四校”2015—2016学年度高三第一次联考理科数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题,其它题为必考题全卷满分150分考试时间120分钟注意事项：⒈答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上⒉做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号⒊非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上⒋所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效⒌考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将答题卡交回第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．开始否n＝3n+1n为偶数k＝k＋1结束n＝5，k＝0是输出k n =1?否是1、已知集合，，则（ ）． A． B． C． D． 2、在复平面内，复数的共轭复数的虚部为（ ）． A． B． C． D． 3、下列命题中的假命题是（ ）．A． B．C． D． 4、若程序框图如图所示,则该程序运行后输出的值是（ ）． A． B． C． D．5、已知，则下列不等式一定成立的是（ ）．A． B． C． D． 6、下列函数既是奇函数，又在区间上单调递减的是（ ）．A． B．C． D．7、已知是实数，则函数的图像不可能是（ ）． A. B． C. D.8、已知点，若动点满足，则的最小值为（ ）． A． (B． C．5 D．以上都不正确9、已知实数构成一个等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）． A． B． C． 或 D． 或 10、某三棱锥的三视图如图所示，图中网格小正方形的边长为1， 则该三棱锥的体积为（ ）． A． 5 B． 4 C． 3 D． 211、定义在R上的奇函数，当时，，则关于的函数的所有零点之和为 A． B． C． D．12.已知函数,，若对任意的,存在实数满足，使得，则的最大值为( )A. B. C. D. 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13、在等比数列中，，，则 ． 14、设A＝，则= 15、已知矩形的周长为，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为 .16、设 为实数，若 则的最大值是_________. 三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17. (本题满分12分)在中，角的对边分别是满足 （1）求角的大小；（2）若等差数列的公差不为零，且，且成等比数列，求的前项和. 18、(本题满分12分)某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动．为了了解本次竞赛学生成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100分）作为样本（样本容量为）进行统计．按照，，，，的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在，的数据）．（Ⅰ）求样本容量和频率分布直方图中的值；（Ⅱ）在选取的样本中，从竞赛成绩是80分以上（含80分）的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动，设表示所抽取的3名同学中得分在的学生个数，求的分布列及其数学期望．19．(本小题满分12分)O在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面.(1)证明：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦值.20、（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，已知椭圆，设 是椭圆上任一点，从原点向圆作两条切线，切点分别为.（1）若直线互相垂直，且在第一象限，求圆的方程；（2）若直线的斜率都存在，并记为，求证：21.（本小题12分）设函数.（I）若处的切线为，的值；（II）求的单调区间；（Ⅲ）若，求证：在时，请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑22、（本小题满分10分）选修4—1:几何证明选讲.如图，⊙的半径为 6，线段与⊙相交于点、，，，与⊙相交于点.（1） 求长；（2）当 ⊥时，求证：.（23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，圆的方程为．（Ⅰ）求直线的普通方程和圆的圆心的极坐标； （Ⅱ）设直线和圆的交点为、，求弦的长．（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲已知函数．（Ⅰ）当时，解不等式；（Ⅱ）若时，，求的取值范围． “四校”2015—2016学年度高三第一次联考理科数学评分标准一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CDBBBB CCCCBA二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13． 14． 15． 16．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17、【解】(1)∵， ∴. …………1分∴. …………2分又 …………3分∴. …………4分(2)设的公差为， 由已知得， …………5分且.∴ ． …………6分又, ∴. ∴. …………7分 ∴. …………9分∴ …………10分 …………12分18、【解】（Ⅰ）由题意可知，样本容量，，． …………3分（Ⅱ）由题意可知，分数在 有5人，分数在 有2人，共7人． …………4分抽取的3名同学中得分在的学生个数的可能取值为，…………5分则， …………6分， …………7分． …………8分所以，的分布列为123…………10分 所以，． …………12分19、【解】(1)由题意，，…………1分又，，，，，. …………3分又， ， …………4分， ， …………5分又，. …………6分(2)如图，分别以所在直线为轴，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， …………7分则，, …………8分，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以. …………10分设直线与平面所成角为，则 ， …………11分所以直线与平面所成角的正弦值为. ……………………12分20、【解】（1）由题圆的半径为因为直线互相垂直，且与圆相切，所以，即① …………1分又在椭圆上，所以② …………2分由①②及在第一象限，解得 …………3分所以圆的方程为： …………4分 （2）证明：因为直线均与圆相切，所以 …………5分化简得 …………6分同理有所以是方程的两个不相等的实数根，所以 …………8分又因为在椭圆上，所以即…………10分所以 …………11分即 …………12分21、【解】（I）∵∴ …………1分又的切线的斜率为∴ ∴ …………2分∴切点为把切点代入切线方程得: …………3分(Ⅱ)由（Ⅰ）知：①当时，在上恒成立在上是单调减函数 …………4分②当时，令 解得： …………5分当变化时，随变化情况如下表：0由表可知：在上是单调减函数，在上是单调增函数 …………6分综上所述：当时，的单调减区间为；当时，的单调减区间为，单调增区间为 …………7分（Ⅲ）当时，要证，即证 …………8分令，只需证 …………9分由指数函数及幂函数的性质知：在上是增函数又 ∴在内存在唯一的零点，也即在上有唯一零点设的零点为,则即 …………10分由的单调性知：…………11分当时，，为减函数当时，，为增函数，所以当时，又，等号不成立∴ …………12分22、【解】（1） ， …………1分 ．∵，∴ ． …………3分 ∴，∵ ，∴，∴． ……………5分（2）证明：∵ ，．∴ ∴ ∴ ……………………10分23、【解】（Ⅰ）由的参数方程消去参数得普通方程为 ………2分圆的直角坐标方程, …………3分所以圆心的直角坐标为， …………4分因此圆心的一个极坐标为. …………5分 (答案不唯一，只要符合要求就给分)（Ⅱ）由（Ⅰ）知圆心到直线的距离, ………8分所以. ………………10分24．【解】（Ⅰ）当时，不等式为 …………1分当，不等式转化为，不等式解集为空集； …………2分当，不等式转化为，解之得；…………3分当时，不等式转化为，恒成立； …………4分综上不等式的解集为. …………5分（Ⅱ）若时，恒成立，即， …………7分亦即恒成立， …………8分又因为，所以， …………9分所以的取值范围为. …………10分21。
