三脚架的数学原理四川省南部中学 蒲筱平三脚架是主要由三条杆材连接而成的支撑构造作为承重工具，更重要的是作为在空间中固定物体位置的固定工具，三脚架在生产和生活的各个领域都有广泛的应用关于三脚架的数学原理，我看到已有两种解释一种解释说其原理是 利用三角形的稳定性，使架于其上的物品获得一个稳定的支撑，而不 易翻倒另一种解释说其原理是利用经过不在同一条直线上的三个点， 有且只有一个平面也称为不在同一条直线上的三个点确定一个平面此说法我设想其典型化的解释：把 3 个球放在地面上，使它们不在同一条直线上〔3 个球视为不在同一条直线上的三个点〕，放一块平板〔视为平面〕在这 3 个球上〔即经过这三个点有一个平面〕，这 3 个球能支撑住平板〔即经过这三个点只有一个平面〕——虽然如此，但并不唯一地确定被支撑物的位置以上两种解释分别用初中数学的平面几何中三角形的稳定性，高中数学的立体几何中关于平面的公理解释三脚架的原理看似有理，其实是不相关的：三脚架的原理其实是用 3 条线段〔即三脚〕及 3 个点〔即脚的着地点〕确定一个点〔被支撑物〕的位置，而不是用3 条线段的长度确定三角形的外形和大小〔三角形的稳定性〕，也不是用 3 个点确定一个平面。
从数学的角度说，三脚架的原理〔不妨称为三脚架定理〕是：空间中，球心不在同一条直线上的两两相交的3 个球个球面的球心所在平面的某一侧，有且只有一个3 面的公共点，在． 现阐述如下：一、定义：图形 〔1〕球面：空间中到定点O 的距离等于定长 r(r≥0)的点的集合，称为以点O 为球心r 为半径的球面，其中定点O 称为该球面的球心，定长r 称为该球面的半径球面也是空间中到定点的距离等于定长的全部点组成的图形，还可以看作半圆绕其两个端点确定的直线旋转一周形成的图形不妨用小写希腊字母α、β、γ…等来记球面半径r=0 的球面其实是一个点，可以称为点球面，为了便利，以下提到的球面都是指r>0 的球面⑵位置关系①点与球面：设点 P 到半径为r 的球面α的球心O 的距离为d当 dr 时， 称点 P 在球面α外点P 在球面α上，也可称球面α经过点P；点P 在球面α内和点P 在球面α外都可称球面α不经过点P②直线与球面：设半径为 r 的球面α的球心 O 到直线 a 的距离为 d当dr 时，称直线 a 与球面α相离。
③平面与球面：设半径为 r 的球面α的球心 O 到平面β的距离为 d当dd；当相切α．r r④两个球面：设两球面α，α的半径分别为 ， ，两球心的距 离22111122211为d当 d> r+r 时，称球面α，α外离；当 d= r+r 时，称球面α， α?
这样可以一一对应地确定出圆与球面的 10 种位置关系二、定理1 0定理 、两球面α，α：外离时，公共点数为 ；外切时，公共 点21〔可称外切点〕数为 1，该点与两个球心在同一条直线上；相交时，有很多个公共点，全部公共组成一个圆，过两球面α，α的球心的21直线经过该圆的圆心并且垂直于该圆所在的平面；内切时，公共点〔可称内切点〕数为 1，该点与两个球心在同一条直线上；重合时，全部公共组成一个球面，此时 3 个球面重合；内含时，公共点数为 0那么圆与球面相交，假设圆与球面有且只有两个公共点，、2 定理．当球心在圆确定的平面上时，这两个公共点关于圆心与球心确定的直线对称；当球心不在圆确定的平面上时，这两个公共点连线段的中点、圆心、球心不在同一条直线上，它们确定一个平面〔记为平面Γ〕，这两个公共点关于平面Γ成镜面对称定理 3、假设圆与球面有 3 个公共点，那么它们有很多个公共点，全部公共点组成的图形就是该圆定理 4、球心不在同一条直线上的 3 个球面的公共点的数量只能为 0 或 1 或 2；当只有一个公共点时，该公共点与3 个球面的球心在同一个平面内；当有两个公共点时，这两个公共点位于 3 个球面的球心确定的平面之外，分居该平面的两侧，且关于该平面成镜面对称.由定理 4 马上可得定理 5〔三脚架定理〕：空间中，球心不在同一条直线上的两两相交的 3 个球面的公共点，在 3 个球面的球心所在平面的某一侧，有且只有一个。
三、三脚架定理的解释三脚架使用其 3 脚〔线段〕与3 个落脚点〔不在同一条直线上〕来固定 3 脚的交汇点〔下面简称交汇点〕实质是用不在同一条直线上的3 个点和 3 条线段，在 3 个点确定的平面的一侧打算一个点的位置三脚架一脚的长度及其落脚点都确定时，交汇点到该落脚点〔定点〕 的距离等于相应的脚的长度〔定长〕，因此交汇点在以落脚点为即交汇对三脚架的每一脚都如此，球心以脚的长度为半径的球面上；点是分别以 3 个落脚点为球心，相应的脚的长度为半径的 3 个球面的公共点三脚架工作时任何两脚都不在同一条直线上，它们的落脚点与交汇点形成一个三角形，依据三角形三边长度的不等关系，两落脚点〔球心〕之间的距离大于两脚长度〔半径〕之差，且小于两脚长度〔半径〕之和，因此两球面相交于是，该 3 个球面是两两相交的， 即三脚架的的交汇点是球心不在同一条直线上的两两相交的3 个球面的公共点由三脚架定理知，当 3 个落脚点不在同一条直线上时， 在它们确定的平面的一侧——通常取平面的上方〔这是由万有引力确定的〕，上述 3 个球面的公共点必定是唯一固定的，即交汇点的位置是被唯一固定的因此，当三脚架3 脚的长度与 3 个落脚点〔不在同一条直线上〕固定时，三脚架上被支撑物的位置就固定不变了。