第三节 带电粒子在复合场中的运动[学生用书P165]一、带电粒子在复合场中的运动1．复合场的分类(1)叠加场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存．(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠或在同一区域，电场、磁场交替出现．2．带电粒子在复合场中的运动分类(1)静止或匀速直线运动当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或做匀速直线运动．(2)匀速圆周运动当带电粒子所受的重力与电场力大小相等、方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动．(3)非匀变速曲线运动当带电粒子所受的合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上时，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线． 1.(单项选择)(2015·江西七校联考)在竖直放置的光滑绝缘圆环上，套有一个带电荷量为－q、质量为m的小环，整个装置放在如下图的正交电磁场中，电场强度E＝.当小环从大环顶无初速度下滑时，在滑过多少弧度时所受洛伦兹力最大( )A. B.C. D．π答案：C二、带电粒子在复合场中运动的应用实例1．质谱仪(1)构造：如下图，由粒子源、加速电场、偏转磁场和照相底片等构成．(2)原理：粒子由静止在加速电场中被加速，根据动能定理可得关系式qU＝mv2.粒子在磁场中受洛伦兹力偏转，做匀速圆周运动，根据牛顿第二定律得关系式qvB＝m.由以上两式可得出需要研究的物理量，如粒子轨道半径、粒子质量、比荷．r＝ ，m＝，＝.2．回旋加速器(1)构造：如下图，D1、D2是半圆形金属盒，D形盒的缝隙处接交流电源．D形盒处于匀强磁场中．(2)原理：交流电的周期和粒子做圆周运动的周期相等，粒子经电场加速，经磁场回旋，由qvB＝，得Ekm＝，可见粒子获得的最大动能由磁感应强度B和D形盒半径r决定，与加速电压无关．3．速度选择器(如下图)(1)平行板中电场强度E和磁感应强度B互相垂直．这种装置能把具有一定速度的粒子选择出来，所以叫做速度选择器．(2)带电粒子能够沿直线匀速通过速度选择器的条件是qE＝qvB，即v＝.4．磁流体发电机(1)磁流体发电是一项新兴技术，它能够把内能直接转化为电能．(2)根据左手定则，如图中的B是发电机正极．(3)磁流体发电机两极板间的距离为L，等离子体速度为v，磁场的磁感应强度为B，则由qE＝q＝qvB得两极板间能达到的最大电势差U＝BLv.5．电磁流量计工作原理：如下图，圆形导管直径为d，用非磁性材料制成，导电液体在管中向左流动，导电液体中的自由电荷(正、负离子)，在洛伦兹力的作用下横向偏转，a、b间出现电势差，形成电场，当自由电荷所受的电场力和洛伦兹力平衡时，a、b间的电势差就保持稳定，即：qvB＝qE＝q，所以v＝，所以液体流量Q＝Sv＝·＝. 2.(单项选择)如下图是质谱仪的工作原理示意图，带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器．速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B和E.平板S上有可让粒子通过的狭缝P和记录粒子位置的胶片A1A2.平板S下方有磁感应强度为B0的匀强磁场．以下表述错误的选项是( )A．质谱仪是分析同位素的重要工具B．速度选择器中的磁场方向垂直纸面向外C．能通过狭缝P的带电粒子的速率等于E/BD．粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝P，粒子的比荷越小答案：D考点一 带电粒子在叠加场中的运动 [学生用书P166]1．带电粒子在叠加场中无约束情况下的运动情况分类(1)磁场力、重力并存①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，故机械能守恒，由此可求解问题．(2)电场力、磁场力并存(不计重力的微观粒子)①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动．②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用动能定理求解问题．(3)电场力、磁场力、重力并存①若三力平衡，一定做匀速直线运动．②若重力与电场力平衡，一定做匀速圆周运动．③若合力不为零且与速度方向不垂直，将做复杂的曲线运动，因洛伦兹力不做功，可用能量守恒或动能定理求解问题．2．带电粒子在叠加场中有约束情况下的运动带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，除受场力外，还受弹力、摩擦力作用，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，使用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求出结果． (2014·高考四川卷)如下图，水平放置的不带电的平行金属板p和b相距h，与图示电路相连，金属板厚度不计，忽略边缘效应．p板上表面光滑，涂有绝缘层，其上O点右侧相距h处有小孔K；b板上有小孔T，且O、T在同一条竖直线上，图示平面为竖直平面．质量为m、电荷量为－q(q>0)的静止粒子被发射装置(图中未画出)从O点发射，沿p板上表面运动时间t后到达K孔，不与板碰撞地进入两板之间．粒子视为质点，在图示平面内运动，电荷量保持不变，不计空气阻力，重力加速度大小为g.(1)求发射装置对粒子做的功；(2)电路中的直流电源内阻为r，开关S接“1”位置时，进入板间的粒子落在b板上的A点，A点与过K孔竖直线的距离为l.此后将开关S接“2”位置，求阻值为R的电阻中的电流强度；(3)若选用恰当直流电源，电路中开关S接“1”位置，使进入板间的粒子受力平衡，此时在板间某区域加上方向垂直于图面的、磁感应强度大小适宜的匀强磁场(磁感应强度B只能在0～Bm＝范围内选择)，使粒子恰好从b板的T孔飞出，求粒子飞出时速度方向与b板板面的夹角的所有可能值(可用反三角函数表示)．[审题点睛] (1)粒子从O到K做什么运动？发射装置对粒子做的功与粒子的动能有何关系？(2)第(2)问中，粒子在两板间受哪些力？做什么运动？(3)第(3)问中，电场力与重力平衡，再加上适宜的磁场，粒子做什么运动？离开磁场区域后，粒子做什么运动？要使粒子能通过T孔，离开磁场时的速度方向应满足什么条件？[解析] (1)设粒子在p板上做匀速直线运动的速度为v0，有h＝v0t①设发射装置对粒子做的功为W，由动能定理得W＝mv②联立①②式可得W＝.③(2)S接“1”位置时，电源的电动势E0与板间电势差U相等，有E0＝U④板间产生匀强电场的场强为E，粒子进入板间时有水平方向的速度v0，在板间受到竖直方向的重力和电场力作用而做类平抛运动，设加速度为a，运动时间为t1，有U＝Eh⑤mg－qE＝ma⑥h＝at⑦l＝v0t1⑧S接“2”位置，则在电阻R上流过的电流I满足I＝⑨联立①④～⑨式得I＝.⑩(3)由题意知此时在板间运动的粒子重力与电场力平衡，当粒子从K进入板间后立即进入磁场做匀速圆周运动，如下图，粒子从D点出磁场区域后沿DT做匀速直线运动，DT与b板上表面的夹角为题目所求夹角θ，磁场的磁感应强度B取最大值时的夹角θ为最大值θm，设粒子做匀速圆周运动的半径为R，有qv0B＝⑪过D点作b板的垂线与b板的上表面交于G，由几何关系有＝h－R(1＋cos θ)⑫＝h＋Rsin θ⑬tan θ＝＝⑭联立①⑪～⑭式，将B＝Bm代入，求得θm＝arcsin 当B逐渐减小，粒子做匀速圆周运动的半径R也随之变大，D点向b板靠近，DT与b板上表面的夹角θ也越变越小，当D点无限接近于b板上表面时，粒子离开磁场后在板间几乎沿着b板上表面运动而从T孔飞出板间区域，此时Bm>B>0满足题目要求，夹角θ趋近θ0，即θ0＝0则题目所求夹角为0<θ≤arcsin .[答案] (1) (2)(3)0<θ≤arcsin 1.(多项选择)(2015·浙江名校联考)质量为m、电荷量为q的微粒以速度v与水平方向成θ角从O点进入方向如下图的正交的匀强电场和匀强磁场组成的混合场区，该微粒在电场力、洛伦兹力和重力的共同作用下，恰好沿直线运动到A，以下说法中准确的是( )A．该微粒一定带负电荷B．微粒从O到A的运动可能是匀变速运动C．该磁场的磁感应强度大小为D．该电场的场强为Bvcos θ解析：选AC.若微粒带正电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向左的电场力qE和斜向右下方的洛伦兹力qvB，知微粒不能做直线运动，据此可知微粒应带负电荷，它受竖直向下的重力mg、水平向右的电场力qE和斜向左上方的洛伦兹力qvB，又知微粒恰好沿着直线运动到A，可知微粒应该做匀速直线运动，则选项A准确，B错误；由平衡条件相关系：qvBcos θ＝mg，qvBsin θ＝qE，得磁场的磁感应强度B＝，电场的场强E＝Bvsin θ，应选项C准确，D错误．考点二 带电粒子在组合场中的运动 [学生用书P167]带电粒子在组合场中的运动，实际上是几个典型运动过程的组合，所以解决这类问题要分段处理，找出各分段之间的衔接点和相关物理量，问题即可迎刃而解．常见类型如下：1．从电场进入磁场(1)粒子先在电场中做加速直线运动，然后进入磁场做圆周运动．在电场中利用动能定理或运动学公式求粒子刚进入磁场时的速度．(2)粒子先在电场中做类平抛运动，然后进入磁场做圆周运动．在电场中利用平抛运动知识求粒子进入磁场时的速度．2．从磁场进入电场(1)粒子进入电场时的速度与电场方向相同或相反，做匀变速直线运动(不计重力)．(2)粒子进入电场时的速度方向与电场方向垂直，做类平抛运动． (2013·高考安徽卷)如下图的平面直角坐标系xOy，在第Ⅰ象限内有平行于y轴的匀强电场，方向沿y轴正方向；在第Ⅳ象限的正三角形abc区域内有匀强磁场，方向垂直于xOy平面向里，正三角形边长为L，且ab边与y轴平行．一质量为m、电荷量为q的粒子，从y轴上的P(0，h)点，以大小为v0的速度沿x轴正方向射入电场，通过电场后从x轴上的a(2h,0)点进入第Ⅳ象限，又经过磁场从y轴上的某点进入第Ⅲ象限，且速度与y轴负方向成45°角，不计粒子所受的重力．求：(1)电场强度E的大小；(2)粒子到达a点时速度的大小和方向；(3)abc区域内磁场的磁感应强度B的最小值．[解析] (1)设粒子在电场中运动的时间为t，则有x＝v0t＝2hy＝at2＝hqE＝ma联立以上各式可得E＝.(2)粒子到达a点时沿负y方向的分速度为vy＝at＝v0所以v＝＝v0方向指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45°角．(3)粒子在磁场中运动时，有qvB＝m当粒子从b点射出时，磁场的磁感应强度为最小值，此时有r＝L，所以B＝.[答案] (1) (2)v0 指向第Ⅳ象限与x轴正方向成45°角 (3)[方法总结] 解决带电粒子在组合场中的运动问题的思路(1)首先明确每个场的性质、方向、强弱和范围；(2)对带电粒子实行受力分析，确定带电粒子的运动性质，分析粒子的运动过程，画出运动轨迹；(3)通过度析，确定粒子从一个场区进入另一场区时的位置、速度大小和方向是解题的关键． 2.(2015·东北三校联考)如下图，相距3L的AB、CD两直线间的区域存有着两个大小不同、方向相反的有界匀强电场，其中PT上方的电场Ⅰ的场强方向竖直向下，PT下方的电场Ⅱ的场强方向竖直向上，电场Ⅰ的场强大小是电场Ⅱ的场强大小的2倍，在电场左边界AB上有点Q，PQ间距离为L.从某时刻起由Q以初速度v0沿水平方向垂直射入匀强电场Ⅱ的带电粒子电荷量为＋q，质量为m，通过PT上的某点R进入匀强电场Ⅰ后从CD边上的M点水平射出，其轨迹如图．若P、R两点间的距离为2L，不计粒子的重力．(1)求匀强电场Ⅰ的电场强度E1的大小和M、T之间的距离．(2)有一由光滑弹性绝缘壁围成的横截面为边长为a的正三角形容器，在其左壁正中央开有一小孔S，将其置于CD右侧且紧挨CD边界．若从Q点射入的粒子经AB、CD间的电场从S孔水平射入容器中，欲使粒子在容器中与器壁两次垂直碰撞后能从S孔水平射出(粒子与绝缘壁碰撞时无机械能和电荷量损失)，并返回Q点，需要在容器中加上一个如下图的匀强磁场，求：①磁感应强度B的大小；②粒子从Q出发到再返回到Q所经历的时间．解析：(1)粒子经PT直线上的点R由电场Ⅱ进入电场Ⅰ，设粒子由Q到R及由R到M的时间分别为t2与t1，则2L＝v0t2，L＝tL＝v0t1，MT＝t又E1＝2E2联立解得E1＝，MT＝L.(2)①分析可知，粒子从S孔水平射入时的速度为v0.欲使粒子能从S孔水平射出，粒子运动的半径应为：r＝a，由qv0B＝得：B＝②粒子在磁场中运动的时间，t1′＝T＝粒子在电场中运动的时间t2′＝粒子从Q出发到再回到Q经历的时间：t＝t1′＋t2′＝＋＝.答案：(1) L (2)① ②[学生用书P168]方法技巧——带电粒子在交变电场、磁场中的运动 (17分)如图甲所示，宽度为d的竖直狭长区域内(边界为L1、L2)，存有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向的周期性变化的电场(如图乙所示)，电场强度的大小为E0，E>0表示电场方向竖直向上．t＝0时，一带正电、质量为m的微粒从左边界上的N1点以水平速度v射入该区域，沿直线运动到Q点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的N2点．Q为线段N1N2的中点，重力加速度为g.上述d、E0、m、v、g为已知量．(1)求微粒所带电荷量q和磁感应强度B的大小；(2)求电场变化的周期T；(3)改变宽度d，使微粒仍能按上述运动过程通过相对应宽度的区域，求T的最小值．[审题点睛] (1)N1Q段的直线运动分析：受力平衡．(2)圆周运动分析：重力与电场力平衡、洛伦兹力提供向心力．(3)直线运动的时间＋圆周运动的时间＝周期．(4)磁场宽度的临界值：d＝2R.—————————该得的分一分不丢！(1)微粒做直线运动，则mg＋qE0＝qvB①(2分)微粒做圆周运动，则mg＝qE0②(2分)联立①②得q＝③(1分)B＝.④(1分)(2)设微粒 从N1运动到Q的时间为t1，做圆周运动的周期为t2，则＝vt1⑤(1分)qvB＝m⑥(2分)2πR＝vt2⑦(1分)联立③④⑤⑥⑦得t1＝；t2＝⑧(2分)电场变化的周期T＝t1＋t2＝＋.⑨(1分)(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求d≥2R⑩(1分)联立③④⑥得R＝⑪(1分)设在N1Q段直线运动的最短时间为t1min，由⑤⑩⑪得t1min＝＝，(1分)因t2不变，T的最小值Tmin＝t1min＋t2＝.(1分)[答案] (1) (2)＋ (3)[方法提炼] (1)解决带电粒子在交变电场、磁场中的运动问题时，关键要明确粒子在不同时间段内、不同区域内的受力特性，对粒子的运动情景、运动性质做出判断．(2)这类问题一般都具有周期性，在分析粒子运动时，要注意粒子的运动周期、电场周期、磁场周期的关系．(3)带电粒子在交变电磁场中运动仍遵循牛顿运动定律、运动的合成与分解、动能定理、能量守恒定律等力学规律，所以此类问题的研究方法与质点动力学相同． 3.(2015·湖北八市联考)如图甲所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，现将一重力不计、比荷＝1×106 C/kg的正电荷置于电场中的O点由静止释放，经过×10－5s后，电荷以v0＝1.5×104 m/s的速度通过MN进入其上方的匀强磁场，磁场与纸面垂直，磁感应强度B按图乙所示规律周期性变化(图乙中磁场方向以垂直纸面向外为正方向，以电荷第一次通过MN时为t＝0时刻)．计算结果可用π表示．(1)求O点与直线MN之间的电势差；(2)求t＝×10－5 s时刻电荷与O点的水平距离；(3)假如在O点右方d＝67.5 cm处有一垂直于MN的充足大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板所需的时间．(保留3位有效数字)解析：(1)电荷在电场中做匀加速直线运动，由动能定理得Uq＝mv解得U＝＝112.5 V.(2)当磁场垂直纸面向外时，设电荷运动的半径为r1，则B1qv0＝，r1＝＝5 cm周期T1＝＝×10－5s当磁场垂直纸面向里时，电荷运动的半径为r2＝＝3 cm周期T2＝＝×10－5s丙电荷从t＝0时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如图丙所示．t＝×10－5s时刻电荷与O点的水平距离为Δd＝2(r1－r2)＝4 cm.(3)电荷从第一次通过MN开始，其运动的周期T＝×10－5s丁根据电荷的运动情况可知，电荷到达挡板前运动的完整周期数为15个，此时电荷沿MN运动的距离s＝15Δd＝60 cm则最后7.5 cm的运动轨迹如图丁所示，有r1＋r1cos α＝7.5 cm解得cos α＝0.5，则α＝60°故电荷运动的总时间t总＝t1＋15T＋T1＝×10－5s≈3.86×10－4s.答案：(1)112.5 V (2)4 cm (3)3.86×10－4s[学生用书P169]1．(单项选择)(2015·皖南八校联考)医生做某些特殊手术时，利用电磁血流计来监测通过动脉的血流速度．电磁血流计由一对电极a和b以及一对磁极N和S构成，磁极间的磁场是均匀的．使用时，两电极a、b均与血管壁接触，两触点的连线、磁场方向和血流速度方向两两垂直，如下图．因为血液中的正负离子随血流一起在磁场中运动，电极a、b之间会有微小电势差．在达到平衡时，血管内部的电场可看做是匀强电场，血液中的离子所受的电场力和磁场力的合力为零．在某次监测中，两触点间的距离为3.0 mm，血管壁的厚度可忽略，两触点间的电势差为160 μV，磁感应强度的大小为0.040 T．则血流速度的近似值和电极a、b的正负为 ( )A．1.3 m/s，a正、b负 B．2.7 m/s，a正、b负C．1.3 m/s，a负、b正 D．2.7 m/s，a负、b正解析：选A.由左手定则可判定正离子向上运动，负离子向下运动，所以a正、b负，达到平衡时离子所受洛伦兹力与电场力平衡，所以有：qvB＝q，代入数据解得v＝1.3 m/s，故准确答案为A.2．(多项选择)(2015·石家庄模拟)如下图为一种获得高能粒子的装置，环形区域内存有垂直纸面、磁感应强度大小可调的均匀磁场，带电粒子可在环中做圆周运动．A、B为两块中心开有小孔的距离很近的极板，原来电势均为零，每当带电粒子经过A板准备进入A、B之间时，A板电势升高为＋U，B板电势仍保持为零，粒子在两板间的电场中得到加速；每当粒子离开B板时，A板电势又降为零，粒子在电场的加速下动能持续增大，而在环形磁场中绕行半径不变．若粒子通过A、B板的时间不可忽略，能定性反映A板电势U和环形区域内的磁感应强度B随时间t变化的关系的是( )解析：选BC.由题意可知，粒子在加速电场中运动时，两板电势差不变，故场强不变，带电粒子所受电场力不变，加速度不变，而粒子进入电场时的初速度持续变大，故在两板间运动的时间持续变短，故A错误，B准确；粒子进入磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力充当向心力，即qvB＝m，解得B＝，随着粒子速度持续增大，半径保持不变，故磁感应强度持续增大，又由圆周运动规律T＝可知，带电粒子在磁场中运动的周期持续减小，故C准确，D错误．3．(多项选择)(2015·河南郑州质检)如下图，在垂直纸面向里的水平匀强磁场中，水平放置一根粗糙绝缘细直杆，有一个重力不能忽略、中间带有小孔的带正电小球套在细杆上．现在给小球一个水平向右的初速度v0，假设细杆充足长，小球在运动过程中电荷量保持不变，杆上各处的动摩擦因数相同，则小球运动的速度v与时间t的关系图象可能是( )解析：选BD.由左手定则可判定洛伦兹力的方向竖直向上，若Bqv0＝mg，球与杆之间无压力作用，即无摩擦力作用，球匀速运动，对应于B图象；若Bqv0>mg，杆对球有向下的压力，由Bqv0＝mg＋N知压力随球速度的减小而减小，再由ma＝f＝μN知小球做加速度逐渐减小的减速运动，对应速度图线的斜率逐渐减小，直到速度减小到使洛伦兹力等于重力后小球匀速运动，题目中无与此情况对应的图象；若Bqv0