空间向量 编辑教师 苏立艳 1.空间向量及其加减与数乘运算：(1)在空间，具有大小和方向的量叫做向量．长度相等且方向相同的有向线段表示同一向量或相等的向量．(2)空间向量的加法、减法与向量数乘运算是平面向量运算的推广．(3)空间向量的加减与数乘运算满足如下运算律：加法交换律：;加法结合律：;数乘分配律：.2.共线向量与共面向量: (1)如果表示向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量.(2)平行于同一平面的向量叫做共面的向量．任意两个向量总是共面的．(3)共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使;推论：如果为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点 P在直线上的充要条件是存在实数,满足等式.其中向量叫做直线的方向向量.(4)共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对，使. 推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对，使或对空间任一定点O，有.3.空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x、y、z，使.其中叫做空间的一个基底，都叫做基向量．推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P, 都存在唯一的有序实数组x、y、z, 使 (这里隐含x+y+z≠1).注：设四面体ABCD的三条棱，其中Q是△BCD的重心，则向量用即证. 4.两个向量的数量积(1)向量的数量积 (2)向量的数量积的性质:①(是单位向量)；②③.(3)向量的数量积满足如下运算律:①交换律:; ②与实数相乘的结合律=; ③分配律:. 注:向量的数量积不满足结合律即5.如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用来表示．在空间选定一点O和一个单位正交基底，如图，以点O为原点，分别以的方向为正方向建立三条数轴:轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个空间直角坐标系，点O叫原点，向量都叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称xOy平面、 yOz平面、z0x平面．作空间直角坐标系O—xyz时，一般使∠xOy=1350,∠yOz=900．对于空间任一向量，由空间向量的基本定理知，存在唯一的有序实数组,使,有序实数组叫做在空间直角坐标系O—xyz中的坐标，记为=．对于空间任一点A，对应一个向量，于是存在唯一的有序实数组x，y，z，使，即点A的坐标为.空间向量的直角坐标运算:设=(a1,a2,a3),，则①,②,③ ④∥⑤ ⑥(用到常用的向量模与向量之间的转化：)⑦⑧设，则=这就是说，一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标．则，这就是空间两点间的距离公式．6. 法向量：若向量所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果, 那么向量叫做平面的法向量.法向量的用法：①利用法向量可求点到平面的距离定理：如图，设是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中，则点B到平面的距离为. (实质是在法向量方向上的投影的绝对值) ②利用法向量可求二面角的平面角定理：设分别是二面角中平面的法向量，则所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小.二面角的平面角或（，为平面，的法向量）.③直线与平面所成角(为平面的法向量).④异面直线间的距离 (的公垂向量为，分别是上任一点，为间的距离). (实质是在公垂向量方向上的投影的绝对值)基础训练 1. 判断题 （ ） （ ） 2 .在以下四个式子中正确的有（ ）a+b·c，a·（b·c），a（b·c），|a·b|=|a||b|A.1个 B.2个 C.3个 D.0个3.设向量a、b、c不共面，则下列集合可作为空间的一个基底的是（）A.{a+b，b－a，a} B.{a+b，b－a，b}C.{a+b，b－a，c} D.{a+b+c，a+b，c}4 .已知向量＝(－1，3，－2)，＝(2，0，－2)，＝(0，2，1)，＝，则的模为( )(A) (B) (C)12 (D)135 . 如图，已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则+等于( ) (A) (B) (C) (D) 6 . 若、、三个单位向量两两之间夹角为,则|++|＝()(A)6 (B) (C)3 (D)7.已知a=（1，0），b=（m，m）（m＞0），则〈a，b〉=_____________.8 A是△BCD所在平面外一点，M、N分别是△ABC和△ACD的重心，若BD=4，试求MN的长. ___________9 10.若a=(2x,1,3),b=(1,-2y,9),且a∥b，则x= ,y= .11 .在四面体O-ABC中，=a,=b, =c,D为BC的中点,E为AD的中点，则= (用a,b,c表示).12 已知四边形ABCD中，=－2，=5+6－8，对角线AC、BD的中点分别为E、F，则=_____________13 若A(－1，2，3)、B(2，－4，1)、C(x，－1，－3)是直角三角形的三个顶点，则x＝ 14 这四个点是否共面______ ___.(注:共面填“是”,不共面填“否”)15 . 如图直角梯形OABC中，∠COA＝∠OAB＝，OC＝2，OA＝AB＝1，SO⊥平面OABC，SO=1，以OC、OA、OS分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系O-xyz.⑴求的大小（用反三角函数表示）；⑵设①②OA与平面SBC的夹角（用反三角函数表示）；③O到平面SBC的距离.⑶设①________. ②异面直线SC、OB的距离为_______.（注：⑶只要求写出答案） 空间几何中的向量方法16. 如下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.C1A1B1BCA（1）求BN的长；高考资源网（2）求异面直线BA与1CB1的余弦值；（3）求证：A1B⊥C1M.17 .如图，在正四棱柱中，已知，、分别为、上的点，且图9（Ⅰ）求证：平面；高考资源网（Ⅱ）求点到平面的距离.强化训练 1.有4个命题：①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；③若=x+y，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则=x+y.其中真命题的个数是 .答案 22如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为（ D ）A. B. C. D.3．在下列命题中：高考资源网①若、共线，则、所在的直线平行；②若、所在的直线是异 面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定也共面；④已知三向量、、，则空间任意一个向量总可以唯一表示．其中正确命题的个数为 （ A ）A.0 B.1 C.2 D.34.下列是真命题的命题序号是 . 答案 ④①分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量②若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反③若向量，满足||＞||，且与同向，则＞④若两个非零向量与满足+=0，则∥参考答案基础训练1 1 解：（1）正确。
2 A解析：根据数量积的定义，b·c是一个实数，a+b·c无意义.实数与向量无数量积，故a·（b·c）错，|a·b|=|a||b||cos〈a，b〉|，只有a（b·c）正确.答案：A 3答案：C解析：由已知及向量共面定理，易得a+b，b－a，c不共面，故可作为空间的一个基底，故选C4 B 5 A 6 B 7答案：45°8 解：连结AM并延长与BC相交于E，连结AN并延长与CD相交于E，则E、F分别是BC及CD的中点.现在=－ = － = （－）== （－）=（－ ）=（－）=.∴=||= ||= BD=. 9 解： 10答案 - 11答案 a+b+c 12 答案：3+3－513 或－11． 14 是 15解：⑴如图所示：C（2,0,0），S（0,0,1），O（0,0,0），B（1,1,0）⑵①②,③； 16【解法】：∵AC⊥BC,CC1⊥面ABC，∴可以建立如图所示的坐标系（1）依题意得B（0， 1，0），N（1，0，1），∴｜｜==.高考资源网（2）A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），∴=(1,-1,2)，=（0，1，2），·=3，｜｜=，｜｜=.∴cos〈，〉==.高考资源网所以，异面直线BA与1CB1的余弦值为（3）证明：C1（0，0，2），M（，，2），高考资源网=(-1,1,-2)，=（，，0），∴·=0，∴A1B⊥C1M.【点评】底面有直角的直棱柱适合建立坐标系的条件，可以用两点间的距离公式，数量积的夹角公式，用坐标法求点点距、向量夹角。
特别注意异面直线角的范围(0,],而向量角的范围为[0,π] 高考资源网SBCA【变式与拓展】在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=.高考资源网（1）求证：SC⊥BC；（2）求SC与AB所成角的余弦值.【解法一】：如下图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=，得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2，，0）， =（2，，－2），=（－2，，0）. （1）∵·=0，∴SC⊥BC.（2）设SC与AB所成的角为α，∵=（0，，0），·=4，||| |=4，∴cosα=，即为所求. 高考资源网【解法二】：（1）∵SA⊥面ABC，AC⊥BC，AC是斜线SC在平面ABC内的射影，∴SC⊥BC.（2）如下图，过点C作CD∥AB，过点A作AD∥BC交CD于点D，连结SD、SC，则∠SCD为异面直线SC与AB所成的角.∵四边形ABCD是平行四边形，CD=，SA=2，SD===5，∴在△SDC中，由余弦定理得cos∠SCD=，即为所求.图917解：(Ⅰ)以为原点，以、、的正向分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则于是 且 平面高考资源网 （Ⅱ）由(Ⅰ)知，为平面的一个法向量，高考资源网向量在上的射影长即为到平面的距离，设为，于是故点到平面的距离为 3310。