第二章第1讲1第二章第二章 离散时间信号与系统的离散时间信号与系统的变换域分析变换域分析序列的序列的 Z Z变换变换序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换离散时间系统变换域分析离散时间系统变换域分析希尔伯特（希尔伯特（HilbertHilbert）变换）变换版权所有 违者必究第二章第1讲21 序列的序列的Z Z变换变换lZ Z变换的定义变换的定义抽样信号nnTnTtnTxnTttxttxtxnTxnx)()()()()()()()()(nSTdenTt)(nnsTenTxsX)()(nnznxnxzX)()()(ZSTeZ 0nnznxnxzX)()()(Z)()(sXzXSTez版权所有 违者必究第二章第1讲3解：Reza00)()()(nnnnnzaznuazX1za|az 或|)(11)(azazzzXza1|1)(zzznuZ Z变换的定义变换的定义Imzj版权所有 违者必究第二章第1讲4Z Z变换的定义变换的定义解：1az|az 或ImzjReza01)()1()(nnnnnzaznuazX01)(1)(nnnnazaz|)(111)(azazzzXaz版权所有 违者必究第二章第1讲5Z Z变换的定义变换的定义解：03113131)()()()(nnnnnnnnnzzzzX031131)()(nnznnz31zz3zz3|31 z)(3(3)(313831zzzzzzzzXRez310Imzj3版权所有 违者必究第二章第1讲6Z Z变换的收敛域变换的收敛域lZ Z变换的收敛域变换的收敛域)(nx对于任意给定的序列 ，使其Z变换收敛的所有z值的集合称为 的收敛域。
)(zX其收敛的充要条件是满足绝对可和条件，即：nnznx)(根据级数收敛的阿贝尔定理发散不定收敛111limnnna对于不同的序列 ，可求得相应的收敛域)(nx版权所有 违者必究第二章第1讲7Z Z变换的收敛域变换的收敛域l收敛域内不包含任何极点，在极点处，X(z)为无穷大，Z变换不收敛l有限长序列的收敛域为整个Z平面,可能除开z=0,z=w 右边有限长序列：X(z)=x(1)z-1+x(2)z2+|z|0w 左边有限长序列：X(z)=x(-1)z1+x(-2)z2+|z|也位于收敛域内00)()()(njnnnenxznxzX版权所有 违者必究第二章第1讲800)()()(njnnnenxznxzXImzjRez0ImzjRez0Rez0ImzjZ Z变换的收敛域变换的收敛域版权所有 违者必究第二章第1讲9l逆逆Z Z变换变换逆逆Z Z变换变换从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为逆z变换其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数l逆逆Z Z变换的三种基本方法变换的三种基本方法 围线积分法围线积分法 部分分式展开法部分分式展开法 长除法（幂级数展开法）长除法（幂级数展开法）l围线积分法围线积分法dzzzXjnxcn1)(21)(式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。
版权所有 违者必究第二章第1讲10逆逆Z Z变换变换是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点 kakb,)(Re)(1kknazzXsnx,)(Re)(1kknbzzXsnx如果 还满足在 有二阶或二阶以上的零点，则根据留数辅助定理，有:z1)(nzzX)(nx若被积函数 是有理分式，一般采用留数定理来计算围线积分根据留数定理，等于围线C内全部极点留数之和，即:1)(nzzX版权所有 违者必究第二章第1讲11逆逆Z Z变换变换在具体利用留数定理进行围线积分计算时，应根据被积函数的特点及n值灵活选用公式来计算，可使问题得以简化例如，在n小于某一值时，被积函数在围线内部z=0处可能具有高阶极点，这时采用围线外部的极点进行计算将方便得多如果 为单阶极点，按留数定理:kzznkkkknzzXzzzzzXs11)()(,)(Rekz如果 为 阶极点，则其留数为:kzznmkmmknzzXzzdzdmzzzXs)()()!1(1,)(Re1111kzm版权所有 违者必究第二章第1讲12 求原序列x(n)已知某序列的Z变换为:azazzX11)1()(解:dzzazjdzzazjnxcncn121)1(21)(111并且当 时，z=0处不是极点，被积函数仅有单阶极点a，在收敛域内取围线C包含极点a，可求得:0naz 由于收敛域为 ，可知该序列必定是因果序列。
)()(0,1Re)(nuanxnaazazsnxnnn或例例1:1:逆逆Z Z变换变换版权所有 违者必究第二章第1讲13逆逆Z Z变换变换例例2 2：)()(1()(11azazazazazzzzXnnn又|,)1)(1()(111azaazazzX求原序列x(n)已知序列的Z变换为：解：Rez0Imzja1/a收敛域|z|=|a|围线C|1aza 所给收敛域 为环域 原序列 必为双边序列)(nx|z|=|1/a|在收敛域内作包围原定的围线C版权所有 违者必究第二章第1讲14逆逆Z Z变换变换当 时，只有一个单阶极点z=a,其围线积分为：0n01,)(1Re)(21naaazazazasnxnn当n0时，被积函数在围线内除了在z=a处有一个单阶极点，在z=0处为高阶极点，因为这时在围线外X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1，因此有:01,)(1Re)(211naaazazazasnxnn2|1)(aanxn版权所有 违者必究第二章第1讲15l部分分式展开法部分分式展开法逆逆Z Z变换变换用部分分式展开法求反Z变换，)()()(zAzBzX通常为有理分式1、单极点NiiiMiiizazbzAzBzX101)()()(若序列为因果序列，且NM，当X(z)的N个极点都是单极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：max1)(110kNkkkzzzzAAzX则其逆Z变换为：)()()(10nuzAnAnxnkkNk版权所有 违者必究第二章第1讲16逆逆Z Z变换变换说明：说明：1 1、X X(z)(z)较简单时可按算术展开求各系数较简单时可按算术展开求各系数A Ak k(k=0,1,N)(k=0,1,N)。
2 2、X X(z)(z)较复杂时可按留数定理求各系数较复杂时可按留数定理求各系数A Ak k(k=0,1,N)(k=0,1,N)，此时为了方便通常利用，此时为了方便通常利用X X(z z)/z)/z的的形式求取：形式求取：,)(Re)()1(0,)(Re)0(10kzzkkNNzzzXszXzzAzzXsabXAk版权所有 违者必究第二章第1讲17逆逆Z Z变换变换2、高阶极点当上述有理分式中的MN且具有高阶极点时，若设除单极点外，在zi处还有一个s阶的极点，则其展开式修改为：sikskkksNkkkNMkzzCzzAzBzX)1(1)(11110式中Bk(k=0,1,N)为X(z)整式部分的系数，可用长除法求得Ak仍按上面的方法计算，Ck的计算公式为：skzzXzzdzdksCizzsiksksk,1)()()!(1版权所有 违者必究第二章第1讲18逆逆Z Z变换变换例例：已知 ，求X(z)的原序列2)5.0)(2()(2zzzzzX解：3/1,3/421AA由求系数Ak的公式求得)()5.0(31)()2(34)(nununxnn因为X(z)的收敛域为 ，为因果序列，从而求得 2z5.02)5.0)(2()(21zAzAzzzzzX将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式版权所有 违者必究第二章第1讲19逆逆Z Z变换变换l长除法（幂级数展开法）长除法（幂级数展开法）210)2()1()0()()(zxzxxznxzXnn在具体进行长除法时，要根据收敛域先确定序列是左边序列还是右边序列。
对于左边序列左边序列Z变换为z的正幂正幂级数级数，分子分母多项式应按升幂排列升幂排列展开；对于右边右边序列，序列，Z变换为z的负幂级数，分子分母应按降幂排列降幂排列进行展开l典型例题典型例题版权所有 违者必究第二章第1讲20)()(nuanxn 用长除法求 azazzX11)1()(的逆Z变换由收敛域知，这是一右边序列用长除法将其展开成z的负幂级数时应将分母多项式按降幂排列1 2222111 zazaazazaz 2211111zaazaz例例:解：解：nnnzazaazzX02211)(即：逆逆Z Z变换变换版权所有 违者必究第二章第1讲21逆逆Z Z变换变换例例:用长除法求|,)1)(1()(111azaazazzX的逆Z变换收敛域 为环域，x(n)必为双边序列1aza1111)1)(1(1)(21azazaaazazzX解：解：对右边序列 2323121212 zazazazazaa 33221zazaazaaz右边序列为:01)(2naanxn对左边序列 az-1 3333222222zazazazazaazaz 3322111zazaazaz左边序列为:01)(2naanxn综上可得:21)(aanxn版权所有 违者必究第二章第1讲22逆逆Z Z变换变换例例:求 的逆Z变换。
)1ln()(1azazzXaz 由收敛域 知原序列应为因果序列)1ln(x的幂级数展开式为 111|)1()1ln(nnnxnxx|)1()(11nnnnaznzazX故有 ，即：1 azx1x用 代入上式，因az 001)1()(1nnnanxnn解：解：版权所有 违者必究第二章第1讲23序序 列列Z Z 变变 换换收收 敛敛 域域1 1全部全部z z)(n)(nu1111zzz1z)(nuan111azazzaz)(nRN1111)1(1zzzzzNNN0z)(nnu2112)1()1(zzzz1z)()sin(0nun20101020cos21sin1cos2sinzzzzzz1z)()cos(0nun201010202cos21cos11cos2coszzzzzzz1z)()sin(0nuneanaaaezezez220101cos21sinaez)()cos(0nuneanaaaezezez220101cos21cos1aez)()sin(0nun20101cos21)sin(sinzzz1z版权所有 违者必究第二章第1讲24l线性性线性性Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()()()(设RzRzbYzaXnbynaxZ)()()()(则,min,maxyxyxRRRRRR其中l序列的移位序列的移位xxRzRzXnxZ)()(若xxnRzRzXznnxZ)()(00则l序列乘指数序列（尺度性）序列乘指数序列（尺度性）xxRzRzXnxZ)()(若xxnRazRazaXnxaZ)()(1则版权所有 违者必究第二章第1讲25Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理l序列的反褶序列的反褶xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRzXnxZ/1/1)()(1则l序列的共轭序列的共轭xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRzXnxZ)()(则lZ Z域微分性域微分性xxRzRzXnxZ)()(若xxRzRdzzdXznnxZ)()(则版权所有 违者必究第二章第1讲26Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理l初值定理初值定理若x(n)为因果序列，它的初值为：)(lim)0(zXxz若x(n)为因果序列，且其Z变换的极点除在z=1处可以有一个一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则有：)()1(lim)(lim1zXznxznl终值定理终值定理l卷积定理卷积定理hhxxRzRzHnhZRzRzXnxZ)()()()(设RzRzHzXnhnxZ)()()()(则,min,maxhxhxRRRRRR其中版权所有 违者必究第二章第1讲27Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理l序列相乘（复卷积定理）序列相乘（复卷积定理）hhxxRzRzHnhZRzRzXnxZ)()()()(设hxxhcRRzRRdvvvHvzXjnhnxZ1)()(21)()(则lParsevalParseval定理定理yyxxRzRzYnyZRzRzXnxZ)()()()(若yxxyRRRR1且cndvvvYvXjnynx1*)1()(21)()(则版权所有 违者必究第二章第1讲28Z Z变换的性质与定理变换的性质与定理l重抽样序列的重抽样序列的Z Z变换变换对序列抽取运算时，将序列x(n)以M：1抽取后形成的新序列y(n)。
两者之间的关系为：,2,1,0)()(nnMxny)()(zXnxZ若10)/2(/1)(1)(MllMjMezXMzY则版权所有 违者必究第二章第1讲29求序列 的z变换，并确定其收敛域)()cos()(0nunrnxn解：解：rrezzrenuerZrrezzrenuerZazaznuaZjjnjnjjnjnn00000011111)(11)(11)(221010110)cos2(1)cos(1111121)()cos(00zrzrzrzrezrenunrZjjnrz l例例 1线性性线性性版权所有 违者必究第二章第1讲30 xRznxZzXnunxnx),()(),()()(设求 的z变换和收敛域nmmxny0)()(解：解：)1()()()()(100nynymxmxnxnmnm)1()()(nynyZnxZ)()()(1zYzzYzX 1,max)(11)(1xRzzXzzY即l例例 2序列的移序列的移位性位性版权所有 违者必究第二章第1讲31l例例3).(|)1ln()(1nxZazazzX变换的逆求解：解：121)(azazdzzdX111)()(azazdzzdXznnxZaznunanxnn)1()1()(1)1()()(111111111nuaaazzaZazazZnX(z)对z进行微分：Z域微分性逆Z变换版权所有 违者必究第二章第1讲32l例例4用卷积定理求)()(nunx设)()(nuanhn1a)()()(nhnxny1|11)()(1zznuZzX|11)()(1azaznuaZzHn1|1111)()()(11zazzzHzXzYdzazzzjzHzXZnync)(1(21)()()(11)(11111,)(1(Re 1,)(1(Re1111nuaaaaaaazzzsazzzsnnnn解：解：卷积定理逆Z变换版权所有 违者必究第二章第1讲33l例例5),()(nuanxn已知)()(nubnhn)()()(nhnxny1|1|ba、其中用复卷积定理求)()(nyZzY解：解：|11)()(1bzbznubZzHn|11)()(1azaznuaZzXndvbvzavazjdvbvvvzajnyZzYcc)(/(/211)(1121)()(111复卷积定复卷积定理理版权所有 违者必究第二章第1讲34在v平面中，被积函数有2个极点，即v1=z/a 和v2=b。
因x(n)和h(n)都是因果序列，其收敛域为：azvb可见，只有一个极点v2=b在围线C内由留数定理求得：|,max|11,)(/(/Re)(1bazabzbbvzavazszY版权所有 违者必究第二章第1讲35Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系lS S平面到平面到Z Z平面的映射平面的映射Z变换与拉氏变换的关系:)(|)(sXzXaezsT这一关系实际上是通过 将S平面的函数映射到了Z平面sTez 若将Z平面用极坐标表示 ，S平面用直角坐标表示 ，代入 ，得：jrez sTez jsTerT上述关系表明：z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应，z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应映射关系：映射关系：)(10)(10)(10平面单位圆外平面单位圆内平面上的单位圆zrzrzr版权所有 违者必究第二章第1讲36Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系Tzs/102,00(S平面实轴映射到Z平面的正实轴)(S平面原点映射到z=1点)(当由-/T 增加到+/T 时,对应于 由-增加到+)由于 是 的周期函数，S平面每增加一个宽为2/T 的水平条带时，对应于Z平面从-到+旋转了一周。
这样就有：jrez 1)(z即S平面的整个虚轴都映射到了Z平面 =1 的单位圆上,因此由S平面到Z平面的映射是多值映射,这些关系示于下图示：z版权所有 违者必究第二章第1讲37l抽样序列的抽样序列的Z变换表示变换表示Z Z变换与拉氏变换的关系变换与拉氏变换的关系抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱由于傅立叶变换是拉氏变换在虚轴上 的特例，按照前面的SZ平面的映射关系，它映射到Z平面 =1 的单位圆上，故有 jSz)()()(jXeXzXaTjezTj12()()()jTjanX eX eXjjnTT 或定义：定义：Z平面的角变量 ，称为数字频率，单位为弧度sffT2版权所有 违者必究第二章第1讲38l序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义2 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换是从频域对离散时间信号和系统进行分析它是用 作为基函数对序列进行正交展开，这与连续时间信号中的傅立叶变换用 对模拟信号进行展开相似njetje版权所有 违者必究第二章第1讲392 序列的傅立叶变换序列的傅立叶变换 1 1序列傅立叶正变换序列傅立叶正变换 nnjjenxnxFeX)()()(x(n)的傅立叶变换定义如下:是 的连续函数。
但由于 其中M为整数，故有 nMjnjee)2()()()()2()2(MjnMjnjeXenxeX可见 还是 的周期函数，周期为2 )(jeX版权所有 违者必究第二章第1讲40序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义2 2序列傅立叶变换与序列傅立叶变换与Z Z变换的关系变换的关系 比较后可见：序列的傅立叶变换是序列的傅立叶变换是Z Z变换在变换在 时时的的Z Z变换，即变换，即Z Z变换在的单位圆上变换在的单位圆上 的特殊情况的特殊情况jez 1zjezjzXeX)()(序列的傅立叶变换式：nnjjenxnxFeX)()()(nnznxzX)()(序列的Z变换定义式：版权所有 违者必究第二章第1讲41序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义由于单位圆上的由于单位圆上的Z Z变换就等于抽样序列的傅立叶变变换就等于抽样序列的傅立叶变换，也就是序列的频谱，因此，换，也就是序列的频谱，因此，序列的傅立叶变序列的傅立叶变换也就是序列的频谱换也就是序列的频谱由于序列的傅立叶变换直由于序列的傅立叶变换直接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器接给出了序列的频谱，在频谱分析与数字滤波器设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具设计中经常用到，因此它是信号处理的重要工具之一。
之一版权所有 违者必究第二章第1讲42序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义一般为 的复变函数，可表示为:)(jeX)(arg|)(|)()()(jweXijjIjRjeeXejXeXeX其中，分别为 的实部和虚部；通常称 为序列的幅频特性或幅度谱，而称 为相位谱，并且有：)(jeX、)(jReX)(jIeX)(jeX)(arg)(jeX2/122)()(|)(|jIjRjeXeXeX)(/)()(arg)(jRiIjeXeXarctgeX显然 都是 的连续函数和周期为 2 的周期函数)(jeX)(版权所有 违者必究第二章第1讲43序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义3 3序列的傅立叶反变换序列的傅立叶反变换)()(1jeXFnx通常傅立叶反变换记为deeXdzzzXjnxjnjceznj)(21|)(21)(14 4序列的傅立叶变换的收敛条件序列的傅立叶变换的收敛条件)()(nxenxnnjn即序列绝对可和该条件是序列傅立叶变换存在的充分但非充分但非必要必要条件有些序列虽然不满足以上条件，但满足平方可和，其傅立叶变换依然存在某些既不满足绝对可和的条件也不满足平方可和条件的序列，若引入频域的冲击函数 ，其傅立叶变换也存在。
如 、某些周期序列，见后例njenu、)()(版权所有 违者必究第二章第1讲44序列傅立叶变换的定义序列傅立叶变换的定义5 5常用序列的傅立叶变换常用序列的傅立叶变换 序序 列列傅傅 立立 叶叶 变变 换换)(n11)(anuan1)1(jae)(nRN)2/sin(/)2/sin(2/)1(NeNj1kk)2(2)(nukjke)2()1(1nje0kk)2(20)cos(0nkkk)2()2(00版权所有 违者必究第二章第1讲45已知 ，求它的傅立叶变换)()(5nRnx)2/sin(2/5sin)()(11)()(22/2/2/52/52/2/5540jjjjjjjjjnjnjeeeeeeeeeenxFeX解：解：其幅度谱和相位谱分别为：,|)2/sin(2/5sin|)(jeX)2/sin(2/5sinarg2)(l例例1版权所有 违者必究第二章第1讲46l例例2|0|01)(ccjeH已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换解：解：deeHFnhnjccj21)()(1nnnjnejnecnjnjcc,sin)(21cccjncdeHnn22|)(|21|sin|显然序列 不是绝对可和的，而是平方可和的，但其依然存在傅立叶变换。
)(nhParseval定理版权所有 违者必究第二章第1讲47l例例3njenx0)(证明复指数序列 的傅立叶变换为：kjkeX)2(2)(0证：证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函数 的性质，有：)(knjdeknx)2(221)(0njnjede00)(1000nje，则若kkF)2(21 即mnmjmeanx)(若序列为复指数和的形式：推推论论 kmmmjkaeX）则2(2)(版权所有 违者必究第二章第1讲48l例例4求余弦序列 的傅立叶变换 nnx0cos)()2()2(00kkk21cos)()(000njnjjeeFnFnxFeX解：解：可见：序列序列 的傅立叶变换表现为在的傅立叶变换表现为在 处的处的冲击，强度为冲击，强度为 ，并以，并以2 2 为周期进行周期延拓为周期进行周期延拓n0cos0利用上例结论版权所有 违者必究第二章第1讲49序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质下面所列出的性质都可直接由Z变换令 得到，可自行证明因序列的傅立叶变换是Z变换在 的单位圆上的特例，故所有Z变换的性质对傅立叶变换都成立jez 1z版权所有 违者必究第二章第1讲50序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质l线性性线性性),()(jeXnxF若)()(jeYnyF)()()()(jjebYeaXnbynaxF则l序列的移位序列的移位)()(jeXnxF若)()(00jnjeXennxF则l频域的相移频域的相移)()(jeXnxF若)()(00jnjeXnxeF则l序列的反褶序列的反褶),()(jeXnxF若)()(jeXnxF则版权所有 违者必究第二章第1讲51序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质l序列的共轭序列的共轭)()(jeXnxF若)(*)(*jeXnxF则l频域微分性频域微分性)()(jeXnxF若dedXjnnxFj)()(则对时域信号进行线性加权对应于频域的微分l时域卷积定理时域卷积定理),()(jeXnxF若)()(jeHnhF)()()(jjjeHeXeY则)()()(nhnxny设版权所有 违者必究第二章第1讲52序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质l频域卷积定理（序列相乘）频域卷积定理（序列相乘）),()(jeXnxF若)()(jeHnhF)()()(nhnxny设)()(21)(jjjeHeXeY则deHeXjj)(21)(l序列相关序列相关)()()(jjjxyeYeXeR则),()(jeXnxF若)()(jeHnhFnxymnynxmr)()()(设2)()()()(jjjjxxeXeXeXeR推论序列的序列的自相关自相关函数的函数的傅立叶傅立叶变换就变换就是序列是序列的功率的功率谱谱-维维纳纳-辛欠辛欠定理定理版权所有 违者必究第二章第1讲53序列傅立叶变换的性质序列傅立叶变换的性质lParsevalParseval定理定理)()(jeXnxF若deXnxjn22)(21)(则该定理表明：信号在时域中的能量等于频域中的能量l重抽样序列的傅立叶变换重抽样序列的傅立叶变换)()(jeXnxF若10)2()(1)(MlMlMjjeXMeY则 2,1,0)()(nnMxny设10)2()(1)(MlMljMjeXMeY或该性质表明：该性质表明：重抽样序列的频谱是将原来序列的频谱展宽了M倍，并将展宽后的频谱以为周期扩展了M个，幅度则下降到原来的1/M。
M/2版权所有 违者必究第二章第1讲54序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性l序列的共轭对称性质序列的共轭对称性质若序列 满足)()(nxnxee)(nxe)(nxe则称 为共轭对称序列共轭对称序列)()(nxnxoo)(nxo类似地，若序列 满足)(nxo则称 为共轭反对称序列共轭反对称序列 任何序列 均可表示成上述两种序列之和，)()()(nxnxnxoe即)(nx)()(21)()()(21)(nxnxnxnxnxnxoe其中版权所有 违者必究第二章第1讲55序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性)(nxe若将共轭对称序列 用它的实部和虚部来表示：)()()(njxnxnxeiere)()()(njxnxnxeiere则)()()()(nxnxnxnxeieierer此式表明：的实部是n的偶函数，而虚部是n的奇函数；的实部是n的奇函数，而虚部是n的偶函数)(nxe)(nxol序列傅立叶变换的共轭对称性质序列傅立叶变换的共轭对称性质)()()(1nxnxnxoe、若将序列分成)()()(nxFnxFeXoej对其实施傅立叶变换)(jeX将 分成实部与虚部)()()(jIjRjejXeXeX共轭对称部分共轭反对称部分版权所有 违者必究第二章第1讲56序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性)()(Im)()(21)(*jIjjjoejXeXjeXeXnxF)()(Re)()(21)(jRjjjeeXeXeXeXnxF则上式表明：上式表明：的傅立叶变换对应于 的实部；的傅立叶变换对应于 的虚部(加上j 在内)。
)(nxe)(nxo)(jeX)(jeX)()()(2njxnxnxir、若将序列分成)()()(nxjFnxFeXirj对其实施傅立叶变换nnjrrjeenxnxFeX)()()(定义nnjiijoenxjnxjFeX)()()()()()(jojejeXeXeX则版权所有 违者必究第二章第1讲57序列傅立叶变换的对称性序列傅立叶变换的对称性)()(,)()(jojojejeeXeXeXeX结论：结论：具有共轭对称性质，具有共轭反对称性质)(jeeX)(joeX若序列为纯实数序列，即若)()(nxnxr)()(jjeXeX则所以实序列x(n)的傅立叶变换的实部是的偶函数，而虚部是的奇函数；幅度是的偶函数，而相位是的奇函数)(Im)(ImjjeXeX)(Re)(RejjeXeX推论推论若序列为纯虚数序列，即若)()(njxnxi)()(jjeXeX则所以纯虚数序列的傅立叶变换是的奇函数。