y)=0，其中(x，y)为曲线的中心，因为它是关于x-x，y-y的二次齐次式，所以它可以分解为两个一次式之积，从而有 Φ(x-x0,y-y0)=(A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)而Φ(x-x0，y-y0)=a11(x-x0)2+2a12(x-x0) (y-y0)+a22(y-y0)2=a11x2+2a12xy+a22y2-2(a11x0+a12y0)x-2(a12x0+a22y0)y+a11x02+2a12x0y0+a22y02, 因为(x0，y0)为曲线的中心，所以有 a11x0+a12y0=-a13，a12x0+a22y0=-a23， 因此Φ(x-x0，y-y0)=F(x，y)+Φ(x0，y0)-a33， 令Φ(x0，y0)-a33=-D，代入上式就得 F(x,y)=Φ(x-x0,y-y0)+D, 即F(x,y)=(A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D,所以以A1x+B1y+C1=0为渐近的二次曲线可写成 (A1x+B1y+C1)(Ax+By+C)+D=0. 26. G是n个结点、m条边的无向简单图，v是次数为k的结点，则G-v(G中去掉v结点的图)中有______个结点，______条边．G是n个结点、m条边的无向简单图，v是次数为k的结点，则G-v(G中去掉v结点的图)中有______个结点，______条边．n-1$m-k27. 对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较： (1)max s.t．(i=1,2，…，m), xj≥0(j=1，2，…，n)；对下列三个线性规划问题，分别写出其对偶问题，并加以比较： (1)max s.t．(i=1,2，…，m), xj≥0(j=1，2，…，n)； (2)max s．t．(i=1，2，…，m)， xj≥0(j=1,2，…n)，xsi≥0(j=1,2，…，m)； (3) s．t．(i=1，2，…，m)， xj≥0(j=1,2，…，n)，xsi,xai≥0(i=1,2，…，m)，其中M表示充分大的正数．它们的对偶问题都是 min s.t．(j=1,2，…，n), u1≥0(i=1，2，…，m)． 注意到(1)，(2)，(3)三个问题是等价的．由此看出：对任何线性规划问题，不管其形式如何变化，其对偶问题是惟一的． 28. ∫(2x+3x)2dx；∫(2x+3x)2dx；29. 设λ为可逆方阵A的一个特征值，则(A)2+E必有一个特征值为______.设λ为可逆方阵A的一个特征值，则(A)2+E必有一个特征值为______..30. 设∑an,∑bn二收敛级数中至少有一个为绝对收敛，又设cn=a0bn+a1bn-1+…+anb0，则∑cn必收敛，且 [墨吞斯]设∑an,∑bn二收敛级数中至少有一个为绝对收敛，又设cn=a0bn+a1bn-1+…+anb0，则∑cn必收敛，且 [墨吞斯]可假定∑bn为绝对收敛．于是根据假设便有 置∑n=|b0|+|b1|+…+|bn|，σn=c0+c1+…+cn则 n=(a0+a1+a2+…+an)(b0+b1+b2+…+bn)-b1an- b2(an+an-1)-b3(an+an-1+an-2)-…-bn(an+an-1+…+a1)=sns'n-b1(sn-sn1)-b2(sn-sn-2)-…-bn(sn-s0)． 故 现在的情况很明白，由于 故对于任意给定的ε＞0，总可选取n，m以及n-m都充分地大，使得 |σn-ss'|＜|sns'n-ss'|+ε(∑m-∑0)-εA，此处A=max|sn-sn-j|(m+1≤j≤n)．又|snsn'-ss'|亦可使之小于所设ε．由于ε为任意而A及∑m均系有界，故得|σn-ss'|→0 31. 计算矩阵的指数函数eAt．计算矩阵的指数函数eAt．A有特征值λ=0，λ=i，λ=-i． 对应于λ=0的特征向量u=[u1，u2，u3]T满足 可取特征向量u=α·[1，0，0]T，其中α≠0为任意常数．对应于λ=i的特征向量v=[v1，v2，v3]T满足 可取特征向量v=β·[1+2i，i-2，1]T，其中β≠0为任意常数．对应于λ=-i的特征向量w=[w1，w2，w3]T满足 可取特征向量w=γ·[1-2i，-2-i，1]T，其中γ≠0为任意常数．对应的齐次微分方程组有基解矩阵(取α=β=γ=1) 因为 ， 得 eAt=Ф(t)·Ф-1(0) 32. 计算第一类曲线积分∫Lf(x，y)ds时，要注意哪些问题?计算第一类曲线积分∫Lf(x，y)ds时，要注意哪些问题?(1)如果积分弧段L用显式方程y=y(x)(a≤x≤b)给出，则可把它当作特殊的参数方程x=t，y-y(t)(a≤t≤b)的情形来处理．但此时有一点要注意：有些可用参数方程统一表示的曲线(特别如闭曲线)，若用显式方程y=y(x)(或x=x(y))来表示，也许需要分弧段表示．比如圆L：x=cost，y=sint(0≤t≤2π)，若用显式方程表示．则需分成上半圆L1：(-1≤x≤1)和下半圆L2：(-1≤x≤1)，这时计算在L上的第一类曲线积分就要分别计算在L1和L2上的第一类曲线积分，然后把结果相加． 如果积分弧段L用极坐标方程ρ=ρ(θ)(α≤θ≤β)表示，则可把它看作是特殊的参数方程 x=ρ(θ)cosθ， y=ρ(θ)sinθ(α≤θ≤β) 的情形处理．容易算得，此时 (2)如同重积分那样，也可以利用对称性来化简第一类曲线积分的计算，有关结论与重积分的情况类似．比如，若积分弧段L关于x轴对称，而被积函数f(x，y)关于y是奇函数，则∫Lf(x，y)ds=0；若f(x，y)关于y是偶函数，则∫Lf(x，y)ds=2∫L1f(x，y)ds，其中L1是L上的y≥0的那一部分弧段．又若L关于直线y=x对称，则∫Lf(x，y)ds=∫Lf(y，x)ds，等等．读者可类比得出其他情况下的结论． 计算第一类曲线积分时，还可以利用积分弧段L的方程来化简被积函数(计算第二类曲线积分时也可以这样处理)．由于积分变量x，y取在L上，故x，y满足L的方程，因此，需要时可将L的方程代入被积函数，达到化简的目的，这是计算曲线积分(以及以后的曲面积分)特有的方法． 33. 问向量β=(2，3，一1)T是否为向量组α1=(1，一1，2)T；α2=(一1，2，一3)T；α3=(2，一3，5)T的线性组合?如果是问向量β=(2，3，一1)T是否为向量组α1=(1，一1，2)T；α2=(一1，2，一3)T；α3=(2，一3，5)T的线性组合?如果是，求其组合系数．正确答案：设α1x1+α2x2+α3x3=β\r\n即：故不能用克莱姆法则．\r\n所以x1=7一c；x2=5+c；x3=c为任意常数．故β=α1(7一c)+α2(5+c)+α3c\r\n c为任意常数．设α1x1+α2x2+α3x3=β,即：故不能用克莱姆法则．所以x1=7一c；x2=5+c；x3=c为任意常数．故β=α1(7一c)+α2(5+c)+α3c,c为任意常数．34. 设函数y=y(x)由参数方程确定，求y&39;。
设函数y=y(x)由参数方程确定，求y'∵dx=-sintdt，dy=(cost-cost+tsint)dt=tsintdt ∴ 35. 设ξ服从泊松分布，且已知P{ξ=1}=P{ξ=2}，求P{ξ=4}．设ξ服从泊松分布，且已知P{ξ=1}=P{ξ=2}，求P{ξ=4}．由P{ξ=1}=P{ξ=2}，得，所以λ=2． 因此 36. 求微分方程xy&39;-y=x3+3x2-2x的通解．求微分方程xy'-y=x3+3x2-2x的通解．37. 若β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表出，则β，α1，α2，…，αm线性相关． 若β不能由向量组α1，α2，…，αm线性表出，则β，α1，若β可以由向量组α1，α2，…，αm线性表出，则β，α1，α2，…，αm线性相关． 若β不能由向量组α1，α2，…，αm线性表出，则β，α1，α2，…，αm线性无关？[例] 上题中，α1不能由α2，α3线性表出，但α1，α2，α3线性相关．38. 下列函数的弹性函数为常数(即不变弹性函数)的有( )，其中a，b，α为常数． A．y=ax+b B．y=ax C． D．y=xα下列函数的弹性函数为常数(即不变弹性函数)的有( )，其中a，b，α为常数． A．y=ax+b B．y=ax C． D．y=xαBCD直接计算知B，C，D正确： B： C： D： 事实上，B，C是D的特例. 39. 求微分方程满足初始条件y|x=1=0的特解。
求微分方程满足初始条件y|x=1=0的特解原方程是关于函数y=y(x)的一阶线性非齐次方程，其中，，由一阶线性非齐次方程的通解公式 及 ， 得原方程的通解为 y=e-lnx(C+lnx)，即 将条件y|x=1=0代入通解，得C=0，故所求的特解为 40. 设汞的密度ρ与温度￡的关系为ρ=a0+a1t+a2t2+a3t3，经实验收集了四组数据：当温度为0、10、20、30(单位：℃)时，汞的设汞的密度ρ与温度￡的关系为ρ=a0+a1t+a2t2+a3t3，经实验收集了四组数据：当温度为0、10、20、30(单位：℃)时，汞的密度分别为13. 60、13. 57、13.55、13.52(单位：t/m3)． 请估计当温度为15℃时，汞的密度为多少．13.56t/m3．41. 在无芽酶实验中，发现吸氨量与底水及吸氨时间都有关系，试根据表中所列数据进行回归分析．(水温17℃±1℃；底水：10在无芽酶实验中，发现吸氨量与底水及吸氨时间都有关系，试根据表中所列数据进行回归分析．(水温17℃±1℃；底水：100g大麦经水浸一定时间后的重量；吸氨时间：min；吸氨量：在底水的基础上再浸泡氨水后增加的重量．)编号吸氨量Y底水x1吸氨时间x2编号吸氨量Y底水x1吸氨时间x216.2136.521572.8140.518027.5136.525083.1140.521534.8136.518094.3140.525045.1138.5250104.9138.521554.6138.5180114.1138.521564.6138.5215 建立Y关于x1和x2的经验回归方程，并对其进行显著性检验(1)建立回归方程，为简化计算，令x'1=x1-138.5，x'2=x2-215，并将有关数据列表计算如下，由表中数据可得： 编号 x'1 x'2 y (x'1)2 (x'2)2 y2 x'1x'2 x'1y x'2y 1 -2 0 6.2 4 0 38.44 0 12.4 0 2 -2 35 7.5 4 1225 56.25 -70 -15.0 262.5 3 -2 -35 4.8 4 1225 23.04 70 -9.6 -168.0 4 0 35 5.1 0 1225 26.01 0 0 178.5 5 0 -35 4.6 0 1225 21.16 0 0 -161.0 6 0 0 4.6 0 0 21.16 0 0 0 7 2 -35 2.8 4 1225 7.84 70 5.6 -98 8 2 0 3.1 4 0 9.61 0 6.2 0 9 2 35 4.3 4 1225 18.49 70 8.6 150.5 10 0 0 4.9 0 0 24.01 0 0 0 11 0 0 4.1 0 0 16.81 0 0 0 ∑ 0 0 52.0 24 7350 262.82 0 -16.6 164.5 故 解之得： 故得回归方程 (2)为检验回归方程显著性，下面作方差分析． Q=syy-u=17-15.073=1.927, r接近于1，故回归效果是好的 方差分析表如下： 方差来源 平方和 自由度 均方 统计量 Fα(2.8) 显著性 回归 15.073 2 7.5365 31.28 4.46 剩余 1.927 8 0.2409 总计 17 10 经检验，可知回归方程是显著的． 42. 求下列函数的微分： (1)y=acos3x(a＞0)； (2)y=(1+x2)xesx求下列函数的微分： (1)y=acos3x(a＞0)； (2)y=(1+x2)xesx(1)因为y'=(acos23x)'=acos23x·2cos3x·(-3sin3x)lna， 所以 dy=-6sin3xcos3x·Ina·acos23xdx =-3sin6xlnaacos23xdx． (2)y'=(1+x2)secx[secxln(1+x2)]' 故有 43. 设y1，y2是二阶非齐次线性微分方程的两个不同的特解，证明： (1)y1与y2之比不可能是常数； (2)对任何一个常数设y1，y2是二阶非齐次线性微分方程的两个不同的特解，证明： (1)y1与y2之比不可能是常数； (2)对任何一个常数λ，y=λy1+(1-λ)y2是方程的解．(1)如果y1=ky2，则由题意，常数k≠0，1．从而有 y"1+P(x)y'1+Q(x)y'1=f(x) 以及 y"1+P(x)y'1+Q(x)y1=(ky2)"+P(x)(ky2)'+Q(x)(ky2)=kf(x)． 于是就有kf(x)=f(x)，但f(x)≠0，此式不可能成立，所以y1与y2之比不可能是常数． (2)将y=λy1+(1-λ)y2代入方程的左端，得到 [λy1+(1-λ)y2]"+P(x)[λy1+(1-λ)y2]'+Q(x)[λy1+(1-λ)y2] =λ[y"1+P(x)y'1+Q(x)y1]+(1-λ)[y"2+p(x)y'2+Q(x)y2] =λf(x)+(1-λ)f(x)=f(x)． 因此，对一切常数λ，y=λy1+(1-λ)．y2也是线性微分方程的解． 44. 求下列函数f(x)的Dini导数：求下列函数f(x)的Dini导数：D+f(0)=D+f(0)=D-f(0)=D-f(0)=+∞．$D+f(0)=D+f(0)=1，D-f(0)=D-f(0)=-1．$对x∈Q，D+f(x)=0，D+f(x)=+∞，D-f(x)=-∞，D-f(x)=0；对，D+f(x)=D-f(x)=0，D+f(x)=-∞，D-f(x)=+∞.$由于在区间(1/(2n+2)π，1/2nπ]中cos(1/x)以及sin(1/x)可取到从-1到+1之间的一切值，故知 ． 类似地，有D+f(0)=a，D-f(0)=a'，D-f(0)=b'． 45. 比较下列各题中的两个积分的大小：比较下列各题中的两个积分的大小：因为0≤x≤1，所以x2≥x4(“=”成立的z只有有限个)，又因为x2，x4是连续函数，故∫01x2dx＞∫01x4dx,即I1＞I2$因为1≤x≤2，所以x2≤x4(“=”成立的x只有有限个)，且x2，x4是连续函数，所以∫12x2dx＜∫12x4dx,即I1＜I2$因为3≤x≤4，所以Inx＞1，所以Inx＜(Inx)3，且Inx，(Inx)3是连续函数，所以∫34lnxdx＜∫34(1nx)3dx，即I1＜I2$设f(x)=ln(1+x)-x，则(0＜x＜1)，故当0≤x≤l时，f(x)单调递减，故f(x)＜f(0)=0，即ln(1+x)＜x(0＜x≤1)，所以∫01In(1+x)dx＜∫01xdx故I1＞I2$由于x＞0时，1n(1+x)＜x，所以1+x＜ex，因此I1＞I246. 设向量的始点为P1(2，0，-1)，，方向余弦中的；，求向量的坐标表示式及终点坐标．设向量的始点为P1(2，0，-1)，，方向余弦中的；，求向量的坐标表示式及终点坐标．设终点P2(x，y，z)=(x-2)i+(y-0)j+(z+1)k 于是，终点坐标是 向量的坐标表示式是 47. (1)在一棵有两个2次结点、四个3次结点、其余为树叶的无向树中，应该有几片树叶? (2)画出两棵不同构的满足条件(1)在一棵有两个2次结点、四个3次结点、其余为树叶的无向树中，应该有几片树叶? (2)画出两棵不同构的满足条件(1)的结点次数的无向树T1，T2．48. 设随机变量ξ服从参数为2的指数分布，试证η=1-e-2ξ在区间(0，1)上服从均匀分布．设随机变量ξ服从参数为2的指数分布，试证η=1-e-2ξ在区间(0，1)上服从均匀分布．因为ξ服从参数为2的指数分布，则概率密度函数为 分布函数 在x≥0时，y=1-e-2x的反函数是，有 故服从均匀分布． 49. 关于函数极限和数列极限的关系，有哪些应用？关于函数极限和数列极限的关系，有哪些应用？我们有下述定理给出的更强的结果： Heine归并定理 极限存在的充分必要条件是：对任何数列{xn}，满足xn→x0(n→∞)且xn≠x0(n∈N+)，有存在. 这个性质称为函数极限的归并性，它有以下一些应用： (1)证明极限不存在，只需找出一个数列{xn}：xn→x0(n→∞)，且xn≠x0(n∈N+)，数列{f(xn)}发散；或找出两个数列{xn}和{x'n}：xn→x0，x'n→x0(n→∞)，xn≠x0，x'n≠x0(n∈N+)，数列{f(xn)}和{f(x'n)}有不同的极限． (2)为求极限，可以先找一个数列{xn}：xn→x0(n→∞)，xn≠x0(n∈N+)，求出数列{f(xn)}的极限：.然后，再证明. 50. 某公司运输某种商品的固定成本为 2 万元，每多运输 1吨商品，运输总成本增加 1 万元，运输该商品某公司运输某种商品的固定成本为 2 万元，每多运输 1吨商品，运输总成本增加 1 万元，运输该商品 q 吨收取客户的收入(单位:万元)为 R(q)= 4q一 0.5q2。
试求当运输量为多少时，利润最大?最大利润为多少?参考答案：运输 q 吨商品的成本函数为 C(q) =q十2利润函数为 L(q) =R(q)-C(q)=3q一 0.5q2_2令 ML(q)=3-q=0得惟一驻点 q=3 吨故当运输量为 3 吨时，利润最大最大利润为 L(3)= 2.5 万元51. 函数y=x2+4x-5在区间(-6+6)内满足( ) A．先单调下降再单调上升 B．单调下降 C．先单调上升再单调下降 D．函数y=x2+4x-5在区间(-6+6)内满足( ) A．先单调下降再单调上升 B．单调下降 C．先单调上升再单调下降 D．单调上升A52. 证明螺旋线r=(acost，asint，bt)上任一点的主法线都与x轴垂直相交证明螺旋线r=(acost，asint，bt)上任一点的主法线都与x轴垂直相交，从而 N=B×T=(cost，sint，0)故N与z轴垂直 即主法线与z轴垂直，且螺线上任一点r(t)处的主法线方程为ρ=ρ(λ)=r(t)+λN(t)=(acost，asint，bt)+λ(cost，sint，0)显然z轴上的点(0，0，bt)=ρ(-a)在主法线上，故主法线与z轴垂直相交，交点为ρ(-a)。
53. 甲、乙、丙、丁四人争夺乒乓球单打冠军，已知情况如下： 前提：(a)若甲获冠军，则乙或丙获亚军； (b)若乙获亚军，甲、乙、丙、丁四人争夺乒乓球单打冠军，已知情况如下： 前提：(a)若甲获冠军，则乙或丙获亚军； (b)若乙获亚军，则甲不能获冠军； (c)若丁获亚军，则丙不能获亚军； 事实是：(d)甲获冠军； 结论是：(e)丁没有获亚军 请证明此结论是有效结论[证明]如果令 P：甲获冠军； Q：乙获亚军； R：丙获亚军； S：丁获亚军 由题意可知，需证明 P→(QR)，Q→￢P，S→￢R， 用间接证明法： ①S P(附加前提) ②S→￢R P ③￢R T①，② ④P P ⑤P→(QR) P ⑥QR T④，⑤ ⑦(￢Q→R)∧(R→￢Q) T⑥ ⑧￢Q→R T⑦ ⑨Q→￢P P ⑩￢Q T④，⑨ (11)R T⑧，⑩ (12)R∧￢R(矛盾) T③，(11) 54. 某试验室有A、B两种仪器，测量某一物体长度分别进行7次和10次，得数据(单位：mm)如下： A 97 102某试验室有A、B两种仪器，测量某一物体长度分别进行7次和10次，得数据(单位：mm)如下：A9710210396100101100 B10010110398979910210198101 在α=0.05下，能否认为B种仪器的精度比A种仪器的精度高?一般地，物体的长度服从正态分布，但μ1，μ2未知，可以认为方差小的精度高，故待检假设为H0：，H1：，是单侧检验，计算得 F统计量 查表知F0.05(6，9)=3.37，经比较知F=1.7148＜F0.05(6，9)=3.37，故接受H0认为仪器B的精度不比仪器A高． 55. 证明：函数在原点处的两个偏导数都不存在，但函数在原点有极大值证明：函数在原点处的两个偏导数都不存在，但函数在原点有极大值记z=f(x，y)，则 可知 因此不存在，即z关于x的偏导数，在点(0，0)处不存在 相仿可证z关于y的偏导数在点(0，0)处不存在 由于f(0，0)=1，当x2+y2≠0时， 可知在原点处取得极大值关于z在原点处的两个偏导数，直接由定义可验证不存在,z在原点处极值问题可以由极值的定义判定 56. 用某种仪器间接测量温度，重复测量7次，测得温度(单位：℃)分别为120.0，113.4，111.2，114.5，112.0，112.9，113.6，用某种仪器间接测量温度，重复测量7次，测得温度(单位：℃)分别为120.0，113.4，111.2，114.5，112.0，112.9，113.6，设温度X～N(μ，σ2)，在置信度为95%的条件下，试求出温度的真值所在的范围． 分析：设μ为温度的真值，X为测量值，在仪器无系统偏差情况下，即EX=μ时，重复测量7次，得到X的7个样本值，问题就是在未知方差(即仪器精度)的情况，求μ的置信区间．已知n=7，α=0.05，由样本观测值可求得(120.0+113.4+…+113.6)=112.8， 对于P{|T|＞λ}=0.05，T～T(7-1)=T(6)，查表得：λ=2.447，从而μ的置信区间为 即 [111.75，113.85] 57. 设z=x2y，在点(1，2)处，当Δx=0.1，Δy=0.2时，求Δz和dz．设z=x2y，在点(1，2)处，当Δx=0.1，Δy=0.2时，求Δz和dz．Δz=0.662，dz=0.658. 设方程组 系数行列式｜A｜=0，而A中某行元素aij的代数余了式Aij≠0，试证(Ai1,Ai2,…,Ain)T是该方程组的一个基设方程组 系数行列式｜A｜=0，而A中某行元素aij的代数余了式Aij≠0，试证(Ai1,Ai2,…,Ain)T是该方程组的一个基础解系．证： 因为｜A｜=0，所以AA*=｜A｜E=O， 将A*按列分块A*=[α1,α2,…,αn]，其中αi=(Ai1,Ai2,…,Ain)T，则 AA*=[Aα1,Aα2,…,Aαn]=[0,0,…,0] 即Aαi=O(i=1,2,…,n)，αi是齐次方程组Ax=0的解．又因为｜A｜=0，Aij≠0)，即A存在一个r-1阶的非零子式，所以秩(A)=n-1． 故方程组Ax=0的基础解系只包含有n-r(A)=1个解向量，任意一个非零解向量都可作为Ax=0的基础解系．由Aij≠0，知αi=(Ai1,Ai2,…,Ain)T≠0是Ax=0的一个基础解系．[逻辑推理] 利用基础解系的定义直接求解． 59. 已知一容器的外表面由y=x2(0≤y≤12m)绕y轴旋转而成，现在该容器盛满了水，将容器内的水全部抽出至少需作多少功已知一容器的外表面由y=x2(0≤y≤12m)绕y轴旋转而成，现在该容器盛满了水，将容器内的水全部抽出至少需作多少功？以y为积分变量，则y的变化范围为[0，12]，相应于[0，12]上的任一小区间[y，y+dy]的一薄层水近似看作高为dy、底面积为πx2=πy的一个圆柱体，得到该部分体积为πydy，水的密度P=1000kg/m3，该部分重力为1000gπydy，把该部分水抽出的移动距离为12-y，因此作功为 . 60. 某林区现有木材10万米3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木某林区现有木材10万米3，如果在每一瞬时木材的变化率与当时的木材数成正比，假设10年内该林区有木材20万米3，试确定木材数P与时间t的关系．正确答案：。