1.2 函数的极值A组1.若函数f(x)=2x3-3x2+a的极大值为6,则a的值是( ) A.0 B.1C.5 D.6解析:∵f(x)=2x3-3x2+a,∴f'(x)=6x2-6x=6x(x-1).令f'(x)=0,得x=0或x=1,经判断易知极大值为f(0)=a=6.答案:D2.函数y=14x4-13x3的极值点的个数为( )A.0 B.1C.2 D.3解析:y'=x3-x2=x2(x-1),由y'=0得x1=0,x2=1.当x变化时,y',y的变化情况如下表:x(-∞,0)0(0,1)1(1,+∞)y'-0-0+y↘无极值↘极小值↗因此函数只有一个极值点.答案:B3.下列函数中,x=0是其极值点的是( )A.y=-x3 B.y=-cos xC.y=sin x-x D.y=1x解析:A.y'=-3x2≤0恒成立,所以函数在R上是减少的,无极值点.B.y'=sinx,当-π0得m的取值范围为(-∞,-3)∪(6,+∞).答案:B5.已知a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为( )A.2 B.3C.6 D.9解析:∵f(x)=4x3-ax2-2bx+2,∴f'(x)=12x2-2ax-2b.又f(x)在x=1处取得极值,∴f'(1)=12-2a-2b=0,a2+24b>0.∴a+b=6,∴t=ab≤a+b22=9(当且仅当a=b=3时等号成立),∴tmax=9,故选D.答案:D6.函数f(x)=a+lnxx(a∈R)的极大值等于 . 解析:f'(x)=(1-a)-lnxx2,令f'(x)=0,得x=e1-a,当00;当x>e1-a时,f'(x)<0,所以函数的极大值等于f(e1-a)=1e1-a=ea-1.答案:ea-17.若函数f(x)=x3+x2-ax-4在区间(-1,1)上恰有一个极值点,则实数a的取值范围为 . 解析:由题意,f'(x)=3x2+2x-a,则f'(-1)f'(1)<0,即(1-a)(5-a)<0,解得1-1时,f'(x)>0,从而x=-1是函数f(x)的极小值点.答案:D2.已知函数f(x)=x3-px2-qx的图像与x轴切于(1,0)点,则f(x)的极大值、极小值分别为( )A.427,0 B.0,427C.-427,0 D.0,-427解析:f'(x)=3x2-2px-q,由f'(1)=0,f(1)=0,得3-2p-q=0,1-p-q=0,解得p=2,q=-1,∴f(x)=x3-2x2+x.由f'(x)=3x2-4x+1=0,得x=13或x=1,易得当x=13时f(x)取极大值427.当x=1时f(x)取极小值0.答案:A3.已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则a的取值范围是( )A.-12 D.a<-3或a>6解析:f'(x)=3x2+2ax+a+6,∵f(x)有极大值与极小值,∴f'(x)=0有两不等实根,∴Δ=4a2-12(a+6)>0,∴a<-3或a>6.答案:D4.直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图像有相异的三个公共点,则a的取值范围是 . 解析:f'(x)=3x2-3,由3x2-3=0得x=1或x=-1,当x<-1,或x>1时,f'(x)>0,f(x)是增加的;当-11时,y'<0,当-1≤x≤1时,y'≥0,当x<-1时,y'<0,故x=1为y=3x-x3的极大值点,即b=1.∵c=3b-b3=3×1-1=2,∴bc=2.又∵a,b,c,d成等比数列,∴ad=bc=2.答案:26.导学号(2015重庆高考)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=-43处取得极值.(1)确定a的值;(2)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.解(1)对f(x)求导得f'(x)=3ax2+2x,因为f(x)在x=-43处取得极值,所以f'-43=0,即3a·169+2·-43=16a3-83=0,解得a=12.(2)由(1)得g(x)=12x3+x2ex,故g'(x)=32x2+2xex+12x3+x2ex=12x3+52x2+2xex=12x(x+1)(x+4)ex.令g'(x)=0,解得x=0,x=-1或x=-4.当x<-4时,g'(x)<0,故g(x)是减少的;当-40,故g(x)是增加的;当-10时,g'(x)>0,故g(x)是增加的.综上知g(x)在(-∞,-4)和(-1,0)上是减少的,在(-4,-1)和(0,+∞)上是增加的.7.导学号设函数f(x)=a3x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f'(x)-9x=0的两个根分别为1,4.(1)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式;(2)若f(x)在(-∞,+∞)内无极值点,求a的取值范围.解由f(x)=a3x3+bx2+cx+d,得f'(x)=ax2+2bx+c.因为f'(x)-9x=ax2+2bx+c-9x=0的两个根分别为1,4,所以a+2b+c-9=0,16a+8b+c-36=0.(*)(1)当a=3时,由(*)式得2b+c-6=0,8b+c+12=0.解得b=-3,c=12.又因为曲线y=f(x)过原点,所以d=0.故f(x)=x3-3x2+12x.(2)因为a>0,所以“f(x)=a3x3+bx2+cx+d在(-∞,+∞)内无极值点”等价于“f'(x)=ax2+2bx+c≥0在(-∞,+∞)内恒成立”.由(*)式得2b=9-5a,c=4a.又Δ=(2b)2-4ac=9(a-1)(a-9),解a>0,Δ=9(a-1)(a-9)≤0得a∈[1,9],即a的取值范围是[1,9].。