站 在中间，则不同站法种数为2021 北京丰台高二（下）期中联考数学（A 卷）考试时间：90 分钟第 I 卷（选择题共 40 分）一、选择题（每小题 4 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.）1.已知函数 f ( x ) =sin x，那么函数 f ( x)在x =p3处的导数为(A)32(B)22(C)12(D)12.某质点沿直线运动，位移 y （单位： m ）与时间 t （单位： s ）之间的关系为y (t ) = 3t2+ 4，则质点在 t = 2 时的瞬时速度为(A)8m / s(B) 12m / s(C) 18m / s(D)24m / s3.甲、乙、丙、丁 4 名同学和 1 名老师站成一排合影留念，要求老师必须(A)12(B)24(C)48(D)120(3 x -2)4.在(A) 255的展开式中，各项系数的和是5(B) 5(C) 1(D) -15.将5封不同的信分别投入到 4 个信箱中，则不同的投送方式的种数为(A) 45(B) 5 4(C)120(D) 246.已知函数 f ( x )的图象如图所示，那么下列各式正确的是(A)(B)(C)fff¢(1) < f¢(1) > f¢(3) < f¢(2) < f¢(2) > f¢(2) < f¢(3) <0¢(3) >0¢(1) <0(D)f ¢(3) > f ¢(2) > f ¢(1) >07.若从 0，2，4 中任取 2 个数字，从 1，3 中任取 1 个数字，则可以组成没有重复数字的三位数的个数为(A)18(B)24(C)28(D)328.将一个边长为 6的容积最大为（单位： m ）的正方形铁片的四角截去四个边长相等的小正方形，做成一个无盖方盒，则方盒(A)1m3(B)3m3(C)12m3(D)16m31 / 8a 9.已知函数f ( x ) =e xx +1，则该函数的大致图象是y321y321y321y321–3 –2 –1O–11 2 3x–3 –2 –1O–11 2 3x–3 –2 –1O–11 2 3x–3 –2 –1O–11 2 3x–2–3–2–3–2–3–2–3(A) (B) (C) (D)10.已知可导函数f ( x)的定义域为 (0, +¥)，且 xf¢(x) > f ( x )，若 a > b > 0，则(A)(C)bf (a) = af (b)bf (a) > af (b)(B)(D)bf (a ) < af (b)bf ( a) ， af (b)的大小关系不能确定第Ⅱ卷（非选择题共 60 分）二、填空题（每小题 4 分，共 24 分.）11.在平面直角坐标系中，点 M 的横坐标在集合 共有_____个.A ={2,4}内取值，纵坐标在集合B ={1,3}内取值，则不同的点 M112.在 ( x + )x6的展开式中，常数项为_____.13.在(1 +2 x)n的展开式中， x2的系数为 40，则 n =_____．14.现要从抗击疫情的 5 名志愿者中选 3 名志愿者，分别承担“防疫宣传讲解”、“站岗执勤”和“发放口罩”三项工作，其中志愿者甲不能承担“防疫宣传讲解”工作，则不同的选法有_____种.（结果用数字作答）15.已知直线y =kx -2是曲线 y =lnx的切线，则 k的值为_____．16.已知函数 f ( x) =ax ln x +1x.（1）若 a = 1 ，则函数f ( x)的单调递减区间为_____；（2）若f ( x) ³ax在区间(0,e)上恒成立，则实数 的取值范围是_____．2 / 8三、解答题（共 36 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.） 17．（本小题 9 分）已知函数f ( x ) =x3-3 x +1.（Ⅰ）求曲线y = f ( x)在点 (0, f (0))处的切线方程；（Ⅱ）求函数f ( x)的极值.18. （本小题 6 分）某学校为普及 2022 年北京冬奥会知识，现从 4 名男同学和 2 名女同学中选出 3 名同学担任宣讲员.（Ⅰ）共有多少种不同选法？（结果用数字作答）（Ⅱ）如果至少有 1 名女同学参加，且这 3 名同学分别在周五、周六和周日进行宣讲，那么共有多少种不同选 法？（结果用数字作答）19．（本小题 9 分）已知函数f ( x ) =ae x +bx +1在 x =0处有极值 2.（Ⅰ）求 a , b 的值；（Ⅱ）证明： f ( x ) >ex -x.3 / 820．（本小题 12 分）a已知函数 f ( x ) =ln x + ( a ÎR)x．（Ⅰ）讨论函数 f ( x)的单调性；（Ⅱ）求出函数 f ( x )零点的个数．4 / 8æ 0,1( ]2021 北京丰台高二（下）期中联考数学（A 卷）参考答案第Ⅰ卷（选择题，每小题 4 分，共 40 分.）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案CB BCA ACD BC第Ⅱ卷（非选择题 共 60二．填空题（每题 4 分，共 24 分，其中第 16 题每空 2 分.） 11. 4 12. 20 13. 5 14. 48分）15.e16（1） (0,1)（2） ç-¥,è2eùúû注：16 题第一空 (0,1)， 均正确.三．解答题（共 36 分.）17.解：（Ⅰ）x ÎR ， f ¢(x) =3 x 2 -3，...............1分则f¢(0) =-3，且 f (0) = 1，...............3分所以， y -1 =-3( x -0)，即 3 x +y -1 =0 . ...............4 分（Ⅱ）令f¢(x) =0，解得x =-1，或 x = 1..........5分当 x 变化时， f¢(x) ， f ( x )的变化情况如下表所示：xf¢(x)(-¥,-1) +-10( -1,1)-10(1, +¥)+f ( x)单调递增3单调递减-1单调递增............7分因此，当x =-1时， f ( x )有极大值，并且极大值为f ( -1) =3；当x = 1时， f ( x)有极小值，并且极小值为f (1) =-1................9 分5 / 8î î 18.解：（Ⅰ）所有不同选法种数，就是从 6 名同学中抽出 3 名的组合数， 所以选法种数为C3 =66 ´5 ´4 3 ´2 ´1=20； ................2 分（Ⅱ）从 6 名同学抽出的 3 名中至少有 1 名女同学，包括 1 名女同学 2名男同学和 2 名女同学 1 名男同学两种情况，所以选法种数为C1 ´C 2 +C 2 ´C1 2 4 2 4=12 +4 =16, ................4 分又这 3 名同学分别在周五、周六、周日进行宣讲， 所以选法种数为(C12´C24+C2 ´C12 4) ´A33=(12 +4) ´6 =16 ´6 =96.....6 分19.解：（Ⅰ）x ÎR，f¢(x) =a ex+b，由已知可得， ........1分ìíîf ¢(0) =0 f (0) =2ì，即 íîa + b = 0 a + 1 = 2，........2分ìa =1所以 íb =-1，........3分ìa =1经检验符合题意，所以 íb =-1........4分（Ⅱ）原不等式转化为 ex-ex +1 >0 ，设s ( x) =e x -ex +1 ，那么 s¢(x) =e x -e，........5分令 s¢(x) =0 ， 解得 x =1 .当 x变化时， s¢(x)， s ( x )的变化情况如下表所示：x( -¥,1)s¢(x)-s ( x )单调递减101(1, +¥)+单调递增................6分所以，当 x =1 时， s ( x)取得最小值.所以 s ( x ) ³s (1) =1 >0即 e x -ex +1 >0 ，，................8分6 / 8x x > 0， 所以f ( x) >ex -x.................9分20.解：（Ⅰ）函数f ( x)的定义域为{ }f¢(x) =1 a x -a - =x x 2 x 2...........2分①当 a ≤0 时， f ¢(x) >0 ，所以 f ( x) 在 (0,+ ∞)上单调递增； ...3分②当a > 0时， f¢(x) =0，解得 x = a.当 x变化时， f¢(x) ， f ( x )的变化情况如下表所示：xf¢(x)(0, a )-a0( a ,+∞) +f ( x)所以， f ( x) 在 (0, a )单调递减上单调递减，在 ( a , +¥)f ( a ) = ln a +1单调递增. ...........5分单调递增综上：当a ≤0时， f ( x)在 (0, +¥)上单调递增；当 a > 0 时， f ( x ) 在 (0, a )上单调递减，在 ( a ,+¥)上单调递增.（Ⅱ）当a = 0时， f ( x ) = ln x在 (0, +¥)上单调递增，且 f (1) = 0，所以 f ( x)有一个零点；当a < 0时，由（Ⅰ）知， f ( x)在 (0, +¥)上单调递增，且 f (1) = a < 0，f (e -a ) =-a +ae a =a (e a -1) >0，所以存在唯一x Î(1, e0-a)，使得f ( x ) = 0 0，所以 f ( x)有一个零点； 当 a > 0 时，由（Ⅰ）知， f ( x)在 (0, a )上单调递减，在 ( a , +∞)上单调递增，所以y= f ( a ) = ln a +1 min，则①ln a +1> 0，即a >1e， f ( x) ≥ f ( a ) > 0，所以 f ( x)没有零点；②ln a +1 = 0，即a =1e，y = f ( a ) = ln a +1 = 0 min，当 x Î(0, a ) ( a ,+¥)时， f ( x ) > 0，所以 f ( x )有一个零点；7 / 82 2③ln a +1< 0，即 0 0，又 f ( x )在 ( a ,+¥)上单调递增，所以存在唯一x Î( a ,1) 1，使得f ( x ) = 0 1；另一方面， 0 g ( ) =2 lne1e+e =e -2 >0.由于 f ( x)在 (0, a )上单调递减，且 f ( a ) <0，f ( a 2) >0，所以存在唯一x Î( a2 , a) 2，使得f ( x ) = 0 2，所以，当 0 1e， f ( x)有0个零点；0