[标题] 垂直于弦的直径(一)[内容] 教学目标 1.使学生理解圆的轴对称性，掌握垂径定理，并能应用它解决有关的计算和证明问题； 2.激发学生探索和发现问题的欲望，培养学生观察、分析、归纳的能力； 3.向学生渗透“由特殊到一般，再由一般到特殊”的基本思想方法，并培养学生联系发展的辨证唯物主义观点. 教学重点和难点 垂径定理及其应用是重点；垂径定理的证明是难点.教学过程设计 一、从特殊到一般提出问题 1.教师提问：什么叫弦?什么叫弧? 首先根据学生的回答，用电脑或投影演示图7-19，说出图中的弦和弧(优弧、劣弧). 进一步观察，图中每一条弦把圆分成两部分，是这条弦所对的两条弧，并且电脑进一步演示弦经过圆心时，弦变成直径，弧变成半圆的过程.(图7-20) 2.实验：引导学生亲自动手折叠课前准备的圆心纸片，教师电脑演示一圆形沿着任一直线对折，两侧半圆的重合情况.(图7-21) 全体师生共同分析，得出圆的一条基本性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴. 3.从特殊到一般提出猜想. 投影仪显示两条直径相交到互相垂直的特殊情况，如图7-22. 学生观察图形特点，发现两个图形中的直径都是互相平分的，即AO＝BO，CO＝DO，所不同的是图（1)是斜交，图(2)是垂直. 由一名学生回答当两条直径互相垂直时(图2)，直径CD的两侧相邻的两条弧是否相等. 学生观察回答：. 接着再观察，若把直径AB向下平移，变成非直径的弦如图7-23时，直径CD两侧相邻的两条弧是否还相等? 学生通过观察，猜想出上述结论依然成立，即. 继续引导学生观察，在图7-23中，还有相等的关系吗?请一名中等生答出AE＝BE. 最后，教师再用电脑或投影演示图7-22中沿着直径CD折叠，这条特殊的直径两侧的图形重合的情况，进一步观察验证上述猜想，并给这条特殊的直径命名——垂直于弦的直径.(教师板书课题)二、证明猜想，形成垂径定理 1.猜想是否正确，要加以证明.启发学生根据图7-23，写出已知，求证，分析证明思路，然后阅读课本的证明过程. 当大部分学生看懂证明思路后，由学习较好的学生在黑板上写出证明过程. 结合证明过程提问： (1)课本上的证明利用了圆的什么性质? (2)证明AE＝BE还有其它方法吗?(3)证明，根据是什么? 在学生回答的基础上，教师指出：(1)此命题的证明主要利用了圆的轴对称性；证明AE＝BE还可利用等腰△OAB三线合一的性质来证(图7-24)；.是根据等弧的定义. 教师将学生自己归纳的定理内容写在黑板的显著位置上.指出这个定理叫做垂径定理 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. 2.分析定理的条件和结论，引导学生说出定理的几何语言表达形式(结合图7-24)： 3.运用反例和变式图形，揭示定理的本质属性. 看下列图形，能否使用垂径定理?为什么?(图7-25) 学生回答后，教师强调：定理中的两个条件缺一不可.三、应用举例，变式练习 例1 如图7-26，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径. 分析：由题设可作出OE⊥AB，垂足为E，要求⊙O的半径，自然想到要连结OA(或OB). 解：由学生口述解题方法和解题过程，教师板书. 解后提出问题. (1)如图7-26，若OA＝10厘米，OE＝6厘米，求弦AB的长.(2)如图7-26，若圆心到弦的距离用d表示，半径用R表示，弦长用a表示，这三者之间有怎样的关系式? 第(1)个问题结合例1思考，学生较易得出结论. 第(2)个问题有了前面两问做铺垫，启发学生把垂径定理和勾股定理合并考虑，这样就把问题转化为解直角三角形的问题，于是得出： 据此，在a,R,d三个量中，知道任何两个量就可求出第三个量. 变式1 如图7-27若以O为圆心再画一个圆交弦AB于C，D，则AC与BD间可能存在什么关系?(投影显示) 引导学生作出判断后再思考证法. 估计学生会考虑到以下两种证法，此时教师可有意识引导学生进行讨论(图7-28) 最后通过比较择优，突出“过圆心作弦的垂线段”这条辅助线的重要性和应用垂径定理的优越性. 变式2 如图7-29，若将AB向下平移，当移到过圆心时，结论AC＝BD还成立吗? 属特殊情况，学生易证得AC＝BD. 变式3 将图7-29变成图7-30后，则有EA＝ ，EC＝ .试证明之. 分析：只要将小圆隐去，问题转化成变式1，于是有EA＝FB；同理只要将中圆隐去，问题也转化成变式1，有EC＝FD. 变式4 在图7-27中，将大圆隐去，连结OA，OB，得图7-31，设AO＝BO，求证AC＝BD. 变式5 在图7-27中，连结OC，OD，将小圆隐去，得图7-32，设OC＝OD，求证AC＝BD. 引导学生分析思考，得出解决这类题的关键在于利用垂径定理，由圆心O引弦AB的垂线段，最后请两名学生上黑板板演证明过程. 变式6 如图7-33，当弦AB移到与小圆只有一个交点时，AC与BC相等吗? 指出：这个问题我们今后将会学到，有举的同学可在课后预习一下. 四、师生共同小结 问：这节课我们学习了哪些主要内容?学习了哪些基本观点和方法?应用垂径定理要注意哪些问题? 学生回答的基础上教师归纳： 1.投影打出垂径定理的基本图形.(图7-34) 然后指出，本节课主要学习了(1)圆的轴对称性；(2)垂径定理 2.有关弦的问题，常常需要过圆心作弦的垂线段，这是一条非常重要的辅助线.圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形，便将问题转化为解直角三角形的问题. 3.垂径定理的证明，是通过“实验——观察——猜想——证明”实现的，体现了实践的观点、运动变化的观点和先猜想后证明的观点，定理的引入还应用了从特殊到一般的思想方法. 五、布置作业 1.课本p.82～84.习题7.1.A组11，12.B组.2. 2.利用：. 提出问题： (i)把(1)和(3)互换，命题成立吗? (ii)把(2)和(3)互换，命题成立吗? (iii)把(2)和(4)互换，命题成立吗? 提出问题，给学生留有思考的余地，为学习垂径定理的推论作准备 板书设计 垂直于弦的直径(一) 1.圆的轴对称性 例1： 变式练习. 2.垂径定理 解： 证明： 3.垂径定理的表达形式 课堂教学设计说明 这份教案为1课时. 垂径定理是本节课的重点也是难点，其难在定理的证明方法上，因为这一定理的证明是利用圆的轴对称性来证明的.为了更好地达到教学目标，在教学中要尽量借助教具、学具等，增强知识的直观性，使学生形象地理解圆是轴对称图形，再由轴对称发现新结论，从而得 到垂径定理这样可以培养学生的数学直观能力，启迪学生的探索灵感.。