Chapter3-2 频域图像增强3 3.2 2.1.1 傅里叶变换傅里叶变换问题的提出：问题的提出：Time and Frequency=+信号的分解：时域频域频域信号的分解：时域信号的分解：频域时域信号的分解：频域时域信号的分解：频域时域 1,1,0;1,1,0其中：/2exp/2exp11010NuNxNuxjuFxfNuxjxfNuFNuNx一维离散付立叶变换对：F(u)是复函数，可以写成:F(u)=R(u)+jI(u)=|F(u)|expj(u)正变换逆变换 离散傅立叶变换离散傅立叶变换(DFT)(DFT)简介简介F(u)称为f(x)的傅立叶频谱，(u)称为相位角Fourier基函数0123456780481216(a)正弦分量（前1/2）0124567048121638(b)余弦分量（前1/2）例：DFT的计算一维函数的四个采样值为f(0)=2,f(1)=3,f(2)=f(3)=4.25.3443241)3()2()1()0(410exp)(41)0(30ffffxfFx2414432414/2exp)(41)1(2/32/030jeeeexjxfFjjjx01 414432414/4exp)(41)2(32030jeeeexjxfFjjjx2414432414/6exp)(41)3(2/932/3030jeeeexjxfFjjjxf(x)全部值对FT都产生影响；反之，全部变换系数对反变换也产生影响。
2）二维离散付立叶变换1,1,0;1,1,0/2exp,1,1010 NvMuNvyMuxjyxfMNvuFMxNy正变换逆变换1,1,0;1,1,0/2exp,1010NyMxNvyMuxjvuFyxfMuNv10101010),(),(),(),(),(),(NvMuNyMxvuyxhvuFyxfvuyxgyxfvuF式中：g(x,y,u,v)和h(x,y,u,v)分别称为正向变换核和反向变换核)(21010)(21010),(1),(),(),(NvyMuxjNvMuNvyMuxjMxNyevuFMNyxfeyxfvuF写成一般形式：基图像的概念基图像的概念h(x,y,u,v)称为基图像任何一种变换都定义了一组基本函数（二维情况也把基本函数称为基本图像），构成变换空间的基正变换是对信号进行分解，变换获得信号在基函数上的投正变换是对信号进行分解，变换获得信号在基函数上的投影，变换系数是各基函数在信号中占有的量；影，变换系数是各基函数在信号中占有的量；反变换反变换是一个合成过程，通过将各个分量相加来合成原始是一个合成过程，通过将各个分量相加来合成原始信号因此，二维反变换是通过一组被适当加权的基图像求和而重构原图象。
变换矩阵中的每个元素就是其对应的基本图像在求和时所乘的倍数变换的物理意义10101010),(),(),(),(*),(),(NvMuNyMxvuyxhvuFyxfvuyxhyxfvuF正变换正变换反变换反变换我们想分解图像中的快变与慢变成分，一个非常好的分解方法：可以将图像变换看作若干个图像的加权和，加权系数F(u,v)为：例1图像函数及傅立叶频谱图像函数灰度图频谱例2实际图像及傅立叶频谱频域增强是首先经过傅里叶变换，将图像从空间域变换到频域，然后在频域根据想突出的有用的信息（或想削弱或抑制信息）的需要，对频谱进行处理，再将其反变换到空间域，从而得到增强后的图像3.2.2 3.2.2 频域增强频域增强假定原图像f(x,y)，经傅立叶变换为F(u,v)，频域增强就是选择合适的滤波器函数H(u,v)对F(u,v)的频谱成分进行调整，然后经逆傅立叶变换得到增强的图像g(x,y)该过程可以通过下面流程描述：其中,G(u，v)=H(u,v)F(u,v),H(u,v)称为传递函数或滤波器函数系统H(u,v)输入f(x,y)输出g(x,y),(),(),(),(),(yxgIDFTuGuHvuFDFTyxf滤波频域增强),(),(),(),(),(yxgIDFTuGuHvuFDFTyxf滤波可以通过选择合适的频率传递函数H(u,v)来突出f(x,y)的某一方面的特征，从而得到需要的图像g(x,y)。
如:利用传递函数H(u,v)突出高频分量，以增强图像的边缘信息，即高通滤波；如果突出低频分量，就可以使图像显得比较平滑，即低通滤波),(),(),(),(),(yxgIDFTuGuHvuFDFTyxf滤波频域滤波的主要步骤：(1)对原始图像f（x，y）进行傅里叶变换得到F(u,v)；(2)将F(u,v)与传递函数H(u,v)进行卷积运算得到G(u,v)；(3)将G（u，v）进行傅里叶逆变换得到增强图 g(x，y)频域滤波的核心在于如何确定传递函数，即H(u，v)高频分量对应图像边缘、噪音、变化陡峭部分低频对应变化平缓部分uv频域滤波原理 频域增强与空域增强的关系:u 在实践中，小的空间模板比傅立叶变换用的多得多，因为它们易于实现，操作快捷u 对于很多在空域上难以表述清楚的问题，对频域概念的理解就显得十分重要（如压缩)频域滤波低通滤波高通滤波带通滤波同态滤波 图像从空间域变换到频率域后，其低频分量对应图像中灰度值变化比较缓慢的区域，高频分量则表征图像中物体的边缘和随机噪声等信息低通滤波是指保留低频分量，而通过滤波器函数H(u，v)减弱或抑制高频分量的在频域进行的滤波低通滤波与空域中的平滑滤波器一样可以消除图像中的随机噪声，减弱边缘效应，起到平滑图像的作用1、低通滤波低通滤波（Lowpass filters)下面介绍几种常用的频率域低通滤波器。
下面介绍几种常用的频率域低通滤波器22),(vuvuDD0是一个非负整数，D是从点（u，v）到频率平面原点的距离即：00),(0),(1),(DvuDDvuDvuH理想低通滤波器的含义是指小于D0的频率，即以D0为半径的圆内的所有频率分量可以完全无损地通过，而圆外的频率，即大于D0的频率分量则完全被除掉1)理想低通滤波器 二维理想低通滤波器的传递函数如下：理想低通滤波器的含义是指小于D0的频率，即以D0为半径的圆内的所有频率分量可以完全无损地通过，而圆外的频率，即大于D0的频率分量则完全被除掉理想低通滤波器的平滑作用非常明显，但由于变换有一个陡峭的波形，它的反变换h(x,y)有强烈的振铃特性，使滤波后图像产生模糊效果因此这种理想低通滤波实用中不能采用振铃”现象H(u,v)h(x,y)理想低通过滤器振铃效果理想低通滤波器的一种特性理想低通过滤器的截止频率的设计低通滤波的能量和低通滤波的能量和D0的关系：的关系：能量在变换域中集中在低频区域以理想低通滤波作用于NN的数字图像为例，其总能量2120200),(uuD当理想低通滤波的D0变化时，通过的能量和总能量比值必然与 D0有关，而 可表示u,v 的通过能量百分数。
一个以频域中心为原点，r为半径的圆就包含了百分之 的能量uvAvuPE/),(100根据对保留能量的要求来确定滤波器的截止频率r=5r=11r=22r=R/D0100r=100（R=D0时）频域低通滤波所产生的模糊示例r=5r=45r=1190959999.5尽管只有10的(高频)能量被滤除，但图像中绝大多数细节信息都已丢失了当仅5的高频能量被滤除后，图像中仍有明显的振铃效应2)巴特沃斯（Butterworth）低通滤波器巴特沃斯低通滤波器的传递函数为：nDvuDvuH20/),(11),(D0为截止频率，n为函数的阶一般取使H(u，v)最大值下降到最大值的0.5时的D(u,v)为截止频率D0Butterworth低通过滤器的截面图H(u,v)作为D(u,v)/D0的函数的截面图n=1n=3nDvuDvuH20/),(11),(Butterworth低滤波效果低滤波效果Z6.bmpLowpass4.mD0=5D0=11D0=22D0=45nDvuDvuH20/),(11),(n=2 Butterworth低通过滤器的分析低通过滤器的分析u 在任何经BLPF处理过的图像中都没有明显的振铃效果，这是过滤器在低频和高频之间的平滑过渡的结果u 低通滤波是一个以牺牲图像清晰度为代价来减少干扰效果的修饰过程Butterworth低通过滤器的分析BLPF处理过的图像中都没有振铃效果（3）梯形低通滤波器1101010),(0),()(),(),(1),(DvuDDvuDDDDDvuDDvuDvuHD00),(DvuD特点：结果图像的清晰度较理想低通滤波器有所改善，振铃效应也有所减弱。
应用时可调整D1值，既能达到平滑图像的目的，又可以使图像保持足够的清晰度D00),(DvuD原图像傅里叶频谱D0=5,能量的90D011,能量的95D0=45,总能量的99%D0=22,总能量的98%合理的选取D0是应用低通滤波器平滑图像的关键nDvuDevuH),(0),(（4）指数低通滤波器一般取使H（u,v）最大值下降至原来的1/2时或 时的D(u，v)为截止频率D02/1n=1n=3D0特点：指数低通滤波器从通过频率到截止频率之间没有明显的不连续性，而是存在一个平滑的过渡带指数低通滤波器实用效果比Butterworth低通滤波器稍差，但仍无明显的振铃现象n=3图像的边缘、细节主要在高频，图像模糊是由于高频成分较弱产生的为了消除模糊，突出边缘，可以采用高通滤波的方法，使低频分量得到抑制，从而达到增强高频分量，使图像的边沿或线条变得清晰，实现图像的锐化2、高通滤波（高通滤波（Highpass filters)00),(1),(0),(DvuDDvuDvuH（1）理想高通滤波器（Ideal Highpass Filters)理想高频滤波器传递函数:0011011),(1),(),(),(0),(DvuDDvuDDDDDvuDDvuDvuH（2）梯形高通滤波器(GHPF)D1D0（3）巴特沃思(Butterworth)高通滤波器(BHPF)n=3nvuDDvuH20),(11),(),(347.0exp),()21expln(),(00nnvuDDvuDDvuH（4）指数高通滤波器(EHPF)n=3三种高通滤波器比较 IHPFBHPFEHPF IHPFBHPFEHPFIHPF滤波效果，D0=15，30，80。
D0越小，振铃效应越明显BHPF,比IHPF的结果平滑得多EHPF滤波效果四种高通滤波器比较：四种高通滤波器比较：理想高通有明显振铃，图像的边缘模糊不清理想高通有明显振铃，图像的边缘模糊不清Butterworth高通效果较好，振铃不明显，但计算高通效果较好，振铃不明显，但计算复杂指数高通效果比指数高通效果比Butterworth差些，但振铃也不明差些，但振铃也不明显梯形高通的效果是微有振铃、但计算简单，故较常梯形高通的效果是微有振铃、但计算简单，故较常用在某些情况下，信号或图像中的有用成分和希望除掉的成分主要分别出现在频谱的不同频段，这时允许或阻止特定频段通过的传递函数就非常有用3、带阻滤波（带阻滤波（Bandstop filter）与与 带通滤波（带通滤波（Bandpass filter）带阻滤波:干扰的领域图形多为(u0,v0)和(-u0,-v0)两点成对出现如图所示：可在点(u0,v0)和(-u0,-v0)某个圆形邻域D处设计带阻滤波器，即抑制以(u0,v0)为中心，D0为半径的邻域中所有频率都阻止通过的滤波器它的滤波函数为：00),(1),(0),(DvuDDvuDvuHR2120200)()(vvuuD2/),(2/),(2/2/),(101),(0000WDvuDWDvuDWDWDvuDvuHR若若若若消去围绕原点的一个径向频带，理想的带阻滤波器函数为:式中W为阻带的宽度，D0为阻带的中心半径。
D0W式中式中W为阻带的宽度，为阻带的宽度，D0为阻带的中心半径为阻带的中心半径带通滤波器带通滤波器:与带阻滤波器互补允许一定频率范围（阻止其它频率范围）Hp(u,v)可用带阻滤波器HR(u,v)公式表示：HP(u,v)=-HR(u,v)-1（a）被正弦噪声污染的图像（b）图像（a）的频谱（c）巴特沃思带阻滤波器（d）滤波效果4、同态滤波同态滤波(Homomorphic filtering)问题提出：物体受到照度明暗不匀的时候，图象上对应照度暗的部分，细节难辨别4、同态滤波同态滤波(Homomorphic filtering)若照度为 i(x,y),反射系数为r(x,y),则：同态滤波的同态滤波的：消除不均匀照度的影响而又不损失图象细节),(),(),(yxryxiyxf成像模型：图象的灰度由照射分量和反射分量合成反射分量反映图象内容，随图象细节不同在空间上作快速变化照射分量在空间上通常均具有缓慢变化的性质因此认为：照射分量的频谱落在空间低频区域，反射分量的频谱落在空间高频区域),(),(),(yxryxiyxf),(),(),(yxryxiyxf但在频率域中不能直接对照度场和反射系数场频率分量分别进行独立的操作，即),(),(),(yxrFyxiFyxfF如果定义：),(ln),(ln),(ln),(yxryxiyxfyxz),(ln),(ln),(ln),(yxrFyxiFyxfFyxzF则：),(),(),(vuRvuIvuZ写成：这里I(u，v)、R(u，v)分别是lni(x,y)和lnr(x,y)的傅里叶变换。
同态滤波就是利用上式的形式将图像中的照明分量和反射同态滤波就是利用上式的形式将图像中的照明分量和反射分量分开分量分开,这样滤波函数就可以分别作用在这两个分量上这样滤波函数就可以分别作用在这两个分量上),(),(),(vuRvuIvuZ由：根据图像中的照明分量具有变化缓慢的特征，而反射分量则倾向于剧烈变化的持征，图像的自然对数的傅里叶变换的低频分量与照明分量相联系，而其高频分量则与反射分量相联系根据这一性质，可以设计一个对傅立叶变换高频和低频分量影响不同的滤波器0H(u,v)D(u,v)LHHH1如图H(u,v)一方面减弱了低频另一方面加强了高频1）两边取对数：),(ln),(ln),(lnyxryxiyxf),(),(),(),(),(),(vuRvuHvuIvuHvuFvuH),(),(),(vuRvuIvuF（2）两边取付氏变换：（3）用一频域函数 H(u,v)处理 F(u,v)：),(),(),(yxhyxhyxhrif（4）反变换到空域：),(exp),(exp),(exp),(yxhyxhyxhyxgrif（5）两边取指数：同态滤波处理步骤同态滤波处理步骤:),(),(),(yxryxiyxf0H(u,v)D(u,v)LHHH1特点：能消除乘性噪声，能同时压缩图象的整体动态范围特点：能消除乘性噪声，能同时压缩图象的整体动态范围和增加图象中相邻区域间的对比度和增加图象中相邻区域间的对比度lnFFTH(u,v)(FFT)-1expf(x,y)g(x,y)同态滤波流程图：同态滤波流程图：典型曲线效果示例（HL=0.5，HH=2.0）3.2.6 频域技术与空域技术频域技术与空域技术 空间滤波器的工作原理可借助频域进行分析空间滤波器的工作原理可借助频域进行分析 空间平滑滤波器消除或减弱图象中灰度值具有较大较快变化部分的影响，这些部分对应频域中的高频分量，所以可用频域低通滤波来实现空间锐化滤波器消除或减弱图象中灰度值缓慢变化的部分，这些部分对应频域中的低频分量，所以可用频域高通滤波来实现 空域中的平滑滤波器在频域里对应低通滤波器空域中的平滑滤波器在频域里对应低通滤波器 频域/空域的宽窄有什么关系?uuF()xf()x00频域空域频域越宽，空域越窄，平滑作用越弱频域越窄，空域越宽，模糊作用越强空域中的锐化滤波器在频域里对应高通滤波器空域中的锐化滤波器在频域里对应高通滤波器 频域/空域的宽窄有什么关系？(d)(c)uuF()xxf()00频域空域频域技术与空域技术的对应关系频域技术与空域技术的对应关系许多空域增强技术可借助频域概念来分析和帮助设计，一方面，许多空域增强技术可转化到频域实现，另一方面，许多频域增强技术可转化到空域实现。
频域里低通滤波器的转移（或传递）函数应该对应空域里平滑滤波器的模板函数的傅里叶变换频域里高通滤波器的转移函数应该对应空域里锐化滤波器的模板函数的傅里叶变换即空域和频域的滤波器组成傅里叶变换对给定一个域内的滤波器，通过傅里叶变换或反变换得到在另一个域内对应的滤波器频域技术与空域技术频域技术与空域技术区别：空域技术中无论使用点操作还是模板操作，每次都只是基于部分像素的性质，而频域技术每次都利用图像中所有像素的数据，具有全局性，有可能更好地体现图像的整体特性，如整体对比度和平均灰度值等在频域中分析图像的频率成分与图像的视觉效果间的对应关系比较直观空域滤波在具体实现上和硬件设计上有一定优点Object:物体Background:背景Scene:景物，场景Contour:轮廓Edge:边界，边缘Boundary:边界Differentiation:微分Gradient vector:梯度向量Gradient magnitude:梯度值图象处理常用词汇图象处理常用词汇Image Processing 图象处理Image smoothing:图象平滑Image averaging:图象平均Expectation:数学期望Mean:均值Variance:方差Median filtering:中值滤波Neighborhood:邻域Blur:模糊Deblurring:去模糊Image sharpening:图象锐化Filter:滤波器Lowpass filter:低通滤波器Highpass filter:高通滤波器Bandpass filter:带通滤波器Bandreject filter、Bandstop filter:带阻滤波器Ideal filter:理想滤波器Butterworth filter:巴特沃思滤波器Exponential filter:指数滤波器Trapezoidal filter:梯形滤波器Transfer function:传递函数Frequency response:频率响应Cut-off frequency:截止频率Spectrum:频谱Amplitude spectrum:幅值谱Phase spectrum:相位谱Power spectrum:功率谱Step function:阶跃函数Gaussian function:高斯函数Random:随机的Additive:加性的Uncorrelated:互不相关的Salt&pepper noise:椒盐噪声Gaussian noise:高斯噪声Speckle noise:斑点噪声Grain noise:颗粒噪声Bartlett window:巴特雷窗Hamming window:汉明窗Hanning window:汉宁窗Blackman window:布赖克曼窗Convolution:卷积Convolution kernel:卷积核习题、思考题习题、思考题1、简述频域滤波原理2、请分别说明什么是低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器，及其这几种滤波器的作用。
3、有1种常用的图象增强技术是将高频滤波和直方图均衡化结合起来以达到使图象边缘增强效果，请说明以上2个操作的先后次序及理由02D(u,v)/D0H(u,v)1130.5 Butterworth Butterworth高通过滤器的截面图高通过滤器的截面图nvuDDvuH20),(11),(。