2022年高考数学回归课本 排列组合与概率教案 旧人教版一、基础知识1．加法原理：做一件事有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法2．乘法原理：做一件事，完成它需要分n个步骤，第1步有m1种不同的方法，第2步有m2种不同的方法，……，第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法3．排列与排列数：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素，按照一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列，从n个不同元素中取出m个(m≤n)元素的所有排列个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用表示，=n(n-1)…(n-m+1)=,其中m,n∈N,m≤n,注：一般地=1，0！=1，=n!4．N个不同元素的圆周排列数为=(n-1)!5．组合与组合数：一般地，从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合，即从n个不同元素中不计顺序地取出m个构成原集合的一个子集从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用表示：6．组合数的基本性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）。
7．定理1：不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解的个数为[证明]将r个相同的小球装入n个不同的盒子的装法构成的集合为A，不定方程x1+x2+…+xn=r的正整数解构成的集合为B，A的每个装法对应B的唯一一个解，因而构成映射，不同的装法对应的解也不同，因此为单射反之B中每一个解(x1,x2,…,xn),将xi作为第i个盒子中球的个数，i=1,2,…,n，便得到A的一个装法，因此为满射，所以是一一映射，将r个小球从左到右排成一列，每种装法相当于从r-1个空格中选n-1个，将球分n份，共有种故定理得证推论1 不定方程x1+x2+…+xn=r的非负整数解的个数为推论2 从n个不同元素中任取m个允许元素重复出现的组合叫做n个不同元素的m可重组合，其组合数为8．二项式定理：若n∈N+,则(a+b)n=.其中第r+1项Tr+1=叫二项式系数9．随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件叫随机事件在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率总是接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A发生的概率，记作p(A),0≤p(A)≤1.10.等可能事件的概率，如果一次试验中共有n种等可能出现的结果，其中事件A包含的结果有m种，那么事件A的概率为p(A)=11.互斥事件：不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。
如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么A1，A2，…，An中至少有一个发生的概率为p(A1+A2+…+An)= p(A1)+p(A2)+…+p(An).12．对立事件：事件A，B为互斥事件，且必有一个发生，则A，B叫对立事件，记A的对立事件为由定义知p(A)+p()=1.13．相互独立事件：事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件14．相互独立事件同时发生的概率：两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积即p(A•B)=p(A)•p(B).若事件A1，A2，…，An相互独立,那么这n个事件同时发生的概率为p(A1•A2• … •An)=p(A1)•p(A2)• … •p(An).15.独立重复试验:若n次重复试验中,每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果,则称这n次试验是独立的.16.独立重复试验的概率:如果在一次试验中,某事件发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,这个事件恰好发生k次的概率为pn(k)=•pk(1-p)n-k.17．离散型随机为量的分布列：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫随机变量，例如一次射击命中的环数ξ就是一个随机变量，ξ可以取的值有0,1,2,…,10。
如果随机变量的可能取值可以一一列出，这样的随机变量叫离散型随机变量一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1,x2,…,xi,…,ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率p(ξ=xi)=pi，则称表ξx1x2x3…xi…pp1p2p3…pi…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列，称Eξ=x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望或平均值、均值、简称期望，称Dξ=(x1-Eξ)2•p1+(x2-Eξ)2•p2+…+(xn-Eξ)2pn+…为ξ的均方差，简称方差叫随机变量ξ的标准差18．二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是p，那么在n次独立重复试验中，这个事件恰好发生k次的概率为p(ξ=k)=, ξ的分布列为ξ01…xi…Np……此时称ξ服从二项分布，记作ξ～B(n,p).若ξ～B(n,p)，则Eξ=np,Dξ=npq,以上q=1-p.19.几何分布：在独立重复试验中，某事件第一次发生时所做试验的次数ξ也是一个随机变量，若在一次试验中该事件发生的概率为p，则p(ξ=k)=qk-1p(k=1,2,…)，ξ的分布服从几何分布，Eξ=，Dξ=(q=1-p).二、方法与例题1．乘法原理。
例1 有2n个人参加收发电报培训，每两个人结为一对互发互收，有多少种不同的结对方式？[解] 将整个结对过程分n步，第一步，考虑其中任意一个人的配对者，有2n-1种选则；这一对结好后，再从余下的2n-2人中任意确定一个第二步考虑他的配对者，有2n-3种选择，……这样一直进行下去，经n步恰好结n对，由乘法原理，不同的结对方式有(2n-1)×(2n-3)×…×3×1=2．加法原理例2 图13-1所示中没有电流通过电流表，其原因仅因为电阻断路的可能性共有几种？[解] 断路共分4类：1）一个电阻断路，有1种可能，只能是R4；2）有2个电阻断路，有-1=5种可能；3）3个电阻断路，有=4种；4）有4个电阻断路，有1种从而一共有1+5+4+1=11种可能3．插空法例3 10个节目中有6个演唱4个舞蹈，要求每两个舞蹈之间至少安排一个演唱，有多少种不同的安排节目演出顺序的方式？[解] 先将6个演唱节目任意排成一列有种排法，再从演唱节目之间和前后一共7个位置中选出4个安排舞蹈有种方法，故共有=604800种方式4．映射法例4 如果从1，2，…，14中，按从小到大的顺序取出a1,a2,a3使同时满足：a2-a1≥3,a3-a2≥3，那么所有符合要求的不同取法有多少种？[解] 设S={1,2,…,14}，={1，2，…，10}；T={(a1,a2,a3)| a1,a2,a3∈S,a2-a1≥3,a3-a2≥3},={()∈},若，令，则(a1,a2,a3)∈T,这样就建立了从到T的映射，它显然是单射，其次若(a1,a2,a3)∈T,令，则，从而此映射也是满射，因此是一一映射，所以|T|==120，所以不同取法有120种。
5．贡献法例5 已知集合A={1，2，3，…，10}，求A的所有非空子集的元素个数之和[解] 设所求的和为x，因为A的每个元素a，含a的A的子集有29个，所以a对x的贡献为29，又|A|=10所以x=10×29.[另解] A的k元子集共有个，k=1,2,…,10，因此，A的子集的元素个数之和为10×296．容斥原理例6 由数字1，2，3组成n位数(n≥3)，且在n位数中，1，2，3每一个至少出现1次，问：这样的n位数有多少个？[解] 用I表示由1，2，3组成的n位数集合，则|I|=3n，用A1，A2，A3分别表示不含1，不含2，不含3的由1，2，3组成的n位数的集合，则|A1|=|A2|=|A3|=2n，|A1A2|=|A2A3|=|A1A3|=1A1A2A3|=0所以由容斥原理|A1A2A3|==3×2n-3.所以满足条件的n位数有|I|-|A1A2A3|=3n-3×2n+3个7．递推方法例7 用1，2，3三个数字来构造n位数，但不允许有两个紧挨着的1出现在n位数中，问：能构造出多少个这样的n位数？[解] 设能构造an个符合要求的n位数，则a1=3，由乘法原理知a2=3×3-1=8.当n≥3时：1）如果n位数的第一个数字是2或3，那么这样的n位数有2an-1；2）如果n位数的第一个数字是1，那么第二位只能是2或3，这样的n位数有2an-2，所以an=2(an-1+an-2)(n≥3).这里数列{an}的特征方程为x2=2x+2，它的两根为x1=1+,x2=1-,故an=c1(1+)n+ c2(1+)n,由a1=3,a2=8得，所以8．算两次。
例8 m,n,r∈N+，证明： ①[证明] 从n位太太与m位先生中选出r位的方法有种；另一方面，从这n+m人中选出k位太太与r-k位先生的方法有种，k=0,1,…,r所以从这n+m人中选出r位的方法有种综合两个方面，即得①式9．母函数例9 一副三色牌共有32张，红、黄、蓝各10张，编号为1，2，…，10，另有大、小王各一张，编号均为0从这副牌中任取若干张牌，按如下规则计算分值：每张编号为k的牌计为2k分，若它们的分值之和为xx，则称这些牌为一个“好牌”组，求好牌组的个数[解] 对于n∈{1,2,…,xx},用an表示分值之和为n的牌组的数目，则an等于函数f(x)=(1+)2•(1+)3••••…•(1+)3的展开式中xn的系数（约定|x|<1），由于f(x)=[ (1+)(1+)•…•(1+)]3=3 =3而0≤xx<211，所以an等于的展开式中xn的系数，又由于=•=(1+x2+x3+…+x2k+…)[1+2x+3x2+…+(2k+1)x2k+…],所以x2k在展开式中的系数为a2k=1+3+5++(2k+1)=(k+1)2,k=1,2,…,从而，所求的“好牌”组的个数为axx=10032=1006009.10．组合数的性质。
例10 证明：是奇数(k≥1).[证明] =令i=•pi(1≤i≤k)，pi为奇数，则，它的分子、分母均为奇数，因是整数，所以它只能是若干奇数的积，即为奇数例11 对n≥2,证明：[证明] 1）当n=2时，22<=6<42；2）假设n=k时，有2k<<4k,当n=k+1时，因为又<4，所以2k+1<.所以结论对一切n≥2成立11．二项式定理的应用例12 若n∈N, n≥2，求证：[证明] 首先其次因为，所以 2+得证例13 证明：[证明] 首先，对于每个确定的k，等式左边的每一项都是两个组合数的乘积，其中是(1+x)n-k的展开式中xm-h的系数是(1+y)k的展开式中yk的系数从而•就是(1+x)n-k•(1+y)k的展开式中xm-hyh的系数于是，就是展开式中xm-hyh的系数另一方面，== •=(xk-1+xk-2y+…+yk-1)，上式中，xm-hyh项的系数恰为所以12．概率问题的解法例14 如果某批产品中有a件次品和b件正品，采用有放回的抽样方式从中抽取n件产品，问：恰好有k件是次品的概率是多少？[解] 把k件产品进行编号，有放回抽n次，把可能的重复排列作为基本事件，总数为(a+b)n（即所有的可能结果）。
设事件A表示取出的n件产品中恰好有k件是次品，则事件A所包含的基本事件总数为•akbn-k，故所求的概率为p(A)=例15 将一枚硬币掷5次，正面朝上恰好一次的概率不为0，而且与正面朝上恰好两次的概率相同，求恰好三次正面朝上的概率[解] 设每次抛硬币正面朝上的概率为p，则掷5次恰好有k次正面朝上的概率为(1-p)5-k(k=0,1,2,…,5)，由题设，且0
因为B1，B2，B2互斥，所以甲胜概率为p(B1+B2+B3)=p(B1)+p(B2)+p(B3)=0.63+×0.62×0.4×0.6+×0.62×0.42×0.6=0.68256.由（1），（2）可知在五局三胜制下，甲获胜的可能性大例17 有A，B两个口袋，A袋中有6张卡片，其中1张写有0，2张写有1，3张写有2；B袋中有7张卡片，其中4张写有0，1张写有1，2张写有2从A袋中取出1张卡片，B袋中取2张卡片，共3张卡片求：（1）取出3张卡片都写0的概率；（2）取出的3张卡片数字之积是4的概率；（3）取出的3张卡片数字之积的数学期望[解]（1）；（2）；（3）记ξ为取出的3张卡片的数字之积，则ξ的分布为ξ0248p所以三、基础训练题1．三边长均为整数且最大边长为11的三角形有_________个2．在正xx边形中，当所有边均不平行的对角线的条数为_________3．用1，2，3，…，9这九个数字可组成_________个数字不重复且8和9不相邻的七位数4．10个人参加乒乓球赛，分五组，每组两个人有_________种分组方法5．以长方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是_________。
6．今天是星期二，再过101000天是星期_________7．由展开式所得的x的多项式中，系数为有理数的共有_________项8．如果凸n边形(n≥4)的任意三条对角线不共点，那么这些对角线在凸n边形内共有_________个交点9．袋中有a个黑球与b个白球，随机地每次从中取出一球（不放回），第k(1≤k≤a+b)次取到黑球的概率为_________10．一个箱子里有9张卡片，分别标号为1，2，…，9，从中任取2张，其中至少有一个为奇数的概率是_________11．某人拿着5把钥匙去开门，有2把能打开他逐个试，试三次之内打开房门的概率是_________12．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路灯，要将其中三盏关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法种数是_________13．a,b,c,d,e五个人安排在一个圆桌周围就坐，若a,b不相邻有_________种安排方式14．已知i,m,n是正整数，且1(1+n)m.15.一项“过关游戏”规定：在第n关要抛掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所得到的点数之和大于2n，则算过关。
问：（1）某人在这项游戏中最多能过几关？（2）他连过前三关的概率是多少？（注：骰子是一个在各面上分别有1，2，3，4，5，6点数的均匀正方体）四、高考水平训练题1．若n∈{1,2,…,100}且n是其各位数字和的倍数，则这种n有__________个2．从{-3,-2,-1,0,1,2,3,4}中任取3个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，能组成过原点，且顶点在第一或第三象限的抛物线有___________条3．四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中任取4个不共面的点，有_________种取法4．三个人传球，从甲开始发球，每次接球后将球传给另外两人中的任意一个，经5次传球后，球仍回到甲手中的传法有_________种5．一条铁路原有m个车站（含起点，终点），新增加n个车站（n>1），客运车票相应地增加了58种，原有车站有_________个6．将二项式的展开式按降幂排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中x的幂指数是整数的项有_________个7．从1到9这九个自然数中任取两个分别作为对数的真数和底数，共可得到_________种不同的对数值8．二项式(x-2)5的展开式中系数最大的项为第_________项，系数最小的项为第_________项。
9．有一批规格相同的均匀圆棒，每根被划分成长度相同的5节，每节用红、黄、蓝三色之一涂色，可以有_________种颜色不同的圆棒？（颠倒后相同的算同一种）10．在1，2，…，xx中随机选取3个数，能构成递增等差数列的概率是_________11．投掷一次骰子，出现点数1，2，3，…，6的概率均为，连续掷6次，出现的点数之和为35的概率为_________12．某列火车有n节旅客车厢，进站后站台上有m(m≥n)名旅客候车，每位旅客随意选择车厢上车，则每节车厢都有旅客上车的概率是_________13．某地现有耕地10000公顷，规划10年后粮食单产比现在增加22%，人均粮食占有量比现在提高10%，如果人口年增长率为1%，那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷（精确到1公顷）？（粮食单产=）五、联赛一试水平训练题1．若0
3．已知A={0，1，2，3，4，5，6，7}，映射f:A→A满足：（1）若i≠j，则f(i)≠f(j)；（2）若i+j=7，则f(i)+f(j)=7，这样的映射的个数为_________4．1，2，3，4，5的排列a1,a2,a3,a4,a5具有性质：对于1≤i≤4,a1,a2,…,ai不构成1，2，…，i的某个排列，这种排列的个数是_________5．骰子的六个面标有1，2，…，6这六个数字，相邻两个面上的数字之差的绝对值叫变差，变差的总和叫全变差V，则全变差V的最大值为_________，最小值为_________6．某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行50场，上述三名选手之间比赛场数为_________7．如果a,b,c,d都属于{1,2,3,4}且a≠b,b≠c,c≠d, d≠a；且a是a,b,c,d中的最小值，则不同的四位数的个数为_________8．如果自然数a各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”，将所有的吉祥数从小到大排成一列a1,a2,a3,…,若an=xx，则an=_________9．求值：=_________。
10．投掷一次骰子，出现点数1，2，…，6的概率均为，连续掷10次，出现的点数之和是30的概率为_________11．将编号为1，2，…，9这九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各有一个小球，设周围上所有相邻两球的号码之差的绝对值之和为S，求S达到最小值的放法的概率（注：如果某种放法经旋转或镜面反射后可与另一放法重合，则认为是相同的放法）12．甲、乙两人轮流向同一目标射击，第一次甲射击，以后轮流射击，甲每次击中的概率为p(0
3．求从集合{1,2,…,n}中任取满足下列条件的k个数{j1,j2,…,jk}的组合数；（1）1≤j11为固定的正整数；（3）存在h0,1≤h0≤k-1，使得≥m+1.4.设,其中S1，S2，…，Sm都是正整数且S1