《代数的初步知识》提高测试一 填空题（本题20分，每小题4分）：１．某水库水位原来为a米，又上升了－3 米，现在的水位是 米；２．周长为S 米的正方形，它的面积是 平方米；３．电影院共有n 排座位，每排座位比行数少12个，那么电影院共有座位 个；４．与 2x2 的和是y 的式子是 ；５．全校有师生共m人，其中老师占7%，则学生共有 人．答案：１．a－3；２．S 2；３．n（n－12 ）；４．y－2x2 ；５．m－m·7%． 二 选择题（本题30分，每小题6分）：１．用代数式表示比a 与b的差的一半小1的数表示为……………………………………（ ）（A）a－×b－1 （B）a－×b＋1 （C）×（a－b）－1 （D）×a－b－1 ２．某校有男生x人，女生y人，教师与学生人数之比为 1∶15，则教师的人数是……（ ）（A） （B）（C） （D） ３．如果 x－2＝0，那么，代数式 x3－＋1 的值是………………………………………（ ） （A） （B） （C） （D）４．甲每小时走 a 米，乙每小时走 b 米（a＞b），两人同时同向出发，t 小时后，他们相距多少米……………………………………………………………………………………………（ ）（A）（a＋ b）×t （B）t×（a －b） （C）t×a－b （D）t×b－a ５．某厂一月份产值为a万元，二月份起每月增产15%，三月份的产值可以表示为………（ ） （A）（1＋15%）２× a 万元 （B）（1＋15%）３×a万元（C）（1＋a）２×15% 万元 （D）（２＋15%）2 ×a万元答案：１．C；２．A；３．C；４．B；５．A．三 求下列代数式的值（本题10分，每小题5分）：１．×（×b） （其中a＝，）； 解：用 2b代替a，再把 a＝代入，得 ×（×b）＝ × ＝×＝× ＝；２． （其中）．解：把看作一个整体，把原式变形为含的式子，再把代入，得 ＝ ＝＝2 ＋ 4 ＝3＋ 6 ＝ 9．四 （本题10分）如图，a＝4，b＝7，求阴影部分的面积（精确到0.01，圆周率取3.14）．ab解：阴影部分是一个矩形和两个四分之一个圆的面积之差．所以，阴影部分的面积 S ＝（4＋7）×7－＝ 77 ＝ 77 ＝ 77— ＝ 25.975≈ 25.98.五 解下列方程（本题10分，每小题5分）： 1.； 2.； 解：， 解：， ， ， ， ， ； ．六 列方程解应用问题（本题20分，每小题10分）：1．把20米长的绳子截成两段，其中一段的长是另一段的三分之一，这两段绳子相差几米？解：设较长的一段的长为x米，则另一段的长为 x米，具题意，有 x＋x ＝ 20， 得 x＝15．于是可知两段之差为 10米．2．甲乙两人在400米的环行跑道上练习跑步，甲每秒钟跑6米，乙每秒钟跑4米，现甲乙同时、同地、同向出发，问几分钟后甲比乙多跑一圈？解：设 t 秒钟后甲比乙多跑一圈，依题意有方程 6t－4t＝400， 解得 t＝200（秒），即 3分20 秒后甲比乙多跑一圈．《二次根式》提高测试（一）判断题：（每小题1分，共5分）1．＝－2．…………………（ ）【提示】＝|－2|＝2．【答案】×．2．－2的倒数是＋2．（ ）【提示】＝＝－（＋2）．【答案】×．3．＝．…（ ）【提示】＝|x－1|，＝x－1（x≥1）．两式相等，必须x≥1．但等式左边x可取任何数．【答案】×．4．、、是同类二次根式．…（ ）【提示】、化成最简二次根式后再判断．【答案】√．5．，，都不是最简二次根式．（ ）是最简二次根式．【答案】×．（二）填空题：（每小题2分，共20分）6．当x__________时，式子有意义．【提示】何时有意义？x≥0．分式何时有意义？分母不等于零．【答案】x≥0且x≠9．7．化简－÷＝_．【答案】－2a．【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用．8．a－的有理化因式是____________．【提示】（a－）（________）＝a2－．a＋．【答案】a＋．9．当1＜x＜4时，|x－4|＋＝________________．【提示】x2－2x＋1＝（ ）2，x－1．当1＜x＜4时，x－4，x－1是正数还是负数？x－4是负数，x－1是正数．【答案】3．10．方程（x－1）＝x＋1的解是____________．【提示】把方程整理成ax＝b的形式后，a、b分别是多少？，．【答案】x＝3＋2．11．已知a、b、c为正数，d为负数，化简＝______．【提示】＝|cd|＝－cd．【答案】＋cd．【点评】∵ ab＝（ab＞0），∴ ab－c2d2＝（）（）．12．比较大小：－_________－．【提示】2＝，4＝．【答案】＜．【点评】先比较，的大小，再比较，的大小，最后比较－与－的大小．13．化简：(7－5)2000·(－7－5)2001＝______________．【提示】(－7－5)2001＝(－7－5)2000·（_________）[－7－5．]（7－5）·（－7－5）＝？[1．]【答案】－7－5．【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式．14．若＋＝0，则(x－1)2＋(y＋3)2＝____________．【答案】40．【点评】≥0，≥0．当＋＝0时，x＋1＝0，y－3＝0．15．x，y分别为8－的整数部分和小数部分，则2xy－y2＝____________．【提示】∵ 3＜＜4，∴ _______＜8－＜__________．[4，5]．由于8－介于4与5之间，则其整数部分x＝？小数部分y＝？[x＝4，y＝4－]【答案】5．【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算．在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了．（三）选择题：（每小题3分，共15分）16．已知＝－x，则………………（ ）（A）x≤0 （B）x≤－3 （C）x≥－3 （D）－3≤x≤0【答案】D．【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，（A）、（C）不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义．17．若x＜y＜0，则＋＝………………………（ ）（A）2x （B）2y （C）－2x （D）－2y【提示】∵ x＜y＜0，∴ x－y＜0，x＋y＜0．∴ ＝＝|x－y|＝y－x．＝＝|x＋y|＝－x－y．【答案】C．【点评】本题考查二次根式的性质＝|a|．18．若0＜x＜1，则－等于………………………（ ）（A） （B）－ （C）－2x （D）2x【提示】(x－)2＋4＝(x＋)2，(x＋)2－4＝(x－)2．又∵ 0＜x＜1，∴ x＋＞0，x－＜0．【答案】D．【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质．（A）不正确是因为用性质时没有注意当0＜x＜1时，x－＜0．19．化简a＜0得………………………………………………………………（ ）（A） （B）－ （C）－ （D）【提示】＝＝·＝|a|＝－a．【答案】C．20．当a＜0，b＜0时，－a＋2－b可变形为………………………………………（ ）（A） （B）－ （C） （D）【提示】∵ a＜0，b＜0，∴ －a＞0，－b＞0．并且－a＝，－b＝，＝．【答案】C．【点评】本题考查逆向运用公式＝a（a≥0）和完全平方公式．注意（A）、（B）不正确是因为a＜0，b＜0时，、都没有意义．（四）在实数范围内因式分解：（每小题3分，共6分）21．9x2－5y2；【提示】用平方差公式分解，并注意到5y2＝．【答案】（3x＋y）（3x－y）．22．4x4－4x2＋1．【提示】先用完全平方公式，再用平方差公式分解．【答案】(x＋1)2(x－1)2．（五）计算题：（每小题6分，共24分）23．（）（）；【提示】将看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式．【解】原式＝()2－＝5－2＋3－2＝6－2．24．－－；【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式．【解】原式＝－－＝4＋－－－3＋＝1．25．（a2－＋）÷a2b2；【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展开，最后合并同类二次根式．【解】原式＝（a2－＋）·＝－＋＝－＋＝．26．（＋）÷（＋－）（a≠b）．【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分．【解】原式＝÷＝÷＝·＝－．【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐．（六）求值：（每小题7分，共14分）27．已知x＝，y＝，求的值．【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值．【解】∵ x＝＝＝5＋2，y＝＝＝5－2．∴ x＋y＝10，x－y＝4，xy＝52－(2)2＝1．＝＝＝＝．【点评】本题将x、y化简后，根据解题的需要，先分别求出“x＋y”、“x－y”、“xy”．从而使求值的过程更简捷．28．当x＝1－时，求＋＋的值．【提示】注意：x2＋a2＝，∴ x2＋a2－x＝（－x），x2－x＝－x（－x）．【解】原式＝－＋＝＝=＝＝．当x＝1－时，原式＝＝－1－．【点评】本题如果将前两个“分式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便．即原式＝－＋＝－＋＝．七、解答题：（每小题8分，共16分）29．计算（2＋1）（＋＋＋…＋）．【提示】先将每个部分分母有理化后，再计算．【解】原式＝（2＋1）（＋＋＋…＋）＝（2＋1）[（）＋（）＋（）＋…＋（）]＝（2＋1）（）＝9（2＋1）．【点评】本题第二个括号内有99个不同分母，不可能通分．这里采用的是先分母有理化，将分母化为整数，从而使每一项转化成两数之差，然后逐项相消．这种方法也叫做裂项相消法．30．若x，y为实数，且y＝＋＋．求－的值．【提示】要使y有意义，必须满足什么条件？你能求出x，y的值吗？【解】要使y有意义，必须，即∴ x＝．当x＝时，y＝．又∵ －＝－＝||－||∵ x＝，y＝，∴ ＜．∴ 原式＝－＝2当x＝，y＝时，原式＝2＝．【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出x的值，进而求出y的值．《二元一次方程组》提高测试（一）填空题（每空2分，共28分）：1．已知（a－2）x－by|a|－1＝5是关于x、y 的二元一次方程，则a＝______，b＝_____．【提示】要满足“二元”“一次”两个条件，必须a－2≠0，且b ≠0，及| a|－1＝1．【答案】a＝－2，b≠0．2．若|2a＋3b－7|与（2a＋5b－1）2互为相反数，则a＝______，b＝______．【提示】由“互为相反数”，得|2a＋3 b－7|＋（2a＋5b－1）2＝0，再解方程组【答案】a＝8，b＝－3．3．二元一次方程3x＋2y＝15的正整数解为_______________．【提示】将方程化为y＝，由y＞0、x＞0易知x比0大但比5小，且x、y均为整数．【答案】，4．2x－3y＝4x－y＝5的解为_______________．【提示】解方程组．【答案】5．已知是方程组的解，则m2－n2的值为_________．【提示】把代入方程组，求m，n 的值．【答案】－．6．若满足方程组的x、y的值相等，则k＝_______．【提示】作y＝x的代换，先求出x、y 的值．【答案】k＝．7．已知＝＝，且a＋b－c＝，则a＝_______，b＝_______，c＝_______．【提示】即作方程组，故可设a＝2 k，b＝3 k，c＝ 4 k，代入另一个方程求k的值． 【答案】a＝，b＝，c＝．【点评】设“比例系数”是解有关数量比的问题的常用方法．8．解方程组，得x＝______，y＝______，z＝______．【提示】根据方程组的特征，可将三个方程左、右两边分别相加，得2 x＋3 y＋z＝6，再与3 y＋z＝4相减，可得x．【答案】x＝1，y＝，z＝3．（二）选择题（每小题2分，共16分）：9．若方程组的解互为相反数，则k 的值为…………………（ ）（A）8 （B）9 （C）10 （D）11【提示】将y＝－x代入方程2 x－y＝3，得x＝1，y＝－1，再代入含字母k 的方程求解．【答案】D．10．若，都是关于x、y的方程|a|x＋by＝6的解，则a＋b的值为（ ）（A）4 （B）－10 （C）4或－10 （D）－4或10【提示】将x、y 对应值代入，得关于| a|，b 的方程组【答案】C．【点评】解有关绝对值的方程，要分类讨论．11．关于x，y 的二元一次方程ax＋b＝y 的两个解是，，则这个二元一次方程是……………………（ ）（A）y＝2x＋3 （B）y＝2x－3（C）y＝2x＋1 （D）y＝－2x＋1【提示】将x、y的两对数值代入ax＋b＝y，求得关于a、b的方程组，求得a、b 再代入已知方程．【答案】B．【点评】通过列方程组求待定字母系数是常用的解题方法．12．由方程组可得，x∶y∶z是………………………………（ ）（A）1∶2∶1 （B）1∶（－2）∶（－1）（C）1∶（－2）∶1 （D）1∶2∶（－1）【提示】解方程组时，可用一个未知数的代数式表示另外两个未知数，再根据比例的性质求解．【答案】A．【点评】当方程组未知数的个数多于方程的个数时，把其中一个未知数看作已知常数来解方程组，是可行的方法．13．如果是方程组的解，那么，下列各式中成立的是…（ ）（A）a＋4c＝2 （B）4a＋c＝2 （C）a＋4c＋2＝0 （D）4a＋c＋2＝0【提示】将代入方程组，消去b，可得关于a、c 的等式．【答案】C．14．关于x、y的二元一次方程组没有解时，m 的值是…………（ ）（A）－6 （B）－6 （C）1 （D）0【提示】只要满足m∶2＝3∶（－1）的条件，求m 的值．【答案】B．【点评】对于方程组，仅当＝≠时方程组无解．15．若方程组与有相同的解，则a、b的值为（ ）（A）2，3 （B）3，2 （C）2，－1 （D）－1，2【提示】由题意，有“相同的解”，可得方程组，解之并代入方程组，求a、b．【答案】B．【点评】对方程组“解”的含义的正确理解是建立可解方程组的关键．16．若2a＋5b＋4z＝0，3a＋b－7z＝0，则a＋b－c的值是……………………（ ）（A）0 （B）1 （C）2 （D）－1【提示】把c看作已知数，解方程组用关于c 的代数式表示a、b，再代入a＋b－c．【答案】A．【点评】本题还可采用整体代换（即把a＋b－c看作一个整体）的求解方法．（三）解方程组（每小题4分，共16分）：17．【提示】将方程组化为一般形式，再求解．【答案】18．【提示】将方程组化为整系数方程的一般形式，再用加减法消元．【答案】19．【提示】用换元法，设x－y＝A，x＋y＝B，解关于A、B 的方程组，进而求得x，y．【答案】20．【提示】 将三个方程左，右两边分别相加，得4x－4y＋4z＝8，故 x－y＋z＝2 ④，把④分别与第一、二个方程联立，然后用加、减消元法即可求得x、z 的值．【答案】（四）解答题（每小题5分，共20分）:21．已知，xyz ≠0，求的值．【提示】把z看作已知数，用z的代数式表示x、y，可求得x∶y∶z＝1∶2∶3．设x＝k，y＝2 k，z＝3 k，代入代数式．【答案】．【点评】本题考查了方程组解法的灵活运用及比例的性质．若采用分别消去三个元可得方程21 y－14 z＝0，21 x－7 z＝0，14 x－7 y＝0，仍不能由此求得x、y、z的确定解，因为这三个方程不是互相独立的．22．甲、乙两人解方程组，甲因看错a，解得，乙将其中一个方程的b 写成了它的相反数，解得，求a、b 的值．【提示】可从题意的反面入手，即没看错什么入手．如甲看错a，即没看错b，所求得的解应满足4 x－by＝－1；而乙写错了一个方程中的b，则要分析才能确定，经判断是将第二方程中的b 写错．【答案】a＝1，b＝3．23．已知满足方程2 x－3 y＝m－4与3 x＋4 y＝m＋5的x，y也满足方程2x＋3y＝3m－8，求m 的值．【提示】由题意可先解方程组用m 的代数式表示x，y再代入3 x＋4 y＝m＋5．【答案】m＝5．24．当x＝1，3，－2时，代数式ax2＋bx＋c 的值分别为2，0，20，求：（1）a、b、c 的值；（2）当x＝－2时，ax2＋bx＋c 的值．【提示】由题得关于a、b、c 的三元一次方程组，求出a、b、c 再代入这个代数式．【答案】a＝1，b＝－5，c＝6；20．【点评】本例若不设第一问，原则上也应在求出a、b、c 后先写出这个代数式，再利用它求值．用待定系数法求a、b、c ，是解这类问题常用的方法．（五）列方程组解应用题（第1题6分，其余各7分，共20分）:25．有一个三位整数，将左边的数字移到右边，则比原来的数小45；又知百位上的数的9倍比由十位上的数与个位上的数组成的两位数小3．求原来的数．【提示】设百位上的数为x，由十位上的数与个位上的数组成的两位数为y，根据题意，得【答案】x＝4，y＝39，三位数是439．【点评】本例分别设十位上的数和个位上的数为不同的未知数，无论从列方程组还是解方程组都更加简捷易行．26．某人买了4 000元融资券，一种是一年期，年利率为9%，另一种是两年期，年利率是12%，分别在一年和两年到期时取出，共得利息780元．两种融资券各买了多少？【提示】若设一年期、二年期的融资券各买x 元，y 元，由题意，得【答案】x＝1 200，y＝2 800．【点评】本题列方程组时，易将二年期的融资券的利息误认为是y元，应弄清题设给出的是年利率，故几年到期的利息应该乘几．27．汽车从A 地开往B 地，如果在原计划时间的前一半时间每小时驶40千米，而后一半时间由每小时行驶50千米，可按时到达．但汽车以每小时40千米的速度行至离AB 中点还差40千米时发生故障，停车半小时后，又以每小时55千米的速度前进，结果仍按时到达B 地．求AB 两地的距离及原计划行驶的时间．【提示】设原计划用x 小时，AB 两地距离的一半为y 千米，根据题意，得【答案】x＝8，2y＝360．【点评】 与本例中设AB 两地距离的一半为y 千米一样，也可设原计划的一半时间为x 小时．恰当地设未知数，可以使列方程组和解方程组都更加简便．《分式》提高测试一 判断下列各分式中x取什么值时，分式的值为0？x取什么值时，分式无意义（本题15分，每小题5分）： １．； 2．； 3．．参考答案： 1．x＝－2使分子为0，但不使分母为0，所以当x＝－2时分式的值为0；当x＝3或 x＝1 时，使分母为0，分式无意义；2．x＝±2使分子为0，但不使分母为0，所以当x＝±2时分式的值为0；又由于x取任意值时分式的分母都不为0，所以x取任意值时分式都有意义； 3．x＝－1使分子为0，但不使分母为0，所以当x＝－1时分式的值为0；应当注意，不仅应使 x－2 不为0，而且应使 不为0，所以应有x≠2且x≠.二 化简(本题40分，每小题8分)： 1．； 解： ＝ ＝； 2．； 解： ＝ － ＝ 2； 3．； 解： ＝ ＝ ＝ ； 4．； 解：＝ ＝ ＝ ； 5．. 解： ＝ ＝ ．三 解下列分式方程（本题20分，每小题10分）：1．； 解：， ， ， ， ；2．. 解：， ， ， ， ．四 (本题10分)车间有甲、乙两个小组，甲组的工作率比乙组的高25%，因此甲组加工2000个零件所用的时间比乙组加工1800个零件所用的时间还少30分钟，问两组每小时各加工多少零件？解：设乙组的工作率为每小时x个，则甲组的工作率为每小时（１＋25%）x个，依题意，有 解得x＝400所以，甲组每小时各加工500个，乙组每小时各加工400个．五 甲、乙两人各走14千米，甲比乙早半小时走完全程．已知甲与乙速度的比为8∶7，求两人的速度各是多少？解：设甲的速度为x千米/时，则乙的速度为x千米/时，依题意，有 解得x＝4所以，甲速度为4千米/时，乙速度为千米/时.《函数》提高测试（一）选择题（每题4分，共32分）1．直线y＝3 x－1与y＝x－k 的交点在第四象限，则k 的范围是………………（ ）（A）k＜ （B）＜k＜1 （C）k＞1 （D）k＞1或k＜1【提示】由，解得因点在第四象限，故＞0，＜0．∴ ＜k＜1．【答案】B．【点评】本题应用了两函数图象交点坐标的求法，结合了不等式组的解法、象限内点的坐标符号特征等．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象如图，则下列各式中成立的个数是…………（ ）（1）abc＜0； （2）a＋b＋c＜0； （3）a＋c＞b； （4）a＜－．（A）1 （B）2 （C）3 （D）4【提示】由图象知a＜0，－＞0，故b＞0，而c＞0，则abc＜0．当x＝1时，y＞0，即a＋c－b＞0；当x＝－1时，y＜0，即a＋c－b＜0．【答案】B．【点评】本题要综合运用抛物线性质与解析式系数间的关系．因a＜0，把（4）a＜－两边同除以a，得1＞－，即－＜1，所以（4）是正确的；也可以根据对称轴在x＝1的左侧，判断出－＜1，两边同时乘a，得a＜－，知（4）是正确的．3．若一元二次方程x2－2 x－m＝0无实数根，则一次函数y＝（m＋1）x＋m－1的图象不经过…………………………………………………………………………………（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限【提示】由D ＝4＋4 m＜0，得m＋1＜0，则m－1＜0，直线过第二、三、四象限．【答案】A．【点评】本题综合运用了一元二次方程根的判别式及一次函数图象的性质．注意，题中问的是一次函数图象不经过的象限．4．如图，已知A，B 是反比例函数y＝的图象上两点，设矩形APOQ 与矩形MONB 的面积为S1，S2，则………………………………………………………………（ ）（A）S1＝S2 （B）S1＞S2 （C）S1＜S2 （D）上述（A）、（B）、（C）都可能【提示】因为SAPOQ＝|k|＝2，SMONB＝2，故S1＝S2．【答案】A．【点评】本题可以推广为：从双曲线上任意一点向两坐标轴引垂线，由这点及两个垂足和原点构成的矩形的面积都等于|k|．5．若点A（1，y1），B（2，y2），C（p，y3）在反比例函数y＝－的图象上，则（ ）（A）y1＝y2＝y3 （B）y1＜y2＜y3 （C）y1＞y2＞y3 （D）y1＞y3＞y2【提示】因－（k2＋1）＜0，且－（k2＋1）＝y1＝2 y2＝p y3，故y1＜y2＜y3．或用图象法求解，因－（k2＋1）＜0，且x 都大于0，取第四象限的一个分支，找到在y 轴负半轴上y1，y2，y3 的相应位置即可判定．【答案】B．【点评】本题是反比例函数图象的性质的应用，图象法是最常用的方法．在分析时应注意本题中的－（k2＋1）＜0．6．直线y＝ax＋c 与抛物线y＝ax2＋bx＋c 在同一坐标系内大致的图象是……（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】两个解析式的常数项都为c，表明图象交于y 轴上的同一点，排除（A），（B）．再从a 的大小去判断．【答案】D．【点评】本题综合运用了一次函数、二次函数的性质．（B）错误的原因是由抛物线开口向上，知a＞0，此时直线必过第一、三象限．7．已知函数y＝x2－1840 x＋1997与x 轴的交点是（m，0）（n，0），则（m2－1841 m＋1997）（n2－1841 n＋1997）的值是……………………………………………（ ）（A）1997 （B）1840 （C）1984 （D）1897【提示】抛物线与x 轴交于（m，0）（n，0），则m，n 是一元二次方程x2－1840 x＋1997＝0的两个根．所以m2－1840 m＋1997＝0，n2－1840 n＋1997＝0，mn＝1997．原式＝［（m2－1840 m＋1997）－m］［（n2－1840 n＋1997）－n］＝mn＝1997．【答案】A．【点评】本题揭示了二次函数与一元二次方程间的联系，应用了方程的根的定义、根与系数的关系等知识点，并要灵活地把所求代数式进行适当的变形．8．某乡的粮食总产量为a（a 为常数）吨，设这个乡平均每人占有粮食为y（吨），人口数为x，则y 与x 之间的函数关系为……………………………………………（ ）（A） （B） （C） （D）【提示】粮食总产量一定，则人均占有粮食与人口数成反比，即y＝．又因为人口数不为负数，故图象只能是第一象限内的一个分支．【答案】D．【点评】本题考查反比例函数图象在实际问题中的应用．（A）错在画出了x＜0时的图象，而本题中x 不可能小于0．（二）填空题（每小题4分，共32分）9．函数y＝＋的自变量x 的取值范围是____________．【提示】由2 x－1≥0，得x≥；又x－1≠0，x≠1．综合可确定x 的取值范围．【答案】x≥，且x≠1．10．若点P（a－b，a）位于第二象限，那么点Q（a＋3，ab）位于第_______象限．【提示】由题意得a＞0，a－b＜0，则b＞0．故a＋3＞0，ab＞0．【答案】一．11．正比例函数y＝k（k＋1）的图象过第________象限．【提示】由题意得k2－k－1＝1，解得k1＝2，k2＝－1（舍去），则函数为y＝6 x．【答案】一、三．【点评】注意求出的k＝－1使比例系数为0，应舍去．12．已知函数y＝x2－（2m＋4）x＋m2－10与x 轴的两个交点间的距离为2，则m＝___________．【提示】抛物线与x 轴两交点间距离可应用公式来求．本题有＝＝＝2，故m＝－3．【答案】－3．【点评】抛物线与x 轴两交点间距离的公式为，它有着广泛的应用．13．反比例函数y＝的图象过点P（m，n），其中m，n 是一元二次方程x2＋kx＋4＝0的两个根，那么P 点坐标是_____________．【提示】P（m，n）在双曲线上，则k＝xy＝mn，又mn＝4，故k＝4．【答案】（－2，－2）．【点评】本题是反比例函数、一元二次方程知识的综合应用．由题意得出k＝mn＝4是关键．14．若一次函数y＝kx＋b 的自变量x 的取值范围是－2≤x≤6，相应函数值y 的范围是－11≤y≤9，则函数解析式是___________．【提示】当k＞0时，有，解得当k＜0时，有，解得【答案】y＝x－6或y＝－x＋4．【点评】因k 是待定字母，而k 的不同取值，导致线段分布象限不一样，自变量的取值与函数取值的对应关系也就不同．故本例要分k＞0时自变量最大值对应函数最大值，与k＜0时自变量最大值对应函数最小值两种情形讨论．15．公民的月收入超过800元时，超过部分须依法缴纳个人收入调节税，当超过部分不足500元时，税率（即所纳税款占超过部分的百分数）相同．某人本月收入1260元，纳税23元，由此可得所纳税款y（元）与此人月收入x（元）800＜x＜1300间的函数关系为____________．【提示】因1260－800＝460，＝5%，故在800＜x＜1300时的税率为5%．【答案】y＝5%（x－800）．【点评】本题是与实际问题相关的函数关系式，解题时应注意并不是每个人月收入的全部都必须纳税，而是超过800元的部分才纳税，故列函数式时月收入x须减去800．16．某种火箭的飞机高度h（米）与发射后飞行的时间t（秒）之间的函数关系式是h＝－10 t2＋20 t，经过_________秒，火箭发射后又回到地面．【提示】火箭返回地面，即指飞行高度为0，则－10 t2＋20 t＝0，故t＝0或t＝20．【答案】20．【点评】注意：t＝0应舍去的原因是此时火箭虽在地面，但未发射，而不是返回地面．（三）解答题17．（6分）已知y＝y1＋y2，y1 与x 成正比例，y2 与x 成反比例，并且x＝1时y＝4，x＝2时y＝5，求当x＝4时y 的值．【解】设y1＝k1x，y2＝，则y＝k1x＋．把x＝1时y＝4，x＝2时y＝5分别代入上式，得，解得∴ 函数解析式为y＝2 x＋．当x＝4时，y＝2×4＋＝．∴ 所求的y 值为．【点评】本题考查用待定系数法求函数解析式．关键在于正确设出y1，y2 与x 的函数解析式．注意两个比例系数应分别用k1，k2 表示出来，而不能仅用一个k 值表示．18．（6分）若函数y＝kx2＋2（k＋1）x＋k－1与x 轴只有一个交点，求k 的值．【提示】本题要分k＝0，k≠0两种情况讨论．【解】当k＝0时，y＝2 x－1，是一次函数，此时，直线与x 轴必有一个交点．当k≠0时，函数为二次函数，此时，D ＝4（k＋1）2－4 k（k－1）＝12 k＋4＝0．∴ k＝－．∴ 所求的k 值为0或－．【点评】注意，当问题中未指明函数形式，而最高次项系数含字母时，要注意这个系数是否为0．函数图象与x 轴有一个交点包括两种情形：当函数是一次函数时，直线与x 轴必只有一个交点；当函数是二次函数时，在D ＝0的条件下，图象与x 轴只有一个交点．19．（8分）已知正比例函数y＝4 x，反比例函数y＝．（1）当k 为何值时，这两个函数的图象有两个交点？k 为何值时，这两个函数的图象没有交点？（2）这两个函数的图象能否只有一个交点？若有，求出这个交点坐标；若没有，请说明理由．【解】由y＝4 x 和y＝，得4 x2－k＝0，D ＝16 k．（1）当D ＞0，即k＞0时，两函数图象有两个交点； 当D ＜0，即k＜0时，两函数图象没有交点；（2）∵ 比例系数k≠0，故D ≠0． ∴ 两函数图象不可能只有一个交点．20．（8分）如图是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的一个示意图，横断面的地平线为x 轴，横断面的对称轴为y 轴，桥拱的D′GD 部分为一段抛物线，顶点G 的高度为8米，AD 和AD′是两侧高为5.5米的立柱，OA 和OA′为两个方向的汽车通行区，宽都为15米，线段CD 和CD′为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4．（1）求桥拱DGD′所在抛物线的解析式及CC′的长．（2）BE 和B′E′为支撑斜坡的立柱，其高都为4米，相应的AB 和A′B′为两个方向的行人及非机动车通行区，试求AB 和A′B′的宽．（3）按规定，汽车通过桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不可小于0.4米，今有一大型运货汽车，装载上大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与地面的距离为7米，它能否从OA（OA′）安全通过？请说明理由．【分析】欲求函数的解析式，关键是求出三个独立的点的坐标，然后由待定系数法求之．所以关键是由题中线段的长度计算出D、G、D′的坐标，当然也可由对称轴x＝0解之．至于求CC′、AB、A′B′的数值，则关键是由坡度的定义求解之；到底能否安全通过，则只需在抛物线的解析式中令x＝4，求出相应的y 值，即可作出明确的判断．【解】（1）由题意和抛物线的对称轴是x＝0，可设抛物线的解析式为y＝ax2＋c．由题意得G（0，8），D（15，5.5）∴ ∴ ∴ y＝＋8．又 ＝且AD＝5.5，∴ AC＝5.5×4＝22（米）．∴ CC′＝2C＝2×（OA＋AC）＝2×（15＋22）＝74（米）．∴ CC′的长是74米．（2）∵ ＝，BE＝4，∴ BC＝16．∴ AB＝AC－BC＝22－16＝6（米）．A′B′＝AB＝6（米）．（3）此大型货车可以从OA（OA′）区域安全通过．在y＝＋8中，当x＝4时，y＝－×16＋8＝，而－（7＋0.4）＝＞0，∴ 可以从OA 区域安全通过．21．（8分）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c 的图象抛物线G 经过（－5，0），（0，），（1，6）三点，直线l 的解析式为y＝2 x－3．（1）求抛物线G 的函数解析式；（2）求证抛物线G 与直线l 无公共点；（3）若与l 平行的直线y＝2 x＋m 与抛物线G 只有一个公共点P，求P 点的坐标．【分析】（1）略；（2）要证抛物线G 与直线l 无公共点，就是要证G 与l 的解析式组成的方程无实数解；（3）直线y＝2 x＋m 与抛物线G 只有一个公共点，就是由它们的解析式组成的二元二次方程组有一个解，求出这组解，就得P 点的坐标．【解】（1）∵ 抛物线G 通过（－5，0），（0，），（1，6）三点，∴ ，解得 ∴ 抛物线G的解析式为y＝x2＋3 x＋．（2）由，消去y，得x2＋x＋＝0，∵ D＝12－4××＝－10＜0，∴ 方程无实根，即抛物线G 与直线l 无公共点．（3）由，消去y，得 x2＋x＋－m＝0． ①∵ 抛物线G 与直线y＝2 x＋m 只有一个公共点P，∴ D ＝12－4××（－m）＝0．解得m＝2．把m＝2代入方程①，解得x＝－1．把x＝－1代入y＝x2＋3 x＋，得y＝0．∴ P（－1，0）．【点评】本题综合运用了二次函数解析式的求法．抛物线与直线的交点等知识，其关键是把函数问题灵活转化为方程知识求解．《解直角三角形》提高测试一 选择题（本题15分，每小题3分）：1．下列相等、不等关系中，成立的是…………………………………………………（ ）（A）sin60°＞cos30°，tan30°＜cot60° （B）sin60°＞cos30°，tan30°＞cot60°（C）sin60°－cos30°＝tan30°－cot60°＝0 （D）sin260°＋cos230°＝1 ２．的值等于……………………………………………………（ ）（A）－1－ （B）－ （C） （D）1＋ ３．当锐角≤45°时，角的正切和余切值的大小关系应是……………………（ ） （A）tan≤cot （B）tan≥cot （C）tan＝cot （D）不确定 ４．在直角三角形中，各边的长度都扩大3倍，则锐角A的四个三角形函数的值（ ）（A）也扩大3倍 （B）缩小为原来的 （C）都不变 （D）有的扩大，有的缩小 ５．在三角形ABC中，C为直角，sinA＝，则tanB 的值为…………………（ ）（A） （B） （C） （D）答案：１．Ｃ；２．Ｄ；３．Ａ；４．Ｃ；５．Ｄ．二 填空题（本题20分，每小题4分）：１．已知tan＝，是锐角，则sin＝ ；２．等于1的三角函数有 ；３．＝ ；４．cos2（50°＋）＋cos2（40°－）－tan（30°－）tan（60°＋）＝ ；５．a3tan45°＋a2btan260°＋3ab2cot260°＝ ．答案： １．；２．sin90°，cos0°，tan45°，cot45°；３．tan50°－tan40°；４．0；５．a（a＋b）2.三 解下列直角三角形（本题32分，第小题8分）：在直角三角形ABC中，∠C＝90°：△１．已知：b＝，；解：S△ABC＝， a＝10．∴ tanA＝． ∴ ∠A＝60°，∠B＝30°，∴ c＝2b＝2 ＝．２．已知：∠B＝45°，a＋b＝10；解：依题意，∠A＝∠B＝45°，所以 a＝b＝5；由 sinA＝sin45°＝ 得∴ ， c＝．３．已知：c边上的高h＝4，b＝5；解：依题意，有 ∠A≈53°8′，B≈36°52′； 另一方面，有 a＝b tan A＝5× ＝5× ∴ sinA＝， c＝ ４．已知：B＝30°，CD为AB边上的高，且CD＝4． 解：如图，CD＝4，在Rt△CDB 中，有 BC＝a＝，A＝60°； 另一方面，有 ∴ c＝ ．四 （本题16分）在四边形ABCD中，AC恰好平分∠A，AB＝21，AD＝9，BC＝CD＝10，试求AC的长．略解：利用角平分线的性质，构造直角三角形：作CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，易证CEB≌△CFD，则有EB＝FD；又可证△CEA≌△CFA，于是由 AE＝AF 可得21－EB＝9＋FD，∴ EB＝FD＝6； 在Rt△AFC中，有 AC＝ ＝. 五 （本题17分）一艘船向正东方先航行，上午10点在灯塔的西南方向k海里处，到下午2点时航行到灯塔的东偏南60°的方向，画出船的航行方位图，并求出船的航行速度．解：如图，依题意，灯塔位于P点，船丛A 点向东航行，12点到达C点，NP A BC且有 PB⊥AC，A＝45°，∠BPC＝30°；于是，在△ABP中，有 AB＝PB＝AP cos45° ＝k .在△PBC中，又有 BC＝PB tan30° ＝k， 所以 AC＝. 可知船的航行速度为 ．《三角形》提高测试一 判断题（本题10分，每小题2分）１．三角形三条高的交点不在三角形内就在三角形外…………………………………（ ）２．如果一个三角形的周长为35cm，且其中两边都等于第三边的2倍，那么这个三角形的最短边为7……………………………………………………………………………（ ）３．一个三角形的一个外角小于和它相邻的一个内角，那么这个三角形是钝角三角形………………………………………………………………………………………（ ）４．三角形的外角中，至少有1个是钝角………………………………………………（ ）５．三条线段a，b，c中，a＝5，b＝3，c的长是整数，以a，b，c为边组成三角形的个数共有5个…………………（ ）答案：１．×；２．√；３．√；４．×；５．√．二 填空题（本题20分，每小题4分）：１．△ABC中，∠A＝2∠B，∠C＝∠A＋∠B＋12°，则∠A＝ ，∠B＝ ，∠C＝ ；２．如图1，l1∥l2， ∠＝142°，∠＝73°，则∠＝ ；３．直角三角形两锐角的平分线所夹的钝角的度数为 ；４．△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，AB＝10，则BC＝ ；ABCDE５．如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，∠CAD＝40°，∠CEA＝70°，则∠EAB＝ .图1 图2答案：１．56°，28°，96°； ２．35°；３．135°；４．5；５．20°．三 选择题（本题20分，每小题5分）：１．在下列四个结论中，正确的是……………………………………………………（ ）（A）三角形的三个内角中最多有一个锐角（B）等腰三角形的底角一定大于顶角（C）钝角三角形最多有一个锐角（D）三角形的三条内角平分线都在三角形内２．四条线段的长度分别为4、6、8、10，可以组成三角形的组数为……………（ ）（A）4 （B）3 （C）2 （D）1３．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别是AB、AC的中点，BE、CD交于G，AG的延长线交BC于F，那么图中全等三角形的对数是……………………………………………（ ）（A）4对 （B）5对 （C）6对 （D）7对４．如图4，∠B＝60°，∠C＝40°，∠BDC＝3∠A，则∠A的度数为…………（ ）（A）80° （B）30° （C）50° （D）无法确定５．如图5，AE与BF交于C，且AB＝AC，CE＝CF．∠E＝．那么，∠A用可以表示成…………………………………（ ）（A）180°－ （B）180°－ 4 （C）2－180° （D）4－180°ABCD图3 图4 答案：１．Ｄ；２．Ｂ；３．Ｄ；４．Ｃ；５．Ｄ．四 （本题10分）如图，等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AD为腰CB上的中线，CE⊥AD交AB于E．求证∠CDA＝∠EDB．提示：作CF⊥AB于F，则∠ACF＝45°，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AD，于是，由∠ACG＝∠B＝45°，AB＝AC ，且易证∠1＝∠2，由此得△AGC≌△CEB（ASA）．再由CD＝DB，CG＝BE，∠GCD＝∠B，又可得△CGD≌△BED（SAS），ABCDFGE123456则可证∠CDA＝∠EDB．五 如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．∠A＝60°．求∠ECF、∠FEC的度数．略解：因为 ∠A＝60°，所以 ∠2＋∠3＝（180°－60°）＝60°；又因为 B、C、D是直线，所以 ∠4＋∠5＝90°；于是 ∠FEC＝∠2＋∠3＝60°，∠FCE＝∠4＋∠5＝90°，∠FEC＝60°．ABCDEFG六 在Rt△ABC中，∠A＝90°，CE是角平分线，和高AD相交于F，作FG∥BC交AB于G，求证：AE＝BG．略解：作EH⊥BC于H，由于E是角平分线上的点，可证 AE＝EH ；且又由 ∠AEC＝∠B＋∠ECB＝∠CAD＋∠ECA＝∠AFE可证 AE＝AF，于是由 AF＝EH，∠AFG＝∠EHB＝90°，∠B＝∠AGF．ABCDEFGH可得 △AFG≌△EHB；所以 AG＝EB，即 AE＋EG＝BG＋GE，所以 AE＝BG．《数的开方》提高测试（一）判断题（每小题2分，共16分）1．两个正数，大数的平方根也较大 ………………………………………………（ ）2．5.050050005是有理数……………………………………………………………（ ）3．算术平方根最小的实数是0………………………………………………………（ ）4．因为－的绝对值是，所以绝对值等于的数一定是－…………（ ）5．有理数与无理数的积是无理数……………………………………………………（ ）6．实数中既无最大的数又无最小的数………………………………………………（ 。