在物理学里，连续性方程（continuity equation）乃是描述守恒量传输行为的偏微分方程由于在各自适当条件下，质量、能量、动量、电荷等等，都是守恒量，很多种传输行为都可以用连续性方程来描述连续性方程乃是局域性的守恒定律方程与全域性的守恒定律相比，这种守恒定律比较强版在本条目内的所有关于连续性方程的范例都表达同样的点子──在任意区域内某种守恒量总量的改变，等于从边界进入或离去的数量；守恒量不能够增加或减少，只能够从某一个位置迁移到另外一个位置每一种连续性方程都可以以积分形式表达（使用通量积分），描述任意有限区域内的守恒量；也可以以微分形式表达（使用散度算符），描述任意位置的守恒量应用散度定理，可以从微分形式推导出积分形式，反之亦然微分形式[编辑]一般的连续性方程，其微分形式为∂φ ∂t +∇⋅f=s ；其中，φ 是某物理量 q 的密度（物理量每单位体积），f 是 q 的流量密度（物理量每单位面积每单位时间）的矢量函数（vector function），s 是 q 的生成量每单位体积每单位时间假若 s>0 则称 s 为“源点”；假若 s<0 则称 s 为“汇点”。
假设 φ 是守恒量，不能够生成或湮灭（例如，电荷），则 s=0 ，连续性方程变为∂φ ∂t +∇⋅f=0 从简单的“能量连续性方程”到复杂的纳维-斯托克斯方程，这方程可以用来表示任意连续性方程这方程也是平流方程（advection equation）的推广其它物理学里的方程，像电场的高斯定律或高斯引力定律（Gauss' law for gravity），都具有类似连续性方程的数学形式，但是通常不会称为连续性方程，因为 f 并不代表真实物理量的流动积分形式[编辑]在连续性方程的积分形式里，S 是包住体积 V 的任意闭曲面如同图内左边的曲面（以蓝色显示），S 没有边界；而图内右边的曲面都有边界（以红色显示）根据散度定理，连续性方程可以写为等价的积分形式：dQ dt +∮ S f⋅da=S ；其中，S 是包住体积 V 的任意固定（不随时间改变）闭曲面，Q 是在体积 V 内的 q 总量，S=∫ V s d 3 r 是在积分体积 V 内源点与汇点的总生成量每单位时间，da 是微小面矢量积分元素举一简例，假设 V 是台北101大楼，Q 是在大楼内某时间的总人数，S 是由门口、墙壁、屋顶、地基等等，共同组成的曲面，则连续性方程表明，当人们进入大楼时（代表穿过曲面的内向通量），或当大楼里面的孕妇生产时（代表源点的 s>0 ），在大楼里面的总人数会增加；而当人们离开大楼时（代表穿过曲面的外向通量），在大楼里面的总人数会减少。
电磁理论[编辑]主条目：电荷守恒在电磁理论里，连续性方程可以视为一条经验定律，表达局域电荷守恒，或是从麦克斯韦方程组推导出的结果电荷连续性方程”表明，电荷密度 ρ 的变率与电流密度 J 的散度，两者的代数和等于零：∂ρ ∂t +∇⋅J=0 导引[编辑]麦克斯韦-安培方程为∇×B=μ 0 J+μ 0 ϵ 0 ∂E ∂t ；其中，B 是磁场，E 是电场，μ 0 是磁常数，ϵ 0 是电常数取散度于方程的两边，由于旋度的散度必是零，0=μ 0 ∇⋅J+μ 0 ϵ 0 ∂(∇⋅E) ∂t 高斯定律的方程为∇⋅E=ρ/ϵ 0 将这方程代入，可以得到∂ρ ∂t +∇⋅J=0 电流是电荷的流量连续性方程可以这样论述：假若电荷从某微小体积元素移动出去（电流密度的散度是正值），则在那微小体积元素内的总电荷量会减少，电荷密度的变率是负值从这解释可以察觉，连续性方程就是电荷守恒四维电流[编辑]四维电流密度定义为J α = def (cρ,J)=(cρ,J x ,J y ,J z ) ；其中，α 标记哪一个时空坐标，c 是光速电荷守恒可以简洁地表达为四维电流密度的散度，即连续性方程∂ α J α =0 ；其中，∂ α = def (∂ ∂r 0 ,∂ ∂r 1 ,∂ ∂r 2 ,∂ ∂r 3 )=(∂ c∂t ,∂ ∂x ,∂ ∂y ,∂ ∂z ) 。
流体力学[编辑]在流体力学里，连续性方程表明，在任何稳定态过程中，质量进入物理系统的速率等于离开的速率[1][2]连续性方程类比于电路学的基尔霍夫电流定律质量连续性方程”的微分形式为[1]∂ρ ∂t +∇⋅(ρu)=0 ；其中，ρ 是流体质量密度，u 是流速矢量场，两者相乘后为质量通量假设流体是不可压缩流，则密度 ρ 是常数，质量连续性方程简化为体积连续性方程：[1]∇⋅(u)=0 这意味着，在所有位置，速度场的散度等于零；也就是说，局域的体积变率为零在另一方面，纳维-斯托克斯方程是一个矢量连续性方程，描述动量守恒能量[编辑]根据能量守恒，能量只能够传输，不能够生成或湮灭，这导致“能量连续性方程”这是在热力学定律（Laws of thermodynamics）外，又一种关于能量守恒的数学论述以方程表达，∂u ∂t +∇⋅q=0 ；其中，u 是能量密度（能量每单位体积），q 是能量通量矢量（数值大小为传输的能量每单位截面面积每单位时间，方向为截面的法向方向）根据傅里叶定律（Fourier's law），对于均匀传导介质，q=−k∇T ；其中，k 是热导率，T 是温度函数。
能量连续性方程又可写为∂u ∂t −k∇ 2 T=0 量子力学[编辑]主条目：概率流在量子力学里，从概率守恒可以得到“概率连续性方程”设定一个量子系统的波函数为 Ψ(x,t) 定义概率流 J 为J = def ℏ 2mi (Ψ ∗ ∇Ψ−Ψ∇Ψ ∗ )=ℏ m Im(Ψ ∗ ∇Ψ) ；其中，ℏ 是约化普朗克常数，m 是质量，Ψ ∗ 是 Ψ 是共轭复数，Im() 是取括号内项目的复值连续方程与概率保守定律[编辑]概率流满足量子力学的连续方程：∂ρ ∂t +∇⋅J=0 ；其中，ρ=|Ψ| 2 是概率密度应用高斯公式，等价地以积分方程表示，d dt ∫ V |Ψ| 2 d 3 r+∮ S J⋅da=0 ；(1)其中，V 是任意三维区域，S 是 V 的边界曲面这就是量子力学概率守恒定律的方程方程 (1) 左边第一个体积积分项目（不包括对于时间的偏微分），即是测量粒子位置时，粒子在 V 内的概率第二个曲面积分是概率流出 V 的通量总之，方程 (1) 表明，粒子在三维区域 V 内的概率对于时间的微分，加上概率流出三维区域 V 的通量，两者的总和等于零。
连续方程导引[编辑]测量粒子在三维区域 V 内的概率 P 是P=∫ V ρd 3 r=∫ V |Ψ| 2 d 3 r 概率对于时间的导数是dP dt =d dt ∫ V |Ψ| 2 d 3 r=∫ V (∂Ψ ∂t Ψ ∗ +Ψ∂Ψ ∗ ∂t )d 3 r ；(2)假设 Ψ 的含时薛定谔方程为iℏ∂Ψ ∂t =−ℏ 2 2m ∇ 2 Ψ+UΨ ；其中，U(r) 是位势将含时薛定谔方程代入方程 (2) ，可以得到dP dt =−∫ V ℏ 2mi (Ψ ∗ ∇ 2 Ψ−Ψ∇ 2 Ψ ∗ )d 3 r 应用一则矢量恒等式，可以得到∇⋅(Ψ ∗ ∇Ψ−Ψ∇Ψ ∗ )=∇Ψ ∗ ⋅∇Ψ+Ψ ∗ ∇ 2 Ψ−∇Ψ⋅∇Ψ ∗ −Ψ∇ 2 Ψ ∗ 这方程右手边第一个项目与第三个项目互相抵销，将抵销后的方程代入，dP dt =−∫ V ∇⋅[ℏ 2mi (Ψ ∗ ∇Ψ−Ψ∇Ψ ∗ )]d 3 r 将概率密度方程与概率流定义式代入，∫ V ∂ρ ∂t d 3 r=−∫ V (∇⋅J)d 3 r 这相等式对于任意三维区域 V 都成立，所以，被积项目在任何位置都必须等于零：∂ρ ∂t +∇⋅J=0 。