数值分析chap1插值方法(一)例例43 43 问题的提出 0101,0,1,.给定在点处的函数值，要求构造一个简单函数，使满足条件 nniifxxxxyyyxyxin ,其中称为的插值函数称为插值节点称为插值条件iiixfxxyx 2012本章主要讨论代数插值，即取插值函数为代数多项式：nnnxPxaa xa xa x 代数插值问题的提法：0101,0,1,.给定在点处的函数值，要求构造一个 次式，使满足条件 nnninifxxxxyyynPxyPxin可以证明，上述插值问题的解是存在且唯一的。0100001111010,1,因待求参数满足方程组innnnnnnnnainaa xa xyaa xa xyaa xa xy Lagrange一、插值多项式 111,0,1 线性插值：求一个一次式，使满足iiPxPxy i 011010110由两点式方程，有xxxxPxyyxxxx 01010110,记：xxxxlxlxxxxx 110则：jjjPxlx y 1,0,1.0,其中：jiijijlxi jij 222,0,1,2 1.1.6 二次插值：求一个二次式使满足iiPxPxy i 212据插值问题的唯一性，可令：PxA xxxx 02B xxxx 01C xxxx 0010211012220211.1.6/由条件，可定出：AyxxxxByxxxxCyxxxx 12200102Lagrange于是得到二次插值公式：xxxxPxyxxxx 0222120.xxxxyxxxx 201,0,1,2.0,记：ijjiijijiijijxxlxjlxxxij 2222000于是上式成为：ijjjjjijiijxxPxy lxyxx 0211012xxxxyxxxx 3,0,1,.次插值：求一个 次式，使满足nniinnPxPxy in 0,令其中nnjjjPxlx y 12,0,1,应为 次式；且应满足jjiijlxnlxi jn .问题归结为：求 次式使满足条件jjiijnlxlx 的特征：除节点外，其它节点都是它的一重零点。jjlxx 011故：jjjnlxc xxxxxxxx 01101110表达式已满足条件：jjjnjjjjjjjnlxc xxxxxxxxlxlxlxlxlx ,1,选择使满足于是有jjclx 01111jjjjjjjncxxxxxxxxxx 01110111jjnjjjjjjjjnxxxxxxxxxxlxxxxxxxxxxx 0,0,1,或写成 nijijiijxxlxjnxx 000 于是有 nnninjjjjjijiijxxPxy lxyxx 101011.引进记号，nniinjjjjjjjnxxxxxxxxxxxx 101101于是又有 nnijijijnjijnnnjjjnjxxxlxxxxxxxPxyxxx 10010,1211.1.1,51111例已知求y 0011011010110100,10,121,11,115xyxyx xx xP xyyxxxxx解：取由线性插值公式并将插值点代入，得到 115121115100101110.71428.1100121121100Px11510.723805的准确值为可见插值结果有3位有效数字。1.1.2100,121,144115例利用的开方值求。001122100,10,121,11,144,12取xyxyxy 1220010202021210122120.由公式xxxxPxyxxxxxxxxxxxxyyxxxxxxxx 211511510.7228得到P11510.723805与的准确值比较，有四位有效数字。插值多项式的余项（或误差）记nnRxfxPx 0,1,)0,(由插值条件可知：iniiiniinifxPxyfxRxfPnxix 01,具有如下结构：故nnnRxRxxxxxxxxxa b 为待定函数。其中x 01当满足一定条件时由误差表达式可定出。nnfxfxPxxxxxxxxx 0引进辅助函数nniitf tPtxtx 00，显然，ixx 01.,1,2,在上具有阶导数，则因在上至少有个互异的零点假设nfxa bnta bnx xxx ,1在上至少有个互异的零点；ta bn 1,在上至少有1个零点.nta b 10,0亦即使注意到nnniia btf tPtxtx 11!0nfnx 1/1!nxfn ,1,1.,.,1 1在上具有阶导数，是上互异的零点，则对定理,存在与其有关假设的，使ifxa bnxa bxa ba b 111!，nnnnfxxxRPfxn 10其中nniixxx 11max若记，nna x bMfx 111!则nnnMRxxn 11maxmax.1!或者nnna x ba x bMRxxn 的一些离散值，可采用如下如果计。只提供fx事后估法例 012011022,考察三个节点，对于插值点，用作线性插值，求出的一个近似值，记为，再用作线性插值求出的另一个近似值，记为。xxxxxxyfxyxxyfxy 11012202,2.2由余项定理得到fyyxxxxfyyxxxx ,若在内变化不大，则fxa b 21121221xxxxyyyxxxx 112121.xxyyyyxx 1121这表明，插值结果 的误差可以通过两个结果的偏差来估计。yyyyy 01211.1.40,1,2例取节点对建立公式，并给出误差表达式。xxxxyeLagrange 0212201010210120222120.解：xxxxxxxxPxyyxxxxxxxxxxxxyxxxx 1121121241.22xxx xex xe 20111max10.008.62xRxx xx