能带理论能带理论-2（Band Theory）12简约波矢简约波矢 之前的讨论建立在以近自由电子近似为零级近似的微扰之前的讨论建立在以近自由电子近似为零级近似的微扰理论之上理论之上。这时，零级能量作为波矢零级能量作为波矢 k 的函数，具有抛物线的函数，具有抛物线的形式的形式。而最终的状态也可以用波矢来标记最终的状态也可以用波矢来标记。这一点只有在一点只有在以近自由电子近似作为零级近似才是可行的以近自由电子近似作为零级近似才是可行的。与之对应的是，简约波矢 作为平移算符本征值的标记则总可以用来标记状态。波矢和简约波矢之间有联系有区波矢和简约波矢之间有联系有区别别：简约波矢在简约波矢在FBZ中取值，而自由电子的波矢取值没有限中取值，而自由电子的波矢取值没有限制；在近自由电子作为零级近似的情形下，简约波矢和波矢制；在近自由电子作为零级近似的情形下，简约波矢和波矢之间相差一个倒格之间相差一个倒格矢。k3 简约波矢和自由电子波矢的这种差别表明，简简约波矢不能唯一确定一个状态。约波矢不能唯一确定一个状态。唯一确定一个状态除了需要指定简约波矢外，唯一确定一个状态除了需要指定简约波矢外，还需要指定它和自由电子波矢之间相差的倒格矢。还需要指定它和自由电子波矢之间相差的倒格矢。这个倒格矢确定该状态所属的能带这个倒格矢确定该状态所属的能带。2,.mkkkaa a Fig 4.4 能带示意图。能带示意图。5能带理论的基本结果6三维周期场中电子三维周期场中电子 22112233;2,=.mmV rV rRV rrErmRmmm 220001,.2ik rkkkHTVreEVmV731iiiilkbN周期性边界条件 10002200,.kkkkkkkkkkkkV kEEkV kEEE,for;0,otherwise.nnVkkGkV k 31,.niG rniininGnb V rV e8 100022001,.nniG rik rnknkk GnkkkkkVeeEEVVEEE9Fig 4.5(1)零级能量简并条件；零级能量简并条件；(2)简单立方格子的情况简单立方格子的情况(1)(2)10 这意味着在该平面上需采用简并微扰理论。三维情况下，简并的状态可以是两个，也可以多于两个。11 三维晶格的能带需要借助于 BZ 的概念来理解。如果在 k 空间中，把原点和所有倒格子倒格矢之间连线的中垂面都画出来，就可以把 k 空间分割成许多区域，每个区域内能量作为 k 的函数是连续的；在区域的边界处，该函数发生突变。这些区域称为布里渊区布里渊区(Brillouin Zone,BZ).12Fig 4.6 简单立方格子简单立方格子 BZ 的二维示意图的二维示意图13 BZ 中能量是连续的;属于一个属于一个 BZ 的能级构成的能级构成一个能带一个能带,不同的不同的 BZ 对应于不同的能带对应于不同的能带;所有所有 BZ 的体积相等的体积相等,都等于倒格子原胞的体积;记入自旋,每每个个BZ 有有 2N 个电子态个电子态。三维和一维情况有一个重要的区别，不同能带不同能带之间可以有交叠之间可以有交叠。沿各方向，能量在沿各方向，能量在 BZ 边界是不边界是不连续的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而连续的，但不同方向断开时的能量取值不同，因而有可能发生能量交叠有可能发生能量交叠。14Fig 4.7 三维晶格能带的交叠三维晶格能带的交叠15 与一维情况相同的是，简约波矢和平面波波矢既有联系又有区别。简约波矢取值限制在简约 BZ中，简约简约 BZ 就是就是 FBZ。对于 FBZ 以外的平面波波矢则总可以通过改变某一倒格矢而移入 FBZ。每一个简约波矢对应于能量高低不同的一系列量子态，分属于不同的能带。因而利用简约波矢标记量子态利用简约波矢标记量子态时必须标明所属能带时必须标明所属能带。16例例4.1 简单立方格子的 FBZ。例例4.2 体心立方格子的 FBZ。17例例4.3 面面心立方格子的 FBZ。18Fig 4.8 体心、面心立方格子体心、面心立方格子 BZ 示意图示意图2:(0,0,0),:(1,1,1),:(1,0,0).LXaa:(100),:(1,1,1).XL轴方向轴方向19例例4.4 面面心立方格子的能带。2021 另一方面，许多金属材料的实验结果和近自由电子近似的计算结果符合较好。22 据此人们引入赝势（赝势（pseudo potential）来简化能带计算。在固体中，人们最关心的是价电子。原子结合成固体的过程中，价电子的运动状态发生了较大的变化，而内层电子的变化则比较小。在离子在离子势内部，以假想的势能取代真实地势能，求解波动势内部，以假想的势能取代真实地势能，求解波动方程时，若不改变其能量本征值及离子实之间的区方程时，若不改变其能量本征值及离子实之间的区域的波函数，则称这个假想的势为域的波函数，则称这个假想的势为赝势赝势。实际采用的赝势总是要使离子实内部的电子波函数尽可能的平坦。利用赝势计算的波函数称为利用赝势计算的波函数称为赝势波函数赝势波函数。23 赝势包含离子势和价电子的作用，是有效势赝势包含离子势和价电子的作用，是有效势，可以有多种形式。人们利用赝势方法对很多金属材料作了能带计算，计算结果和近自由电子近似模型相近。目前，赝势方法也被用来研究半导体的价带和导带。The End24