1.3.2 1.3.2 杨辉三角与二项式杨辉三角与二项式系数的性质系数的性质1.了解杨辉三角的简单历史，理解二项式系数的性质，应用性质解决一些简单问题 2.根据本节课的内容和学生的实际水平，通过对二项式系数表（杨辉三角）的观察猜想、归纳出二项式系数的性质.为了实现本节课的教学目标，在教法上采用“观察、猜想、归纳、论述、证明、合作交流”的方法多给学生一点空间、时间,由学生观察、探究与交流.提高归纳猜想能力及表达能力,使学生获得较全面的发展让学生通过对低阶杨辉三角的观察,猜想并归纳出二项式系数的性质本节课从杨辉三角出发，直观地认识二项式性质，构造函数 .),2,1,0(nr rnCrf)(利用函数的思想理解二项式系数的对称性、增减性及最大值，并加以严格的证明，按知识的逻辑关系来编排内容二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b1+Cnkan-kbk+Cnnbn展形式的第k+1项为Tk+1=Cnkan-kbk计算(a+b)n展开式的二项式系数并填入下表：n(a+b)n展开式的二项式系数展开式的二项式系数12345616152015611510105114641133112111对称性(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6议一议1）请看系数有没有明显的规律？2）上下两行有什么关系吗？3）根据这两条规律，大家能写出下面的系数吗?a).表中每行两端都是表中每行两端都是1。
b).除除1外的每一个数都等外的每一个数都等 于它肩上两个数的和于它肩上两个数的和4+6=102+1=3例如：例如：cr ncr-1n+crn+1=当当n n不大时，可用该表来求二项式系数不大时，可用该表来求二项式系数C23C22C12+=3C25C24C14+=10因为：因为：1112113311464115101051161520156121346101101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C总结提炼1:1101CC02C12C22C03C13C23C33C14C04C34C24C44C05C15C25C35C45C55C66C36C46C56C26C16C06C第第1行行第第2行行第第6行行-第第5行行-第第4行行第第3行行-111211331146411510 10511615 20 1561对称对称总结提炼2:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等mnnmnCC 当n为偶数如2、4、6时，中间一项最大当n为奇数如1、3、5时，中间两项最大(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn1615 20 1561111211331146411510 1051知识探究3:每行两端都是1 Cn0=Cnn=1从第二行起，每行除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数的和 Cn+1m=Cnm +Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+九章算术九章算术杨辉杨辉详解九章算法中记载的表杨辉三角杨辉三角 类似上面的表,早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角.在书中，还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和，杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它.这表明我国发现这个表不晚于11世纪.在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角.这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.二项式系数的性质 展开式的二项式展开式的二项式系数依次是：系数依次是：nba)(nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看，从函数角度看，可看可看成是以成是以r为自变量的函数为自变量的函数 ,其定义域是：其定义域是：rnC)(rfn,2,1,0 当当 时，其图象是右时，其图象是右图中的图中的7个孤立点个孤立点6n对称性对称性 与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式这一性质可直接由公式 得到得到mnnmn CC图象的对称轴：图象的对称轴：2nr 二项式系数的性质增减性与最大值增减性与最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1()1()2)(1(C1由于由于：所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定knC1Cknkkn1二项式系数的性质二项式系数的性质由由：2111nkkkn 二项式系数前半部分是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
21nk 可知，当可知，当 时，时，增减性与最大值增减性与最大值 二项式系数的性质 因此因此,当当n为偶数时为偶数时,中间一项的二项式中间一项的二项式2Cnn系数系数 取得最大值；取得最大值；当当n为奇数时为奇数时,中间两项的二项式系数中间两项的二项式系数 12Cnn12Cnn相等，且同时取得最大值相等，且同时取得最大值增减性与最大值增减性与最大值 二项式系数的性质各二项式系数的和 在二项式定理中，令在二项式定理中，令 ，则：，则：1bannnnnn2CCCC210 这就是说，这就是说，的展开式的各二项式系的展开式的各二项式系数的和等于数的和等于：nba)(n2同时由于同时由于 ，上式还可以写成：，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式这是组合总数公式 二项式系数的性质例1.证明在(a+b)n展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和在二项式定理中，令 ，则：1,1 bannnnnnnnCCCCC)1(113210 nnnrrnrnnnnnnbCbaCbaCaCba 110)()()(03120 nnnnCCCC 531420nnnnnnCCCCCC1.(1-x)13 的展开式中系数最小的项是()(A)第6项 (B)第7项（C）第8项 (D)第9项2.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一个灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为（）(A)20 (B)219 （C）220 (D)220 1C CD练习 mCC.mnn同同时时有有最最大大值值，则则与与若若1934或5726701267(1 2)xaa xa xa xa x已知7)21()(:xxf设解0)1(a求：0 x（1）令70(0)(1 2 0)1,fa 即展开式右边即为0(0)1af例例2726701267(1 2)xaa xa xa xa x已知7)21()(:xxf设解721071)121()1(aaaaf7321.)2(aaaa1x（2）令1270170.()(1)(0)1 12aaaaaaaff 例例2726701267(1 2)xaa xa xa xa x已知1357(3)aaaa7)21()(:xxf设解0127(3)(1)faaaa01237(1)faa aaa 13572()(1)(1)a aaaff 例例2642075317217722107)21(.4aaaaaaaaaaaxaxaxaax则已知-2-10941093练习:小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解例3:在(3x-2y)20的展开式中，求系数最大的项;解:设系数绝对值最大的项是第r+1项.则2011912020201211202032323232rrrrrrrrrrrrCCCC 即即 3(r+1)2(20-r)得得 2(21-r)3r所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为227855r812812892032TCx y杨辉三角的其它规律第0行11、杨辉三角的第2k-1行的各数字特点第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1杨辉三角的第2k-1行(k是正整数)的各个数字都是奇数（质数的积）第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 111nC121nC11rnCrnC121nnC第n行11nC12nCrnC1nnC 第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 12、杨辉三角中若第P行除去1外，P整除其余的所有数，则行数P是 质 数质 数(素 数素 数)思考1求证求证:02122222()()()().nnnnnnnCCCCC略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由 得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnC CC CC CCCC CC mn mnnCC 02122222()()()().nnnnnnnCCCCC思考2求证：求证：012123122nnnnnnCCCnCn证明：0122231nnnnnCCCnC01201123112nnnnnnnnnnnCCCnCnCnCCC0122()nnnnnnCCCC22nn01223122nnnnnnCCCnCn倒序相加法 试证明在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即证：021312nnnnnCCCC 证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得011nnnnnnnC aC abC b 0123(11)(1)nnnnnnnnCCCCC 02130nnnnCCCC即即0213nnnnCCCC 启示：在二项式定理中，对a,b赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法赋值法.思考1:02122222()()()().nnnnnnnCCCCC 略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开后比较xn的系数得：再由 得011221102nnnnnnnnnnnnnnnnnC CC CC CCCC CC mn mnnCC 02122222()()()().nnnnnnnCCCCC求证求证:思考2 1.当n10时常用杨辉三角处理二项式系数问题;2.利用杨辉三角和函数图象可得二项式系数的对称性、增减性和最大值;3.常用赋值法解决二项式系数问题.课本第43页 A组 8题B组第2题课后作业课后作业敬请指导敬请指导。