12345678910分解分解建立建立 确定确定计算计算判断判断实际问题实际问题层次结构层次结构多个因素多个因素诸因素的相诸因素的相 对重要性对重要性权向量权向量综合决策综合决策一、层次分析法基本原理1112113141516目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途例例1.1.选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择费用、居住条件等因素选择.1718工作选择工作选择可供选择的单位可供选择的单位P1 P2，Pn 贡贡献献收收入入发发展展声声誉誉工工作作环环境境生生活活环环境境目标层目标层准则层准则层方案层方案层19 将决策问题分为将决策问题分为3 3个或多个层次：个或多个层次：最高层：目标层最高层：目标层表示解决问题的目的，即层次分析表示解决问题的目的，即层次分析要达到的总目标通常只有一个总目标要达到的总目标通常只有一个总目标中间层：准则层、指标层、中间层：准则层、指标层、表示采取某种措施、表示采取某种措施、政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；政策、方案等实现预定总目标所涉及的中间环节；一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等。
一般又分为准则层、指标层、策略层、约束层等最低层：方案层最低层：方案层表示将选用的解决问题的各种措施、表示将选用的解决问题的各种措施、政策、方案等通常有几个方案可选政策、方案等通常有几个方案可选每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示每层有若干元素，层间元素的关系用相连直线表示建立层次结构模型的思维过程的归纳建立层次结构模型的思维过程的归纳 层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相层次分析法所要解决的问题是关于最低层对最高层的相对对权重权重问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、问题，按此相对权重可以对最低层中的各种方案、措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择措施进行排序，从而在不同的方案中作出选择或形成选择方案的原则方案的原则202比较同一层次中每个因素关于上一层次比较同一层次中每个因素关于上一层次的的同一个因素同一个因素的相对重要性的相对重要性21心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9 9个，即个，即每层不要超过每层不要超过9 9个因素成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个成对比较矩阵是表示本层所有因素针对上一层某一个因素的相对重要性的比较。
判断矩阵的元素因素的相对重要性的比较判断矩阵的元素aij用用SaatySaaty的的1919标度方法给出标度方法给出22判断矩阵元素判断矩阵元素aij的标度方法的标度方法标度标度含义含义1 1表示两个因素相比，具有同样重要性表示两个因素相比，具有同样重要性3 3表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素稍微重要5 5表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要7 7表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素强烈重要9 9表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要表示两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要2 2，4 4，6 6，8 8上述两相邻判断的中值上述两相邻判断的中值倒数倒数因素因素i i与与j j比较的判断比较的判断a aijij，则因素，则因素j j与与i i比较的判断比较的判断a ajiji=1/a=1/aijij23 对于对于 n 个元素个元素 A1,An 来说，通过两两比来说，通过两两比较，得到较，得到成对比较（判断）矩阵成对比较（判断）矩阵 A=(aij)n n：其中判断矩阵具有如下性质：其中判断矩阵具有如下性质：（1）aij 0；（2）aij=1/aji；（3）aii=1。
我们称我们称 A 为为根据性质（根据性质（2）和（）和（3），事实上，对于），事实上，对于 n 阶阶判断矩阵仅需对其上（下）三角元素共判断矩阵仅需对其上（下）三角元素共 n(n-1)/2 个给出判断即可个给出判断即可2411/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311AijjiijnnijaaaaA1,0,)(要比较各准则要比较各准则C1,C2,Cn对目标对目标O的重要性的重要性ijjiaCC:A成对比较阵成对比较阵选选择择旅旅游游地地目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)准则层准则层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途C1 C2 C3 C4 C5C1C2C3C4C5稍加分析就发现上述成对比较矩阵有问题 25用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值例如例如 一块石头重量记为一块石头重量记为1，打碎分成，打碎分成n小块，各块的重小块，各块的重量分别记为：量分别记为：w1,w2,wn则可得成对比较矩阵则可得成对比较矩阵11222112111nnnnwwwwwwwwAwwww由右面矩阵可以看出，由右面矩阵可以看出，jkkijiwwwwww 326即即nji,2,1,2321132321137,2,4aaaaaaAijkjikaaa ijkjikaaa 但在例但在例2的成对比较矩阵中，的成对比较矩阵中，在正互反矩阵在正互反矩阵A中，若中，若 ,(A 的元素具有的元素具有传递性传递性)则称则称A为为一致阵一致阵。
定理：定理：n 阶正互反阵阶正互反阵A的最大特征根的最大特征根 max n,当且仅当当且仅当 =n时时A为一致阵为一致阵27 一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和一般地，我们并不要求判断具有这种传递性和一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多一致性，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的但在构造两两判断矩阵时，要求判样性所决定的但在构造两两判断矩阵时，要求判断大体上的一致是应该的出现甲比乙极端重要，断大体上的一致是应该的出现甲比乙极端重要，乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的判断，一乙比丙极端重要，而丙又比甲极端重要的判断，一般是违反常识的一个混乱的经不起推敲的判断矩般是违反常识的一个混乱的经不起推敲的判断矩阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏阵有可能导致决策的失误，而且当判断矩阵过于偏离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为离一致性时，用上述各种方法计算的排序权重作为决策依据，其可靠程度也值得怀疑因而必须对判决策依据，其可靠程度也值得怀疑因而必须对判断矩阵的一致性进行检验断矩阵的一致性进行检验28由于由于(A的特征根的特征根)连续的依赖于连续的依赖于aij ，则，则比比n 大的越大的越多，多，A 的不一致性越严重。
引起的判断误差越大的不一致性越严重引起的判断误差越大因而可以用因而可以用-n 数值的大小来衡量数值的大小来衡量 A 的不一致程度的不一致程度1nnCI定义一致性指标定义一致性指标:CI=0，有完全的一致性，有完全的一致性CI接近于接近于0，有满意的一致性，有满意的一致性CI 越大，不一致越严重越大，不一致越严重291.0RICICR一致性检验：利用一致性指标和一致性比率一致性检验：利用一致性指标和一致性比率0.10.1及随机一致性指标的数值表，对及随机一致性指标的数值表，对A进行检验的过程进行检验的过程一般，当一致性比率一般，当一致性比率 的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，的不一致程度在容许范围之内，有满意的一致性，通通过一致性检验过一致性检验否则要重新构造重新构造成对比较矩阵成对比较矩阵A A，对，对 aij 加以调整加以调整时，认为时，认为A定义一致性比率定义一致性比率 ：RICICR 30判断矩阵一致性检验的步骤如下：判断矩阵一致性检验的步骤如下：(1)计算一致性指标计算一致性指标 C.I.：1C.I.maxnn其中其中 n 为判断矩阵的阶数；为判断矩阵的阶数；31(2)查找平均随机一致性指标查找平均随机一致性指标 R.I.：平均随机一致性指标是多次（平均随机一致性指标是多次（500次以上）重复次以上）重复进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的。
进行随机判断矩阵特征根计算之后取算术平均得到的龚木森、许树柏龚木森、许树柏1986年得出的年得出的115阶判断矩阵重复阶判断矩阵重复计算计算1000次的平均随机一致性指标如下：次的平均随机一致性指标如下：32(3)计算一致性比例计算一致性比例 C.R.：当当 C.R.0.1 时，一般认为判断矩阵的一致性是可时，一般认为判断矩阵的一致性是可以接受的否则应对判断矩阵作适当的修正以接受的否则应对判断矩阵作适当的修正R.I.C.I.C.R.33“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验11/2433217551/41/711/21/31/31/52111/31/5311A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根 max=5.0735.07350.0185 1CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.016 0，max 为为 A 的的模最大模最大的特征的特征根，则有根，则有 (1)max 必为正特征根，而且它所对应的特征向量为必为正特征根，而且它所对应的特征向量为正向量；正向量；(2)A 的任何其它特征根的任何其它特征根 恒有恒有|max；(3)max 为为 A 的单特征根，因而它所对应的特征向的单特征根，因而它所对应的特征向量除差一个常数因子外是唯一的。
量除差一个常数因子外是唯一的36 特征根方法中的最大特征根特征根方法中的最大特征根 max 和特征向量和特征向量w，可用，可用 Matlab 软件直接计算软件直接计算例如：计算矩阵例如：计算矩阵的最大特征值及相应的特征向量的最大特征值及相应的特征向量11141 1/211241 1/21 1/2153 1/21/41/41/51 1/31/311 1/3311/322233137相应的相应的 Matlab 程序如下：程序如下：A=1,1,1,4,1,1/2;1,1,2,4,1,1/2;1,1/2,1,5,3,1/2;1/4,1/4,1/5,1,1/3,1/3;1,1,1/3,3,1,1/3;2,2,2,3,3,1;x,y=eig(A);eigenvalue=diag(y);eigenvalue：特征值；diag：提取对角线元素lamda=eigenvalue(1)y_lamda=x(:,1)y 是特征值，且从大到小排列；是特征值，且从大到小排列；x 是特征向量矩阵，每一列为是特征向量矩阵，每一列为 相应特征值的一个特征向量相应特征值的一个特征向量38输出结果：lamda=6.3516y_lamda=-0.3520 -0.4184 -0.4223 -0.1099 -0.2730 -0.6604 394011/2433217551/41/711/2 1/31/31/52111/31/5311A准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T414Z1A2AmA1B2BnB,21mAAAmA个因素层对总目标对总目标Z Z的排序为的排序为maaa,21jAAnB中因素为个因素对上层层的层次单排序为的层次单排序为),2,1(,21mjbbbnjjj42即即B层第层第 i 个因素对总目标的权值个因素对总目标的权值为：为：（影响加和）（影响加和）nmmnnnmmmmbababaBbababaBbababaB22112222211211221111:1mjijja b B层的层次总排序为：层的层次总排序为：mAAA,21maaa,21nBBB2112111nbbb22212nbbbnmmmbbb21AB111bbamjjj212bbamjjjnmjnjjbba143Tnwww),()2()2(1)2()2()3()3(wWw组合权向量的计算组合权向量的计算第第1层层O第第2层层C1,Cn第第3层层P1,PmnkwwwTkmkk,2,1,),()3()3(1)3(第第2层对第层对第1层的权向量层的权向量第第3层对第层对第2层第层第k个元素的权向量个元素的权向量,)3()3(1)3(nwwW构造矩阵构造矩阵则第则第3层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量)2()3()1()()(wWWWwsss第第s层对第层对第1层的组合权向量层的组合权向量44层次总排序的一致性检验层次总排序的一致性检验设设B层层B1,B2,Bn对上层对上层(A层层)中因素中因素Aj(j=1,2,m)的层次单排序一致性指标为的层次单排序一致性指标为CIj，随机一致性指标为，随机一致性指标为RIj，则层次总排序的一致性比率为：，则层次总排序的一致性比率为：mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211当当CR0.1时，认为层次总排序通过一致性检验。
层次时，认为层次总排序通过一致性检验层次总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一总排序具有满意的一致性，否则需要重新调整那些一致性比率高的判断矩阵的元素取值致性比率高的判断矩阵的元素取值到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后到此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策45记第记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）的权向量为层（目标）的权向量为(2)(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)Tw同样求第同样求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向量的权向量12/15/1212/15211B方案层对方案层对C1(景色景色)的的成对比较阵成对比较阵1383/1138/13/112B方案层对方案层对C2(费用费用)的的成对比较阵成对比较阵CnBn最大特征根最大特征根 1=3.005 2=3.002 5=3.0 权向量权向量 w1(3)w2(3)w5(3)=(0.595，0.277，0.129)=(0.082，0.236，0.682)=(0.166，0.166，0.668)选择旅游地选择旅游地46第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果 w w(2 2)(3)kwk kCI0.2630.2630.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.0820.4750.47530.1420.4290.4290.0550.0553.0090.1750.1930.6330.0900.09030.6680.1660.1660.1100.110组合权向量组合权向量RI=0.58(n=3),CIk 均可通过一致性检验均可通过一致性检验方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.595 0.263+=0.300方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T47层次分析法的基本步骤归纳如下层次分析法的基本步骤归纳如下1建立层次结构模型建立层次结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准准则或指标则或指标方案或对象），上层受下层影响，而层内各因方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。
素基本上相对独立2构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵用成对比较法和用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵成对比较阵483计算单排序权向量并做一致性检验计算单排序权向量并做一致性检验对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；检验若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵若不通过，需要重新构造成对比较矩阵494计算总排序权向量并做组合一致性检验计算总排序权向量并做组合一致性检验1.0CR进行检验若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进进行检验若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率率CR 较大的成对比较矩阵较大的成对比较矩阵mmmmRIaRIaRIaCIaCIaCIaCR22112211利用总排序一致性比率利用总排序一致性比率501.系统性系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维方式进行决策判断、综合的思维方式进行决策，成为继机理分析、统计分，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。
析之后发展起来的系统分析的重要工具2.实用性实用性 层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性51Z1A2A3A4A5A1B2B3B12345,A A A A A123,B B B分别分别表示景色、费用、分别分别表示景色、费用、居住、饮食、旅途居住、饮食、旅途分别表示苏杭、北戴河、桂林分别表示苏杭、北戴河、桂林52（2）构造成对比较矩阵）构造成对比较矩阵1143322175511111472311211351131135A 1125112211152B 2111381313831B 31 1 31 1 31 113 3B 413411131114B 511141114441B 53(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验计算层次单排序的权向量和一致性检验110.0 ,099.0 ,055.0 ,475.0 ,263.0018.0155073.5CI12.1RI1.0016.012.1018.0CR成对比较矩阵成对比较矩阵A的最大特征值的最大特征值max=5.073表明表明A通过了一致性验证。
通过了一致性验证故故则则该特征值对应的归一化特征向量该特征值对应的归一化特征向量54 对成对比较矩阵对成对比较矩阵B1,B2,B3,B4,B5可以求层次可以求层次总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：k1k2k3kkkCIkRI12345595.0082.0429.0633.0166.0277.0236.0429.0193.00.166129.0682.0142.0175.0668.0005.3002.33009.33003.0001.000005.058.058.058.058.058.0计算计算CRk可知可知B1,B2,B3,B4,B5通过一致性检验通过一致性检验55B1对总目标的权值为：对总目标的权值为：0.595 0.2630.082 0.4750.429 0.0550.633 0.0990.166 0.1100.3 0.246,0.456,0.3,0.246,0.456(0.2630.0030.4750.0010.05500.0990.0050.1100)/0.580.0150.1CR （4）计算层次总排序权值和一致性检验）计算层次总排序权值和一致性检验决策层对总目标的权向量为：决策层对总目标的权向量为：同理得，同理得，B2，B3对总目标的权值分别为：对总目标的权值分别为：故，层次总排序通过一致性检验。
故，层次总排序通过一致性检验可作为最后的决策依据可作为最后的决策依据312BBB 即各方案的权重排序为即各方案的权重排序为 0.3,0.246,0.45656某单位拟从某单位拟从3名干部中选拔一名领导，选拔的标准名干部中选拔一名领导，选拔的标准有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力有政策水平、工作作风、业务知识、口才、写作能力和健康状况下面用和健康状况下面用AHP方法对方法对3人综合评估、量化人综合评估、量化排序57目标层目标层选一领导干部选一领导干部 准则层准则层 1P2P3P 方案层方案层 健康状况健康状况业务知识业务知识口才口才写作能力写作能力工作作风工作作风政策水平政策水平建立层次结构模型建立层次结构模型58111411/2112411/211/21531/21/41/41/511/31/3111/3311222311A 写作能力写作能力健康情况健康情况业务知识业务知识写作能力写作能力口才口才政策水平政策水平工作作风工作作风健康情况健康情况业务知识业务知识口才口才政策水平政策水平工作作风工作作风构造成对比较矩阵及层次单排序构造成对比较矩阵及层次单排序59A的最大特征值的最大特征值,35.6max相应的特征向量为：相应的特征向量为：TW)30.0,12.0,05.0,19.0,19.0,16.0()2(07.016635.6CI一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.24(查表查表)一致性比率一致性比率CR=0.07/1.24=0.05650.1通过一致性检验通过一致性检验60假设假设3人关于人关于6个标准的判断矩阵为：个标准的判断矩阵为：(3)111/41/241321/31B 健康情况健康情况(3)211/41/4411/2521B 业务知识业务知识(3)3131/31/311311B 写作能力写作能力(3)411/353171/51/71B 口才口才(3)51171171/71/71B 政策水平政策水平(3)61791/7151/91/51B 工作作风工作作风61由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量。
由此可求得各属性的最大特征值和相应的特征向量max 各属性的最大特征值各属性的最大特征值05.007.007.046.057.024.017.047.065.022.033.063.077.047.028.032.010.014.0)3(W均通过一致性检验均通过一致性检验62从而有从而有(3)(2)0.160.190.140.100.320.280.470.770.190.630.330.220.650.470.170.050.240.570.460.070.070.050.120.30WWW 0.400.340.26W 即在即在3人中应选择人中应选择A担任领导职务担任领导职务层次总排序及一致性检验层次总排序及一致性检验636465。