首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去4.4 函数的极值x1x2x3x4x56x首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去定义41(极值的概念)设函数f(x)在点x0的一个邻域(x0 x0)内有定义 如果对任意的x(x0 x0)(x0 x0)总有f(x)f(x0)则称f(x0)为函数f(x)的极大值 x0称为函数f(x)的极大值点 如果对任意的x(x0 x0)(x0 x0)总有f(x)f(x0)则称f(x0)为函数f(x)的极小值 x0称为函数f(x)的极小值点 函数的极大值与极小值统称为函数的极值 使函数取得极值的点称为极值点(1)极值是局部性概念注.(2)极值只能在区间内部取得首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去x1x2x3x4x56x极大值点：极小值点：24,;xx135,x x x观察与思考：如果f(x)在点x0处有极值 且f(x0)存在 则f(x0)有什么特点？定理44(极值的必要条件)如果函数f(x)在点x0处有极值 且f(x0)存在 则f(x0)0 费尔马(Fermat)引理反之如何？660,xx点 处的导数为但点 不是极值点.不一定成立！首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去x1x2x3x4x56x观察与思考：曲线的升降与极值之间的关系极大值点：极小值点：24,;xx135,x x x2.极值点是单调性的分界点！1.极大值点左增右减；极小值点左减右增.首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去定理45(极值的第一充分条件)设函数f(x)在点x0的某邻域(x0 x0)内连续并且可导(但f(x0)可以不存在)(1)如果当x(x0 x0)时f(x)0 而当x(x0 x0)时f(x)0 则函数f(x)在x0处取得极大值f(x0)(2)如果当x(x0 x0)时f(x)0 而当x(x0 x0)时f(x)0 则函数f(x)在x0处取得极小值f(x0)(3)如果当x(x0 x0)和x(x0 x0)时 f(x)不变号 则函数f(x)在x0处无极值 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去由极值的第一充分条件，求函数的极值点和极值的步骤为：()fx（1）确定函数的定义域；（2）求出所有驻点和不可导的点；（3）用上述点将定义域分成若干小区间；（4）在每个小区间上判断的符号，得出函数的单调性，从而判断出函数的极值点，求出函数的极值.极值点是单调性的分界点！()0()fxfx使的点(驻点)可能的单调性的分界点有：不存在的点()0()fxfx使的点(驻点)可能的极值点有：不存在的点首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 解 例1 求f(x)(x1)2(x1)3的单调增减区间和极值 f(x)(x1)(x1)2(5x1)令 f(x)0 得驻点 x11 512x x31 列表判断 f(x)f(x)51,1(51)1 ,51(x(1)11(1)0000非极值 0极小值极大值31253456 由此看出 f(x)在1(,)5和(1)内单调增加 在1(,1)5内单调减少 函数 f(x)的极大值为13456()53125f 极小值为 f(1)0 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去 解 例 2 求函数3223)(xxxf的单调增减区间和极值 解 311)(xxf 令f(x)0 得驻点x1 不可导点为x0 列表判断 f(x)f(x)无00极大值x(0)01(1)(0 1)极小值21 函数 f(x)在区间(0)和(1)内单调增加 在区间(0 1)内单调减少 函数的极大值为 f(0)0 极小值为1(1)2f 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去定理46(极值的第二充分条件)设f(x0)0 f(x0)存在 (1)如果f(x0)0 则f(x0)为f(x)的极小值 (2)如果f(x0)0 则f(x0)为f(x)的极大值 解 例3 求函数f(x)x33x的极值 f(x)3x233(x1)(x1)f(x)6x 令f(x)0得驻点x1 x1 因为f(1)60 所以f(1)2为极大值 因为f(1)60 所以f(1)2为极小值 首页上一页下一页结束微积分 (第三版)教学课件 火灾袭来时要迅速疏散逃生，不可蜂拥而出或留恋财物，要当机立断，披上浸湿的衣服或裹上湿毛毯、湿被褥勇敢地冲出去定理2(极值的第二充分条件)设f(x0)0 f(x0)存在 (1)如果f(x0)0 则f(x0)为f(x)的极小值 (2)如果f(x0)0 则f(x0)为f(x)的极大值 注.第二充分条件的局限性：0()0fx（1）不可导的点只能用第一充分条件判断（2）的点。