经济数学基础8摘要：四,概率加法公式 1,对任意事件A,B,有概率加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 2,互斥事件加法公式,是概率加法公式的特例. 若事件A与B互不相容,即AB=φ...关键词：概率,公式类别：专题技术来源：牛档搜索（Niudown.COM） 本文系牛档搜索（Niudown.COM）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有不代表牛档搜索（Niudown.COM）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（Niudown.COM）不对其付相应的法律责任！经济数学基础8温州电大 叶挺峰 第三编 概率论 第六章 数据处理一、 特征数反映统计数据主要特征的数，称为特征数统计分析中最常用的特征数分为两类：1． 表示数据总体水平的数如均值、加权平均数、几何平均数和众数统称为平均数2． 表示数据分散程度的数常用的有方差、标准差、极差和变异系数等一)均值1．定义：给定一组数值x1，x2，…xn，称= ( x1+x2+…+xn)= xi为数据x1，x2，…xn的均值。
均值是通常所说的算术平均数实际问题中，常用样本的均值来估计总体均值或用均值代表总体水平，与不同的总体进行比较2． 性质：（1） (xi－)＝0（2）任何一个常数C，总 （xi－c)2≥(xi－)2仅在c=时等号成立二）加权平均值 计算一组数据的均值时，若考虑各数据出现次数，或权衡数据的作用程度，用加权平均数1． 定义：给定一组数x1，x2，…xn，和一组正数p1，p2，…pn，且 ,称＝x1p1+x2p2+…xnpn＝为x1，x2，…xn的加权平均数，pi为xi的权2． 注意： （1）权pi满足0＜pi≤1且 （2）权大的数据对加权平均数影响大； （3）均值可看作加权平均数特殊情况，均值中每个数据的权可看作三）几何平均数 n个数据x1，x2，…xn的连乘积n次算术根＝称为数据x1，x2，…xn 的几何平均数四）中位数和众数1． 中位数：将一组有限个数据x1，x2，…xn 按小到大的顺序排成数列，记为x1＊，x2＊，…xn＊ 1)n为奇数，处于中间位置的数称为中位数，中间位置是M=(n+1)，中位数是x＊m 2)n为偶数，中间有两个数 和 ，它们的平均值是中位数，即x＊m ＝(+)2、众数一组统计数据中，出现次数（或频数）最多的那个数据，称为众数。
五）方差和标准差1、方差：给定一组数据x1，x2，…xn 称S2＝为数据x1，x2，…xn 的方差，其中是x1，x2，…xn 的均值2、标准差（又名均方差）称方差的算术平方根 为数据x1，x2，…xn 的标准差3、方差简化计算： S2＝4、方差S2的作用 S2越大，说明数据“分散”，波动性越大；S2越小，说明数据“集中”，波动性越小； S2＝0，即x1＝x2＝…＝xn ＝，说明数据没有波动六）极差和变异系数一组数据x1，x2，…xn 中的最大值减去最小值，即R=Max{xi}－Min{xi}(1≤i≤n)称为x1，x2，…xn 的极差S与之比称为数据x1，x2，…xn 的变异系数，记为cv 即cv＝第三编 第七章 随机事件与概率一、 随机事件与概率 在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件，简称事件 通常用大写字母A、B、C、…表示例如：抛一枚硬币，H＝{出现正面}，T＝{出现反面}，一枚硬币抛出后，H和T两个事件之一一定发生，所以H、T是随机事件 随机事件A在一次试验中，发生的可能性大小，用概率表示，记为P（A）在一定条件下，必定发生的事件，称为必然事件，记为U,有P（U）＝1。
在一定条件下，不会发生的事件，称为不可能事件，记为φ,有P（φ）＝0二、事件的关系与运算1、 包含与相等事件A发生，事件B必发生，则称事件A包含于B，或事件B包含事件A，记为AB若AB,BA,则A=B2、 事件的和事件“A或B”称为事件A与事件B的和事件，记作A＋B或A∪B A＋B发生，即“A或B”发生，意思是A、B两事件中至少有一个发生3、 事件的积事件“A且B”称为事件A与B的积事件，记为AB或A∩B事件“A且B，表示事件A和B都发生4、 互不相容事件事件A与B不能同时发生，称事件A与B互不相容，或事件A、B为互斥事件 A与B互不相容，则有AB＝φ5、 对立事件与事件的差若事件A、B满足AB＝φ，A＋B＝U,则称事件A、B互为对立事件以表示A的对立事件，则有A＝φ，A+=U，＝A，若事件A发生而事件B不发生，则这一事件称为A与B的差事件，记为A－B三、古典概型与概率的性质1、古典概型：在每次试验中，只有有限个等可能发生的事件，且只有一个事件发生，这种计算概率的模型，称为古典概型可用古典概型计算的概率称为古典概率计算方法：如果试验只有n个等可能结果，其中导致事件A出现的结果有k个，则事件A出现的概率为P（A）＝。
这公式也称为概率的古典定义例如：抛一枚硬币，H＝{正面朝上}，求P（H）解：抛一枚硬币，落地后只有两个等可能，正面朝上或反面朝上，n=2正面朝上，只有一个可能，k=1故P（H）＝2、概率的性质：（1） 任何随机事件A的概率P（A）都有0≤P(A)≤1（2）P(U)=1，P（φ）＝0有P（φ）≤P(A)≤P（U）四、概率加法公式 1、对任意事件A、B，有概率加法公式P（A＋B）＝P（A）＋P(B)－P（AB） 2、互斥事件加法公式，是概率加法公式的特例 若事件A与B互不相容，即AB＝φ，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）这公式可推出：若事件A1，A2，…An两两互不相容，则 P（A1，A2，…An）＝P( A1)＋…P（An）若A＋＝U，有P（）＝1－P（A）；例如：从装有7个（4白，3黑）球的袋中任取3只球，求取到白球的概率 解：设A＝{取到白球} B＝{取出3个都是黑球} AB＝φ A＝ P（B）= P（A）=P（）=1－P（B）＝1－0.029=0.971五、条件概率：1、 定义：如果A、B是条件组S下的随机事件，P（B）≠0，那么称在B发生的前提下A发生的概率为条件概率，记为P（A|B）。
2、 计算公式：P（A|B）＝3、 乘法公式：由条件概率公式得以下公式：设任意事件A、B，有概率乘法公式P（AB）＝P（A）P·（B|A），(P(A) ≠0)； 或P（AB）＝P（B）·（A|B），(P(B) ≠0)；例如：设箱中有50个产品，其中有次品10个，从中依次任意取出两个产品，每次取一个不再放回，试求两个产品都是正品的概率解：设A＝{第一次取得正品} B={第二次取得正品}所求概率应为P（AB） P（AB）＝ P(B|A)＝由乘法公式，得 P（AB）＝P（A）·P（B|A）＝·≈0.6367六、事件的独立性如果事件A、B满足条件P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A、B是相互独立的 独立性概念可推广到多个事件的情况，如：A、B、C独立时，有 P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）例如：假设一个问题由两个学生分别独立解决，如果每个学生各自解决问题的概率是，求此问题能够解决的概率 解：设A＝{学生甲解决问题} B＝{学生乙解决问题} A、B、独立，P（A）＝P（B）＝ 此问题能够解决的概率，就是至少一个人解决问题的概率，因此有 P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB） ＝P（A）＋P（B）－P（A）P（B） ＝＋－×＝－＝由事件的独立性可推出：当事件A与B相互独立时，1°、P(B|A)＝P（B） P(A|B)＝P（A） 2°、A与, 与B, 与也相互独立。
自测题：一、 选择题： 1、一组数据为26，18，27，24，20，11，这组数据的中位数是（ ） A、22 B、27 C、21 D、24 2、用以反映数据x1，x2，…xn分散程度的是（ ） A、中位数 B、方差 C、众数 D、平均数 3、设x1，x2，…xn是一组数据，p1，p2，…pn分别是它们的权数，则这组数据的加权平均数=（ ） A、 B、C、 D、4、设A、B、C是三个事件，那么A、B、C中恰有一件发生的事件表示为（ ） A、A+B+C B、A+B+CC、 D、5、甲、乙二人射击，A、B分别表示甲、乙射中目标的事件，则事件 ＋表示（ ） A、二人都没射中 B、至少有一人没射中 C、二人都射中 D、至少有一人射中6、若等式（ ）成立，则事件A与B互不相容A、 B、A＋B＝UC、P（AB）＝P（A）P（B） D、P（A）＋P（B）＝17、设事件A、B互不相容，则以下各式一定成立的是（ ） A、A＋B＝U B、AB＝φ C、P（A）＝1－P（B） D、P（AB）＝P（A）P（B） 8、若等式（ ）成立，则事件A与B相互独立。
A、P（A＋B）＝P（A）＋P（B） B、P（A）＝1－P（B） C、P（A＋B）＝0 D、P（A|B）=P(A)9、若事件A、B和AB的概率分别为P(A)=0.5，P（B）=0.4，P（AB）＝0.3则 P（A＋B）＝（ ） A、0.3 B、0.4 C、0.5 D、0.6二、填空题：1、设x1，x2，…xn 是一组数据，则其标准差是 2、掷两颗均匀的骰子，出现点数和为5的概率是 3、设事件A与B相互独立，并且P（A＋B）＝0.9，P（B）=0.8则P（A）＝ 三、计算题： 1、设A、B是两个相互独立的随机事件，已知P（A）＝0.4，P（B）=0.7，求A与B只有一个发生的概率2、已知P（B）＝0.6，P（B）＝0.4，求P（A|B）3、已知事件A的概率P（A）＝0.4，事件的概率P（）＝0.2，事件B的概率P（B）＝0.5，求P（B|A）4、 招工时，需要通过三项考核，三项考核的通过率分别为0.6，0.8，0.85，求招工时的淘汰率。
答案：一、 选择题： 1、A 2、B 3、A 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、D二、填空题1、 2、 3、0.5三、计算题： 1、0.54 2、 3、0.75 4、0.592。