本科生毕业设计〔论文〕任务书设计〔论文〕题目： 基于振动信号的齿轮故障诊断方法研究 学院： 信息科学与技术学院 专业： 通信工程 班级： 通信0801 学生： XXX 指导教师〔含职称〕： XXX〔副教授〕专业负责人： XXX 1．设计〔论文〕的主要任务及目标(1)查阅齿轮振动信号特征提取相关资料，写出文献综述，开题报告等2)运用所掌握的振动信号提取方法，运用matlab仿真齿轮的原始故障信号2．设计〔论文〕的根本要求和内容(1)查阅资料，了解该领域的历史，现况，开展及问题，写出文献综述 (2)掌握齿轮故障信号的小波分析，时频域分析，EMD分析，完成中期检查 (3)运用matlab进行信号处理仿真，并写出毕业论文4)在完成上述工作的根底上，准备毕业论文辩论3． 主要参考文献[1] 高珍，马金山，熊晓燕．齿轮故障诊断的小波分析方法[J]．机械管理开发，2005，2(83)：1-2．[2] 高伟．基于改良的经验模式分解的旋转设备振动信号特征提取[J]．汽轮机技术，2021，50[4]：293-296．4．进度安排设计〔论文〕各阶段名称起 止 日 期1文献查阅、阅读，准备文献综述、英文翻译2月14日——2月29日2整理出信号的时频域分析及EMD方法分析方法3月1日——4月1日3中期报告撰写、中期检查4月2日——4月11日4基于matlab实现信号振动提取与齿轮故障诊断研究4月12日——5月15日5毕业论文的修改，准备毕业辩论5月16日——毕业摘 要随着科学技术的不断开展，机械设备向着高性能、高自动化、高效率和高可靠性的方向开展。
齿轮箱因为具有传动比固定、传动转矩大、结构紧凑等优点，因此齿轮箱是用于改变转速和传递动力的最常用的传动部件，是机械设备的一个重要组成局部，也是最容易发生故障的一个部件而在机械设备中，齿轮的使用频率很高，因此齿轮的故障诊断技术对机器的使用质量和使用寿命都起了非常重要的作用本文从时域、频域，时频域和经验模式分解进行了齿轮故障诊断的方法研究时域分析主要应用时域特征参数分析方法进行故障特征参数的提取，频域分析主要通过快速傅里叶变化，从频谱图上进行齿轮正常状态和故障状态振动信号的比照分析时频域分析主要是通过一维三层离散小波变换，把原始信号细化为三层，每层又分为高频信号和低频信号经验模式分解主要是在齿轮故障振动信号中的实际应用，对采集到齿轮四种状态下的振动信号通过EMD分解，提取了故障信号的特征信息，为识别故障类型提供了有效的分析手段故障信息特征提取是齿轮故障诊断中最关键、最重要的问题之一，它直接关系到齿轮故障诊断的准确性和早期故障预报的可靠性关键词：齿轮；故障诊断；小波变换；经验模式分解ABSTRACTWith the continuous development of science and technology,machinery and equipment are toward the direction of the development of the high-performance, high automation, high efficiency and high reliability . Gear box has the advantages of the transmission ratio fixed, the drive torque, compact gear box is the most commonly used to change the speed and transmission of power transmission components. It is an important component of the machinery and equipment, but is also a part of the most prone to failure. And of the machinery and equipment, the gear is a high frequency of use , so the gear fault diagnosis technology have played a very important role for the use of the quality and service life of the machine. The article is from time domain, frequency domain, time-frequency domain, the empirical mode decomposition to study the gear fault diagnosis. Time-domain analysis of the main application domain characteristic parameters of analytical methods for fault feature parameter extraction, frequency domain analysis of fast Fourier transform, the gear normal state and fault state comparative analysis of the vibration signal from the spectrogram. Time-frequency analysis is one-dimensional three-layer discrete wavelet transform, the original signal is subdivided into three layers, each layer is divided into high-frequency signals and low-frequency signals. Empirical mode decomposition is the practical application of fault vibration signals of gearbox fault signal feature information extracted by EMD, the collected vibration signals in gear four states provide an effective analytical tools to identify the type of fault. Fault information feature extraction is the most critical in gearbox fault diagnosis, one of the most important issues, is directly related to gearbox fault diagnosis accuracy and reliability of early fault prediction.Keywords：Gear，Fault Diagnosis，Wavelet Transform，Empirical Mode Decomposition目 录前 言 1第1章 绪论 2第节 齿轮故障诊断的简介及意义 2齿轮故障诊断一般步骤 2齿轮故障诊断的方法 2齿轮故障诊断的意义 3第节 国内外研究现状及趋势 4第节 本文研究的主要内容 6第节 本章小结 6第2章 齿轮故障诊断根底 7第节 齿轮故障常见形式 7齿面磨损 7齿面胶合和擦伤 7齿面接触疲劳〔点蚀、削落〕 8弯曲疲劳和断齿 8第节 齿轮常见故障征兆 8设备在外观方面的故障征兆 8齿轮在性能方面的故障征兆 9第节 齿轮振动信号的特征分析 9齿轮轴的转动频率及其各次谐波 9齿轮的啮合频率 10由调制效应而产生的边频带 11齿轮振动的特征频率 12几种特殊状态齿轮的频域特征 13第节 齿轮故障诊断试验台及齿轮振动信号简介 14第节 MATLAB简介及在故障诊断中的应用 15第节 本章小结 17第3章 齿轮故障诊断时域方法分析 18第节 时域分析的根本理论 18时频域分析 18第节 小波变换 19连续小波变换 20离散小波变换 21第节 一维离散小波MATLAB中实现方法 23第节 基于一维离散小波对齿轮故障诊断的研究 23第节 频域分析在齿轮故障诊断中的应用 263.5.1 MATLAB中的FFT变换 27频谱分析 27第节 本章结论 30第4章 基于EMD的齿轮故障诊断 31第节 基于EMD〔经验模式分解〕的振动信号特征提取 31 EMD的研究背景 31经验模式分解(EMD)方法原理 31基于EMD的振动信号特征提取分析 33第节 基于EMD对齿轮故障诊断的研究 37第节 针对仿真出来的波形进行分析 43第节 本章小结 43第5章 结论 44第节 本文结论 44参考文献…………………………………………………………………….45致 谢 47前 言机械设备中大局部是旋转机械，覆盖着动力、电动、化工、冶金、机械制造等重要工程领域，是工厂的关键设备，起工况状态不仅影响机器设备本身的运行，而且还会对后续生产造成损失，严重会对国民经济造成巨大损失或机毁人亡的后果。
而齿轮传动是旋转机械中应用最为普遍的机械结构齿轮传动多以齿轮箱的结构出现，它是目前广泛采用的主要传动形式之一虽然齿轮从设计、结构、材料到制造等方面已相当成熟和标准但仍然难以防止诸如磨损、剥落、点蚀、裂纹等常发生的故障研究说明，齿轮箱80％的故障由齿轮引发的；而90％的齿轮故障都是局部故障，例如裂纹、崩齿等特别对于大型机械设备对齿轮故障进行检测和诊断更是重要，因此研究齿轮故障诊断意义重大齿轮装置在运行中与其运行状态有关的征兆由温度、噪声、振动、润滑油中磨损物的含量及形态、齿轮传动轴的扭转振动和扭矩、齿轮齿根应力分布等构成基于这些因素产生了多种故障诊断技术，如(1)振动信号检测与诊断方法目前大多数的齿轮故障诊断技术均以振动信号为研究对象，从时域、频域、时频联合域不同的角度对其分析和解释2)模态分析与参数识别法3)磨屑剩余物测定法其主要包括铁谱法、磁塞法、光谱法等4)声学法此方法易受背景噪声的影响，使得分析结果与实际情况出入较大5)温度监测法对压痕、裂纹等典型故障无检测能力而目前效果最好并最广泛应用的是通过振动信号的检测和诊断在时频域进行分析的方法第1章 绪论第节 齿轮故障诊断的简介及意义齿轮故障诊断一般步骤齿轮工作时产生的振动是反响齿轮传动质量的重要指标，齿轮系统的振动不但会产生噪声和导致传动系统的不稳定，而且会使传动系统失效而产生严重的后果。
实践证明采用振动监测对齿轮进行故障诊断是一种行之有效的方法[1]齿轮故障诊断过程一般分为三个步骤：一是诊断信息的提取，二是故障特征提取，三是状态识别和故障诊断其中故障特征的提取是诊断过程中的关键[2]对于确保运转的机器平安工作有效地方法是工况监视和故障诊断，但是二者是不等同概念，却又统一于动态系统中工况监视的任务是判断动态系统是否偏离正常功能和监视器开展趋势，预防突发性故障产生一旦偏离正常功能，应迅速做出调整，使工况恢复正常如果系统某个环节存在故障，就要进一步查明故障原因及位置，这就是诊断因此，工况监视是故障诊断的根底[3]而信号分析是工况监视和故障诊断中最重要的方法它的目的是找出原始信号简单而有效的转变，这样在信号中包含的一些重要信息就可以被发现然后，那些信号中的突显的特征可以被提取出来，应该用于故障诊断中[4]齿轮诊断方法中，振动信号的分析方法应用最广泛，技术也较成熟，成为齿轮故障诊断的主要技术振动信号的分析方法中时域分析、频域分析、包络分析、频率波动分析、共振解调分析等均有较好的效果[5]根据振动和噪声为信息载体，齿轮的精密诊断可进行如下分类见图1·1，在这些诊断方法中，目前应用较多仍是时域分析、频域分析、倒频域分析等[6]。
齿轮精密诊断法〔振动噪声〕(1)功率法(2)相关法(3)双谱 1.频域分析2.倒频域分析(1)低频时域平均(2)时域波形(3)调幅解调(4)相位调节5.时序分析(1)时序参数(2)最大墒谱6.时频分析(1)短时FFT(2)维格纳分布(3)小波分布4.神经网络3.倒频域分析图1·1齿轮精密诊断分类[6]齿轮作为机械设备中一种必不可少的连接和传递动力的通用零部件，在金属切削机床、航空、电力系统、农业机械、运输机械、冶金机械等现代工业设备中得到了广泛的应用在今天科学技术飞速开展的时代，机械装备向着大型化、高效率、自动化和高性能的方向开展齿轮箱由于具有传动比固定、传动转矩大、结构紧凑等优点，是用于改变转速和传递动力的最常用的传动部件，是机械设备的一个重要组成局部，也是故障易于发生的一个部件，其运行状态对整机的工作性能有很大的影响齿轮失效又是诱发机器故障的重要因素据统计，传动机械中80％的故障是由齿轮引起的，旋转机械中齿轮故障占其故障的10％左右齿轮故障将直接影响设备的平安可靠运行，会降低生产效率和加工精度。
随着设备的逐渐大型化、自动化、连续化、高速化和复杂化，齿轮的故障和失效给整个生产和社会造成的损失越来越大一些处于连贯工作状态的设备，由于齿轮的意外故障造成的停机停产的损失很难估计因此采用先进技术对齿轮进行状态监测与故障诊断，可实现齿轮由事后维修、定期维修到事前维修的根本转变，减少一些不必要的经济损失，进而创造出更大的经济效益和社会效益第1.2节 国内外研究现状及趋势振动信号分析被广泛应用于旋转机械的工况监视和故障诊断中开展了大量的方法，像功率谱、平均时间域、适应噪音删除、解调制分析、时间序列分析等传统的故障诊断技术已经被证明在机械故障学中非常有用的然而，在某些应用方面仍有困难，如对存在裂纹的齿轮齿面系统和往复式动力机汽缸外表的检测[8]由于齿轮裂纹故障产生的冲击使振动信号产生瞬变，因此，这些待处理的信号是非稳态信号但是，现在大局部广泛应用的信号处理技术都是基于稳态信号假设的前提条件下，对处理非稳态信号，新型诊断技术被提出如：时间频率分布、小波分析和更高的次序统计[15]等认为快速傅里叶变换〔FFT〕是众多用于故障诊断的信号分析方法中最广泛使用的方法之一，但是像传统的信号分析方法一样，快速傅里叶变化适用于稳态信号的分析，而对于非稳态信号，如振动信号，FFT不适用。
由于机械的故障信号可能包含在非稳态信号中，所以非稳态信号的分析至关重要对非稳态信号分析中，常用的有Wigner-Ville分布法〔WVD〕和短时傅里叶变换〔STFT〕对于WVD，即使信号的支持区不相互重叠，对时频平面有干扰，这样会误导信号分析基于WVD的缺点又提出了Choi-Willams分布法〔CWD〕和锥形分布法〔CSD〕等而对于STFT缺点在于，对于所有频率STFT都提供不变的分辨率，由此得到的时频分析窗口具有固定的大小，而对于非平稳信号，需要时频窗口具有可调的性质，即要求在高频局部具有较好的时间分辨率特性，而在低频局部具有较好的频率分辨率特性基于短时傅里叶变换的缺点，小波变换和连续小波变化被提出并被应用于故障诊断的各个阶段[16]小波变换不同于其他非稳态信号的分析方法，是因为它的窗宽可以随频率的增高而缩小，它开展了加窗傅里叶变换的局部思想，并满足高频信息分辨率较高的要求目前，一般认为离散小波分析、多分辨率分析、连续小波分析及后来开展的小波包分析等都是小波理论的不同方面，是在小波理论开展的过程中不断繁衍产生的，这些方面都在故障诊断的应用中得到了表达[7]和基于连续小波变换提出了平均时间小波倒频谱的新概念，在这概念的根底上建立起两种故障诊断的新方法：频谱比较法〔SCM〕和特征能量法〔FEM〕。
通过实验证实了基于使用Morlet小波的连续小波变换的TAWS可以有效地显示齿轮故障改良[8]李辉等人在通过分析齿轮箱升降过程齿轮齿根裂纹的非稳态振动信号说明，基于角域平均和连续小波变换的振动信号处理技术，能充分消除角域采样信号中的噪音干扰，提高信号的信噪比，是周期性故障分量的故障特征更加突出[9]Fernando H. Magnago 和Ali Abur通过使用小波变换来分析功率系统瞬态故障来检测故障位置行波理论用来捕捉监测线上故障点和继电器之间的瞬态行程时间小波变换可以给故障瞬态的高频元素提供时间分辨率用传送线的行波理论，把瞬态信号分解为模数元素通过使用小波变换把模信号从时域转换到时频域，在两种最低范围内的小波变换系数用于各种故障的故障地位[10]和提出在齿轮振动频率中最重要的元素是轮齿啮合频率、齿轮的谐频和由调制现象产生的边频边频在数量和振幅上的增加能反映故障状态考虑到一些齿轮副和其他机器元素的振动是全部机器振动的一局部，基于试验结果，对其他振动分析技术的应用，如倒频谱、时间同步平均及相关技术、时频分布技术、稳态分析、信号模仿技术、高分辨率频谱分析技术和高级统计方法等的比较，发现对于剩余局部振动信号的频谱相关密度〔SCD〕方法和小波变换〔WT〕方法对齿轮裂纹诊断非常有效的技术。
Jamal Moshtagh和通过使用小波变换技术提出基于EMTP软件的分析功率分布系统瞬变信号的新方法，因为有更好的时间和频率的定位特点，这种方法比起FFT和STFT都有明显优势之后又基于人工神经网络〔ANN〕精确故障定位技术的开展，发现基于结合WT和ANN的技术在故障诊断的研究中是非常有效地TW可以相当有效地从DS瞬变信号中提取重要的时频特征，而ANN方法能够在故障分类和故障定位中提供非常高精度[11]而目前的齿轮故障诊断研究主要集中在振动信号处理与分析、故障机理研究、典型故障特征提取、诊断方法研究和人工智能诊断的应用，主要表达在以下两个方面：(1) 机理研究：故障机理研究是为了将故障隐患消除在设计阶段一般从机械动力学出发，研究故障的原因和现象齿轮故障的原因主要有制造误差、装配不良、超载、操作失误等方面，在齿轮箱的部件实效中齿轮所占的比重约为60%，所以在齿轮箱的故障诊断中主要是齿轮诊断2) 信号处理技术：振动信号的处理和分析方法也在突飞猛进，早期信号提取主要借助于傅里叶变换，但是计算量很大，直到FFT出现以后，经典信号分析方法才得到迅猛开展然而傅里叶变换存在频率成分的分辨率不高、频谱图有畸变、随机起伏不光滑等缺陷。
而现在小波分析是正在迅速开展的一种新分析方法，具有良好的时频局部化特性和特别的去噪能力，因此在故障诊断中得到了广泛的应用并取得了一定的成果基于经验模式分解的典型信号处理方法的也在逐步被广泛应用，尤其在信号特征提取方面有广泛的应用第1.3节 本文研究的主要内容本文以齿轮故障诊断试验台产生的齿轮振动信号为研究对象，依据齿轮故障诊断的相关理论与分析方法，从振动信号中获取信息，经过分析和处理提取故障特征信息本文从时域分析，频域分析，时频分析、经验模式分解等方面都进行了相关分析，重点是通过MZTLAB软件用小波变换和EMD对齿轮故障进行诊断分析第二章介绍了本文中四种齿轮振动信号的来源，并对信号分析及处理中借助的MATLAB软件进行简介 第三章介绍了时频分析方法的应用，重点使用一维三层离散小波对信号进行处理第四章介绍经验模式分解的原理以及基于经验模式分解的齿轮故障信号特征提取，主要从高频、中频、低频上进行EMD分解，进而实现齿轮故障诊断分析第五章结论第1.4节 本章小结在齿轮的振动信号为参量的运行状态监测和故障诊断中，因设备变工况运行时转速不稳定、负荷变化以及因故障产生大量的冲击、摩擦等状况，导致非平稳信号的产生。
因此基于非平稳信号处理的方法应运而生小波分析作为一种全新的信号分析手段，在信号的特征提取方面具有传统傅立叶分析无可比较的优越性，因此对于齿轮故障这样的复杂信号，小波分析是比较适宜的信号处理方法而EMD方法是一种自适应的信号分解方法，能把复杂的信号分解为有限的根本模式分量(IMF)之和，每一个IMF分量可以是幅度或频率调制的因此，可以有效地提取齿轮故障振动信号中的故障信息第2章 齿轮故障诊断根底齿轮传动是应用最广泛的一种机械传动方式，齿轮传动的主要优点是传动功率和速度的范围很广，传动比精确、可靠，传动效率较高，工作可靠，寿命长，结构紧凑因此在众多机械设备中都采用了齿轮传动的方式，小到玩具汽车，大到轮船、飞机，甚至一些与国民经济息息相关的大型机械装置长时间使用的齿轮必然会失效由于齿轮传动的环境不同失效的形式也是不尽相同的，但无论是哪种失效形式都会对机械装置产生影响，小到机械振动加剧，大到机毁人亡的惨剧所以，对齿轮故障的诊断显得尤为重要所谓防患于未然，在悲剧发生前，诊断出齿轮或齿轮箱的故障，从而停止或更换失效齿轮，防止事故产生第2.1节 齿轮故障常见形式通常齿轮投入使用后，要是操作维护不善或者制造不良的话，就会致使齿轮失去正常功能而失效。
常见的齿轮失效形式有：齿轮磨损、齿面胶合和擦伤、齿面接触疲劳、弯曲疲劳和断齿2齿面磨损齿轮在啮合过程中，往往会在齿轮接触外表上出现材料摩擦损伤的现象，要是损伤量不影响齿轮在预期寿命内应具备的功能的磨损，成为正常磨损要是齿轮使用不当，或者在接触面间存在硬质颗粒，及润滑油供给缺乏或者清洁不到位，就会引起齿轮的早期磨损，有细小的颗粒分散出来，致使接触外表发生尺寸变化，重量损失，并使齿形改变，齿厚变薄，噪声增大等严重磨损，并使齿轮失效磨损失效形式有磨粒磨损、腐蚀磨损和齿轮断面冲击磨损齿面胶合和擦伤 齿轮两啮合齿面的金属发生胶合磨损是在一定压力下直接接触的，焊合后有相对运动，金属从齿面撕落，或从一个齿面向另一个齿面转移而引起损伤的现象，这是一种比较严重的损伤形态它通过接触面局部发生粘合，导致接触面上有小颗粒被拉拽出来，这样反复进行屡次运动而使齿面发生破坏齿面胶合和擦伤一般发生在重载或高速的齿轮传动中，主要是由于润滑条件不适合而导致齿面间的油膜破裂齿面接触疲劳〔点蚀、削落〕齿轮在啮合过程中，既有相对滚动，也有相对滑动这两种力的作用使齿轮外表层深处产生脉动循环变化的作用力，在作用力下会产生微观的疲劳裂纹。
润滑油进入裂纹后，在啮合过程中将裂纹封闭和挤压，润滑油在高压下促使疲劳裂纹蔓延和扩展，就将齿外表的金属微粒剥落，会形成许多麻点〔凹坑〕，这种破坏方式就是“点蚀〞如果外表的疲劳裂纹扩展得较深、较远，将许许多多麻点连接起来，造成大块金属脱落，这种现象就成为“剥落〞剥落和点蚀形成的机理相同，无本质区别，只是程度不同而已弯曲疲劳和断齿对于齿轮的弯曲疲劳，诊断的重点在裂纹扩展期齿轮弯曲疲劳断口的特征有明显的三个区域：裂纹源区、疲劳裂纹扩展区和最终瞬断区齿轮承受载荷，如同悬梁臂，其根部受到脉动循环的弯曲应力作用，当这种周期性的应力过高时，就会在根部产生裂纹，并逐步扩展当剩余局部无法承当外载荷时，就会发生断齿在齿轮工作中，由于严重的冲击和过载接触线上的过分的偏载以及材质不匀都会引起断齿常见的断齿形式有整个齿轮沿轮跟的弯曲疲劳断裂、齿轮局部断裂和齿轮出现裂纹等第2.2节 齿轮常见故障征兆（1） 异常响声、异常振动设备在运转过程中出现的非正常声响，是设备故障的“报警器〞设备运转过程中振动剧烈2） 泡冒滴漏设备的润滑油、齿轮油、动力转向系油液、制动液等出现渗漏压缩空气等出现渗漏现象有时是可以明显地听到漏气的声音。
3） 有特殊气味电动机过热、润滑油窜缸燃烧时，会发散出一种特殊的气味电路短路、搭铁导线等绝缘材料烧毁时会有焦糊味齿轮在性能方面的故障征兆（1） 功能异常指设备的工作状况出现的不正常现象例如：设备启动困难、启动慢、不能正常启动、突然自动停机、功率缺乏、速率降低、生产效率降低等这种故障的征兆比较明显，容易发觉2） 过热高温一种原因是冷却系统有问题，是缺冷却液或冷却泵不工作如果是齿轮、轴承等部位过热，多半是因为缺润滑油所导致油、水温度过高或过低，设备过热现象有时可以通过仪表板、警示灯反响出来，但是有时还需要进行温度点检才能检查出来3） 润滑油出现异常润滑油变质较正常时间较快，可能与温度过高等有关系润滑油中金属颗粒较多，一般与轴承等摩擦有关，可能需要更换轴承等磨损件4） 电学效应：电阻、导电性、绝缘强度和电位等变化第2.3节 齿轮振动信号的特征分析齿轮振动信号的获取，是通过安装在齿轮箱上的传感器采集得到的是离散信号，通过对离散信号的分析，找出齿轮故障特征，从而对齿轮故障进行诊断这包括时域和频域的分析及故障特征提取2.3.1齿轮轴的转动频率及其各次谐波齿轮—轴系统的不平衡引起的离心惯性力，使齿轮一轴系统产生强迫振动，当转动频率接近齿轮—轴系统横向振动的固有频率时，将产生临界转速现象，转轴大幅度的变形，又会恶化齿轮的啮合关系，造成更大的振动。
在对于齿轮出现断裂时，每转一圈中轮齿猛烈冲击一次，展开为傅立叶级数，其频率结构为转动频率及其谐波齿轮及轴的转动频率为[12]： (2·1)式中，为齿轮及轴的转速〔r/min〕齿轮—轴转频的各次谐频为转动频率的整数倍，如2、3…2.3.2齿轮的啮合频率 一对啮合齿轮，可以看作是一个具有质量、弹簧和阻尼的振动系统，其振动方程为： (2·2)式中为沿作用齿轮的相对位移，为齿轮的啮合刚度，为齿轮副的等效品质，为齿轮受载后的平均静弹性变形，为齿轮的误差和异常造成的两个齿轮间的相对位移(亦称故障函数)由式(2·2)可见，齿轮在无异常的理想情况下亦存在振动，且其振源来自两局部：(1)第一局部为，它与齿轮的误差和故障无关，称为常规啮合振动2)第二局部为，它取决于齿轮的啮合刚度和故障函数，由这一局部可以比较好地解释齿轮信号中边频的存在以及它们和故障的关系啮合刚度为周期性的变量，可以说齿轮的振动主要是由的这种周期变化引起的由于齿轮的啮合刚度是随参与啮合的齿数，即啮合系数而变化的，这样在齿轮的振动信号中就必然包含了啮合频率及其高次谐波成分假设齿轮副主动轮转速，齿数为，从动轮相应为，，那么齿轮啮合刚度的变化频率(啮合频率)： (2·3) 分别是连个齿轮的转频。
齿轮啮合频率的各次谐频为啮合频率的整数倍，如2、3…无论齿轮处于正常还是故障状态下，啮合频率振动成分及其谐波总是存在的，但两种状态下的振动水平是有差异的2.3.3由调制效应而产生的边频带齿轮存在形位、几何误差或出现故障时，会对齿轮啮合振动产生调制作用，使得齿轮振动信号以调制波的形式表现出来从频域上看，调制的结果是使齿轮的啮合频率及其谐频周围出现边频带成分调制可以分为两种形式：幅值调制和频率调制[13]〔1〕幅值调制调幅就是载频时域信号的幅值受到调制信号的调制，它一般是由于齿面载荷波动对振动幅值的影响所造成的幅值调制的典型原因通常有两个：①齿轮偏心，使齿轮啮合时一边紧一边松，从而产生载荷波动，使振幅按此规律周期性变化②齿轮的加工误差(例如节距不均)及齿轮故障使齿轮在啮合过程中产生短暂的“加载〞和“卸除〞效应参加幅值调制的两个信号，其频率较高的一个通常称为载波，较低的一个那么被称为调制波对于齿轮信号来讲，啮合频率成分通常是载波成分，而齿轮轴的旋转频率成分通常就是调制波成分一对正常齿轮的振动信号为：(2·4)式中：为振幅； 为啮合频率； 为相位角； 因为齿轮偏心等引起的故障信号为：(2·5)式中：为调制因子； 为调制信号的频率；那么被调制后，振动波形为：(2·6)由式(2·6)可以得到，当齿轮啮合振动信号被单一频率的正弦信号调制后，时域上信号振幅大小按调制规律变化；在频域上被调制信号谱线两侧产生了边频成分，边带的间隔为调制频率。
〔2〕频率调制由于齿轮载荷不均匀、齿距不均匀以及故障造成的载荷波动，会使扭矩产生波动，从而引起齿轮转速产生波动，这种波动表现在振动上即为频率调制载波信号： (2·7)调制信号： (2·8)频率调制后的信号为： (2·9)式中：为振幅； 为载波频率〔啮合频率〕； 为调制频率〔齿轮-轴的转动频率〕； 为调制指数； 为初位角；在实际运行的齿轮系统中，调频效应和调幅效应总是同时存在的齿轮载荷的变化会产生调幅效应，与此同时载荷的瞬时变化也会引起齿轮角速度的跳动，从而产生频率调制[14]2.3.4齿轮振动的特征频率[15]〔1〕齿轮-轴的转动频率及其谐频 (2，3，4…)假设齿轮有一齿断裂，每转一圈，轮齿猛烈冲击一次，展开为傅里叶级数，其频率结构为轴转动频率及其谐频〔2〕齿轮的啮合频率及其谐频 (2，3，4…)齿轮的啮合频率振动的特点：①啮合频率随转速的变化而变化；②振动信号展开为傅里叶级数后，一般存在啮合频率及其谐频；③当啮合频率或其高阶谐频接近或等于齿轮的某阶固有频率时，齿轮产生强烈振动；由于齿轮的固有频率一般较高，这种强烈振动振幅较小，易淹没在噪声中。
〔3〕隐含成分它是齿轮振动信号功率谱上的一种频率分量，从外表上看很像啮合频率分量其谱线往往在啮合频率附近，实际上它是加工过程中滚齿机给齿轮带来的周期性缺陷隐含成分存在如下特点：①隐含成分由周期性缺陷引起，所以振动频谱中应存在其高阶频率；②隐含成分由一定的几何误差引起，工作载荷对其影响很小〔4〕齿轮的周期性冲击衰减振动，主要由齿轮的局部损伤故障如齿面剥落、拉伤等引起，在齿轮转一圈时才会撞击一次此衰减振动的频率等于齿轮的自由振动频率2.3.5几种特殊状态齿轮的频域特征〔1〕正常齿轮的频域特征正常齿轮的信号反映在功率谱上，有啮合频率及其谐波分量，即有也有，且以啮合频率成分为主，其高次谐波依次减小同时，在低频处有齿轮轴旋转频率及其高次谐波〔2〕齿轮偏心时的频谱特征齿轮偏心是指齿轮的中心与旋转轴的中心不重合这种故障往往是由于加工造成的齿轮有偏心时，将在两个方面有所反响：一是由于齿轮的几何偏心所引起的，以齿轮的旋转频率为特征的附加脉冲幅值增大；二是齿轮偏心会引起以齿轮一转为周期的载荷波动，从而导致调幅现象，这时的调制频率为齿轮的回转频率，只是它所调制的啮合频率要小得多偏心严重时，产生连续屡次冲击，当冲击足够大时鼓励箱体的固有频率，振幅很大。
〔3〕局部异常齿轮的频率特征齿轮局部异常含义很广，包括齿根部有较大裂纹，局部齿面磨损，轮齿折断，局部齿形误差等具有局部异常的齿轮，由于裂纹，折断或齿形误差的影响，将以旋转频率为主要的频率特征，即 ()对于局部断齿，断齿的时域表现为幅值很大的冲击振动，而频域上在啮合频率及其高次谐波附近会出现间隔为断齿轴转频的边频带；边频带一般数量多、幅值较大、分布较宽断齿的主要特征为：(1)以齿轮的啮合频率及其高次谐频为载波频率，齿轮所在轴的转频及其倍频为调制频率的啮合频率调制2)以齿轮的固有频率为载波频率，齿轮所在轴的转频及其倍频为调制的齿轮共振频率调制[13,16]第2.4节 齿轮故障诊断试验台及齿轮振动信号简介正常及故障齿轮振动信号数据的获取是通过一个试验台，如图2·1所示在这个试验台上既可以做齿轮故障振动信号的获取试验，同时也可以做转动轴承的故障振动信号获取试验振动信号的获取是通过外部传感器来实现的传感器安装在齿轮箱体外，当齿轮旋转时会产生振动，这个振动通过轴、轴承等连接件传递到齿轮箱体上，所以通过检测齿轮箱体的振动，来获取齿轮的振动信号齿轮故障诊断试验参数：压力角：模数：小齿轮齿数：大齿轮齿数：主动轮转速：齿宽：偏心量：从动轮加载：采样频率：图2·1齿轮故障诊断试验台通过试验获取了四组齿轮不同状态的振动信号，分别是正常振动信号、大偏心故障、小偏心振动信号、局部损坏振动信号，见表2·1所示。
使用MATLAB软件，显示每种齿轮振动信号的原始波形，如图2·2表2.1 试验获取齿轮状态类型齿轮状态类型表示正常N大偏心故障小偏心故障局部损坏故障SA第2.5节 MATLAB简介及在故障诊断中的应用MATLAB是由美国的Mathworks公司推出的一个科技应用软件MATLAB语言是由美国的Clever Moler博士于1980年开发的，设计者的初衷是为解决“线性代数〞课程的矩阵运算问题，名字取自矩阵〔Matrix〕和实验室〔Laboratory〕两个英文单词的前三个字母，意即“矩阵实验室〞它是一种以矩阵作为根本数据单元的程序设计语言，提供了数据分析、算法实现与应用开发的交互式开发环境，经历了20多年的开展历程MATLAB分为总包和假设干个工具箱，随着版本的不断升级，它具有越来越强大的数值计算能力、更有卓越的数据可视化能力及良好的符号计算功能，逐步开展成为各种学科、多种工作平台下功能强大的大型软件，获得了广阔科技工作者的普遍认可一方面，MATLAB可以方便的实现数值分析、优化分析、数据处理、自动控制、信号处理等领域的数学计算；另一方面，也可以快捷实现计算可视化、图形绘制、场景创立和渲染、图像处理、虚拟显示和地图制作等分析处理工作。
图2.2齿轮不同故障类型的振动信号MATLAB是一种高级汇编语言，其特点有如下几点：（1） 语言简单MATLAB是一种解释执行的语言，语句采取通用数学的形式，语法规那么与一般结构化高级编程语言〔如C语言等〕相差不多，并把编辑、编译、连接、执行功能融为一体，调试程序手段丰富、调试速度快，可以快速排除输入程序时书写、语法等方面的错误2） 代码短小高效MATLAB把数学问题的许多算法编成了大量库函数、具有解决许多问题的工具箱，只要熟悉算法根本特点、函数调用格式和参数具体意义等内容，调用现成函数就可以解决自己专业领域的许多问题，而不必再花时间去实现常规算法在本文中，使用了小波函数工具箱可以直接调用函数对信号进行小波变换，而不用自己重新编写好小波变换程序，EMD也一样，只要会用其中的各种相关函数就能实现经验模式分解3） 绘图非常方便可以绘制一般的二维或三维图形〔如线性图、条形图、饼图、散点图、直方图等〕，可以绘制工程特性较强的特殊图形〔如玫瑰画图、极坐标图等〕绘制不同的图形是只需调用不同函数，使绘图简单易行[20]通过故障检测手段的不同，可以将故障诊断分为对振动信号的诊断、对噪声信号的诊断、对声发射信号的诊断等，而这些诊断技术都是基于对采集信号的分析和处理，从信号中提取故障的特征，从而识别故障信号或非故障信号。
信号的分析和处理是故障诊断的根底，而MATLAB软件中，方便实现了对信号的处理功能，所以MATLAB在故障诊断中的应用是很重要的第2.6节 本章小结本章简明阐述了齿轮故障诊断根底的根本原理，并重点介绍了齿轮振动频率的产生和组成，同时分析了正常与故障信号的频率特征，为后面要用到得频谱分析奠定了根底之后介绍了齿轮故障诊断试验台，并对本文中应用MATLAB软件进行简介齿轮出现故障时经常产生冲击，出现不同的调制现象，在频谱图上会出现不同形式的调制边频带这些调制边频带的特点里包含有很多有用的齿轮故障信息所以，对齿轮振动信号的特征提取及信号中出现的调制现象进行认真分析，其中如何有效地区分不同调制现象的振动特征，识别边频带特征，在很大程度上决定了齿轮故障诊断的成败所以，对调制现象及其边频带分布特点进行研究是齿轮故障诊断中的一个很重要的研究课题第3章 齿轮故障诊断时域方法分析第节 时域分析的根本理论时频分析作为一种信号处理的新方法其利用频率和时间的联合分布函数从频率和时间的角度同时来表示非平稳信号时频分析方法作为现代信号中处理非平稳信号的重要分支之一，在对非平稳信号进行分析和处理过程中，时频分析方法克服了传统基于傅里叶变换的信号分析方法不具有局部变换分析信号局部信息能力的局限性。
根据其频率和时间联合分布函数的不同，可以把时频分析方法分为线性时频(线性变化)分析表示和双线性时频(非线性变换)表示两种类型线性时频分析满足线性叠加原理，它是在傅里叶变换的根底上演化而来的常见的线性时频分析方法主要有短时傅里叶变换(shortTimeFourie，简称STFT)、小波变换和Gabor展开短时傅里叶变换(STFT)是由傅里叶变换而来，其实质上是加窗的傅里叶变换，只是由于所加的窗函数随着时间轴的移动而形成信号的一种时频表示，但是所加时间窗函数的宽度在移动过程中是固定不变的Gabor展开是最早的时频表示方法，其主要是对短时傅里叶变换在时域和频域进行取样的结果形成而对于小波变换来说，其窗函数的宽度可以根据信号的性质进行调整，是一种窗函数宽度可调的时频表示方法小波变换使用一个窗函数〔小波函数〕，时频窗面积不变，但形状可改变小波函数根据需要调整时间与频率分辨率，具有多分辨分析〔Multiresolution Analysis〕的特点，克服了短时傅里叶变换分析非平稳信号单一分辨率的困难小波变换是一种时间-尺度分析方法，而且在时间、尺度〔频率〕两域都具有表征信号局部特征的能力，在低频局部具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频局部具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬间反常现象并展示其成分。
所以，小波变换被称为分析信号的显微镜3.1.1时频域分析指控制系统在一定的输入下，根据输出量的时域表达式，分析系统的稳定性、瞬时性和稳态性能由于时域分析是直接在时间域中对系统进行分析的方法，所以时域比较直观和准确系统输出量的时域表示可以由微分方程得到，也可以由传递函数得到在初值为零时，一般都利用传递函数进行研究，用传递函数间接的评价系统的性能指标具体是根据闭环系统传递函数的极点和零点来分析系统的性能时域分析以线性定常微分方程的解来讨论系统的特性和性能指标设微分方程如下： (3·1)式中，为输入信号，为输出信号我们知道微分方程的解可表示为：，其中，为对应的齐次方程的通解对于稳定的系统，当时间趋于无穷大时，通解趋于零，所以根据通解或者特征方程的根可以分析系统的稳定性为特解，与微分方程和输入有关一般来说，当时间趋于无穷大时特解趋于一个稳态的函数综上所述，对于稳定的系统，对于一个有界的输入，当时间趋于无穷大时，微分方程的全解将趋于一个稳态的函数，使系统到达一个全新的平稳状态工程上称之为进入稳态过程系统到达稳态过程之前的状态称为瞬时状态瞬态分析就是瞬态过程中输出响应的各种运动特性。
理论上说，只有当时间趋于无穷大时，才进入稳态过程，但是这在工程上显然是无法进行的在工程上只讨论输入作用参加一段时间里的瞬态过程，在这段时间里，反响了主要的瞬态性能指标频域——自变量是频率，因变量是该频率信号的幅度，也就是通常所说的频谱图频谱图描述了信号的频率结构及频率与该频率信号幅度的关系对信号进行频域分析时，有时一些信号的时域参数相同，但并不能说明信号就完全相同因为信号不仅随时间变化，还与频率、相位等信息有关，这就需要进一步分析信号的频率结构并在频域中对信号进行描述动态信号从时域变换到频域主要通过傅里叶变换和傅里叶级数来实现的周期信号采用傅里叶级数，非周期信号采用傅里叶变换第节 小波变换〔Wavelet transform〕小波变换是20世纪80年代中期开展起来的一种时频分析方法，比DCT这样的傅里叶变换的性能更优越，被广泛用于调和分析、话音处理、图像分割、石油勘探和雷达探测等方面，也被用于音频和时频的压缩和编码原始信号一般是时间和空间信号，在时空上有最大的分辨率时空信号经过傅里叶变换得到频率信号，在频率上有最大的分辨率，但其本身并不包含时空定位信息窗口傅里叶变换通过对时空信号进行分段或分块进行时空—频谱分析，但由于窗函数大小是固定的，不适于频率波动大的非平稳信号。
而小波变换可以通过频率上下自动调节窗口的大小，是一种自适应的时频分析方法，具有多分辨分析的功能连续小波(Continuous Wavelet Transform,CWT)的定义为： (3·2)式中：为缩放因子〔对应于频率信息〕；为平移因子〔对应于时空信息〕；为小波函数〔又叫根本小波或母小波〕；表示的复共轭从式〔3·2〕可以得出，连续小波变换计算分以下5个步骤进行1) 定一个小波，并与处在分析时段局部的信号相比较2) 计算该时刻的连续小波变换系数C如图3·1所示，C表示了该小波与处在分析时段内的信号波形相似程度C愈大，表示两者的波形相似程度愈高小波变换系数依赖于所选择的小波因此，为了检测某些特定波形的信号，应该选择波形相近的小波进行分析3) 如图3·2所示，调整参数，调整信号的分析时间段，向右平移小波，重复(1)～(2)步骤，直到分析时段已经覆盖了信号的整个支撑区间4) 调整参数，尺度伸缩，重复(1)～(3)步骤5) 重复(1)～(4)步骤，计算完所有的尺度的连续小波变换系数，如图3·3所示小波变换的系数表示了小波与处在分析时段内的信号的波形近似程度小波变换的系数表示了小波与处在分析时段内的信号的波形近似程度小波变换的系数表示了小波与处在分析时段内的信号的波形近似程度小波变换的系数表示了小波与处在分析时段内的信号的波形近似程度小波变换的系数表示了小波与处在分析时段内的信号的波形近似程度图3·1 计算小波变换系数示意图图3·2 不同分析时段下的信号小波变换系数计算图3·3 不同尺度下的信号小波变换系数计算 由小波变换的定义式〔3·2〕有(3·3)其中，并设，那么 (3·4) 式(3·3)可以通过以上5步来实现，也可以用快速卷积运算来完成。
卷积运算既可以在时域完成，也可以通过FFT来完成[17]将连续小波变换的缩放因子离散化，得到二进小波变换；再将其平移因子也离散化，就得到离散小波变换令, 那么可得到离散小波变换： (3·5)(1)离散小波分解执行离散小波变换的有效方法是使用滤波器该方法是Mallat在1988年开发的，叫做Mallat算法这种方法实际上是一种信号的分解方法，爱数字信号处理中称为双通道子带编码用滤波器执行离散小波变换过程如图3·4所示图中S表示原始的输入信号，通过两个互补的滤波器产生A和D两个信号，A表示信号的近似值〔Approximations〕，D表示信号的细节值〔Detail〕在许多实际应用中，信号的低频局部是最重要的，而高频局部起一个“添加剂〞的作用但是在故障分析中，低频和高频都有可能包含故障信息所以要分别分析在小波分析中，近似值是大的缩放因子产生的系数，表示信号的低频分量而细节值是小的缩放因子产生的系数，表示信号的高频分量[18]SAD低通高通滤波器图3·4 双通道滤波过程由此可见，离散小波变换可以被表示成有低通滤波器和高通滤波器组成的一棵树原始信号通过这样的滤波器精细分解叫做一级分解。
信号的分解过程可以迭代，也就是说可以进行多级分解如果对信号的高频分量不再分解，而对低频信号分量进行连续分解，就得到许多分频较低的低频分量，形成小波分解树〔Wavelet Decomposition Tree〕，如图3·5分解级数的多少取决于被分析的数据和用户的需要小波分解树的表示只对信号的低频分量进行连续分解〔2〕离散小波的重构离散小波变换可以用来分析或叫做分解信号，这个过程叫做对信号的分解或分析而把分解的系数复原成原始的信号的过程叫小波的重构〔Wavelet Reconstruction〕或者叫做合成，数学上叫做逆离散小波变换〔Inverse Discrete Wavelet Transform，IDWT〕在使用滤波器做小波变换时包括滤波和降采样两个过程，在小波重构时要包括升采样和滤波两个过程S图3·5 三层小波分解树第节 一维离散小波MATLAB中实现方法对信号进行一维离散小波变换的一般步骤：（1） 对信号进行装载通过load语句对实验采集的信号进行装载 （2） 通过用户的需要对信号进行单尺度或多层次分解函数dwt〔〕为单尺度离散小波逆变换函数如：[cA1,cD1]=dwt(s,‘db4’)；即采用db4根本小波对原始信号s进行单尺度分解。
Wavedec〔〕函数为多尺度一维小波分解函数如：[C,L]=wavedec(s,5,‘db4’);即采用db4根本小波对原始信号s进行5层小波分解3） 重构每层信号通过wrcoef()函数实现对一维小波系数的单层重构X=wrcoef(‘type’,C,L,’小波函数名’,N);其中type为a和d其中之一，type=a表示对低频局部进行重构，type=d表示对信号高频局部进行重构；N为正整数，表示对哪一层信号进行重构第节 基于一维离散小波对齿轮故障诊断的研究本文中对齿轮原始振动信号进行一维三层离散小波的分解与重构，产生三层信号，每层又分为低频信号和高频信号，小波变换后共产生6个分信号这相当于把原始信号细化，使其变化为3个低频和3个高频信号组成，对后续对故障特征的提取奠定根底，使齿轮诊断更精确并且试验中发现齿轮的故障特征不一定都在低频上出现，不同设备的故障特征可能出现在不同位置，所以经过小波变换的信号，更能准确的，方便地找出故。