2.1 算法的基本思想(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．下列语句表达中，是算法的有( )①从泰安去看2014年巴西世界杯，可以先乘汽车到济南，再坐飞机抵达北京，再坐飞机抵达巴西；②利用公式S＝ah计算底为1，高为2的三角形的面积；③x>2x＋4；④求M(1,2)与N(－3，－5)两点连线的方程，可先求MN的斜率，再利用点斜式方程求得．A．①②③ B．①③④C．①②④ D．②③④【解析】 算法是解决问题的有效步骤，而③只是一个纯数学问题，无解决问题的步骤．【答案】 C2．已知直角三角形两直角边为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：①计算c＝；②输入直角三角形两直角边长a，b的值；③输出斜边长c的值．其中正确的顺序是( )A．①②③ B．②③①C．①③② D．②①③【解析】 要先有输入，再计算并输出，故顺序为②①③.【答案】 D3．关于一元二次方程x2－5x＋6＝0的求根问题，下列说法正确的是( )A．只能设计一种算法B．可以设计两种算法C．不能设计算法D．不能根据解题过程设计算法【解析】 一元二次方程的求解过程可以用公式法和因式分解法进行，可依据不同的解题过程来设计算法，故可以设计两种算法．【答案】 B4．算法：1．输入n.2．判断n是否是2，若n＝2，则n满足条件；若n＞2，则执行下一步．3．依次从2到n－1检验能不能整除n，若不能整除n，则n满足条件．满足上述条件的n是( )A．素数 B．奇数C．偶数 D．合数【解析】 由算法可知本算法的意义是n除了1与它本身外，无其他约数，故此数是素数．【答案】 A5．在设计一个算法求12和14的最小公倍数中，设计的算法不恰当的一步是( )A．首先将12因式分解：12＝22×3B．其次将14因式分解：14＝2×7C．确定其公共素因数及其指数为22,31,71D．其最小公倍数为S＝2×3×7＝42【解析】 应为S＝4×3×7＝84.【答案】 D二、填空题6．给出下列算法： 1．输入x的值；2．当x>4时，计算y＝x＋2；否则执行下一步；3．计算y＝；4．输出y.当输入x＝10时，输出y＝________.【解析】 因为x＝10>4.所以计算y＝x＋2＝12.【答案】 127．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，求直线AB的斜率的一个算法如下：1．输入x1，y1，x2，y2的值；2．计算Δx＝x2－x1，Δy＝y2－y1；3．若Δx＝0，则输出斜率不存在，否则(Δx≠0)，k＝____①____；4．输出斜率k.则①处应填________．【解析】 根据求斜率的公式知k＝.所以①处应填.【答案】 8．完成下面问题的算法：我国古代的一个著名算法案例：鸡兔49只，100条腿，求鸡兔的数量．算法如下：1．设有鸡x只，兔y只，则有2．将方程组中的第一个方程两边乘以－2加到第二个方程中去，得(4－2)y＝100－49×2.解得y＝1.3．________.【解析】 根据题意，求出y的值后，应该再求x的值，所以应填“将y＝1代入①得x＝48”．【答案】 将y＝1代入①得x＝48三、解答题9．写出过两点M(－2，－1)，N(2,3)的直线与坐标轴所围成区域的面积的一个算法．【解】 算法如下：1．取x1＝－2，y1＝－1，x2＝2，y2＝3；2．计算＝；3．在第2步结果中令x＝0得到y的值m，得直线与y轴交点(0，m)；4．在第2步结果中令y＝0得到x的值n，得直线与x轴交点(n,0)；5．计算S＝|m|·|n|.10．(1)设计一个算法，判断7是否为素数；(2)设计一个算法，判断35是否为素数．【解】 (1)算法步骤如下：1．用2除7.得到余数1.因为余数不为0，所以2不能整除7.2．用3除7，得到余数1.因为余数不为0，所以3不能整除7.3．用4除7，得到余数3.因为余数不为0，所以4不能整除7.4．用5除7，得到余数2.因为余数不为0，所以5不能整除7.5．用6除7，得到余数1.因为余数不为0，所以6不能整除7.因此，7是素数．(2)算法步骤如下：1．用2除35，得到余数1，因为余数不为0，所以2不能整除35.2．用3除35，得到余数2，因为余数不为0，所以3不能整除35.3．用4除35.得到余数3，因为余数不为0，所以4不能整除35.4．用5除35，得到余数0，因为余数为0，所以5能整除35.因此35不是素数．[能力提升]1．计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是( )①S＝1＋＋＋…＋；②S＝1＋2＋3＋…＋100＋…；③S＝1＋2＋3＋…＋n(n≥1，且n∈N)．A．①② B．①③C．②③ D．①②③【解析】 因为在②中没有控制项，无穷多项的和，没有结果，就没有算法．【答案】 B2．一个算法的步骤如下：1．输入x的值；2．计算x的绝对值y；3．计算z＝2y－y；4．输出z的值．如果输入x的值为－3，则输出z的值为( )A．4 B．5C．6 D．8【解析】 分析算法中各变量、各语句的作用，再根据算法的步骤可知：该算法的作用是计算并输出z＝2y－y的函数值．当输入x的值为－3时，算法步骤如下：1．输入x的值为－3；2．计算x的绝对值y＝3；3．计算z＝2y－y＝23－3＝5；4．输出z的值为5.故选B.【答案】 B3．已知一个算法如下：1．输入周长a的值；2．计算边长l＝；3．计算S＝×l2；4．输出S.该算法的功能是________；若等边三角形周长为12，则该三角形的面积为________．【解析】 依题设中的算法可知，该算法的功能是输入一个等边三角形的周长，输出该三角形的面积．当等边三角形的周长为12时，面积为4.【答案】 已知一个等边三角形的周长，求该三角形的面积 44．下面给出了解决问题的算法：1．输入x；2．若x≤1，则y＝2x－1，否则y＝x2＋3；3．输出y.(1)这个算法解决的问题是________；(2)当输入的x值为________时，输入值与输出值相等．【解析】 由算法的功能知，该算法为求分段函数y＝的函数值．当x≤1时，由2x－1＝x得x＝1，符合题意；当x>1时，由x2＋3＝x知x无实根，不符合题意．综上知x＝1.【答案】 (1)y＝ (2)15．设计一个算法，求18 900,22 680和7 560的最大公因数．【解】 算法步骤：1．先将18 900进行素因数分解：18 900＝22×33×52×7；2．再将22 680进行素因数分解：22 680＝23×34×5×7；3．然后将7 560进行素因数分解：7 560＝23×33×5×7；4．确定它们的公共素因数：2,3,5,7；5．确定公共素因数的指数：公共素因数2,3,5,7的指数分别为2,3,1,1；6．最大公因数为22×33×5×7＝3 780.。
