第三章第三章 随机向量及其分布随机向量及其分布主要内容：主要内容：1、随机向量与分布函数、随机向量与分布函数2、离散型随机向量：结合概率分布律，边缘分、离散型随机向量：结合概率分布律，边缘分布，条件分布，独立性布，条件分布，独立性3、延续型随机向量：结合概率密度，边缘概率、延续型随机向量：结合概率密度，边缘概率密度，条件概率密度函数与独立性密度，条件概率密度函数与独立性4、随机向量函数的分布、随机向量函数的分布一、二维随机变量及其分布函数一、二维随机变量及其分布函数 研讨思绪与一维一样 运用分布函数,概率分布和概率密度等函数,来刻划作为一个整体的二维随机变量的统计规律1.二维随机变量以下只讨论二维随机变量以下只讨论二维随机变量(X,Y)12(,)nnX XXnnX定义：称 个定义在同一个样本空间上的随机变量组成的向量，为 维随机变量或 维随机向量2 2、结合分布函数、结合分布函数2,(,)P,R,XYXYF x yXx Yyx yXY定义：设是二维随机变量，则称二元函数为的分布函数，或 与 的联合分布函数XxYyXxYy0000,F x yX Yx yxxyy几何意义：分布函数表示随机点落在区域 中的概率。
如图阴影部分所示：xy00,xy 3、结合分布函数的性质结合分布函数的性质10(单调不减性).,),(是是单单调调不不减减的的分分别别关关于于yxyxF 一维随机变量分布函数的性质？1212,(,)(,)xyyF x yF x y固定 对任意的有1212,(,)(,)yxxF x yF xy固定对任意的有xy20(规范性)0,1,F x y(,)0F 且，(,)1F .0),(,0),(,yFyxFx lim,=lim P,=P,=P=lim,=lim P,=P,=P=XyyYxxF x yXx YyXx YXxFxF x yXx YyXYyYyFy 30(右延续性)00000000,(0)(,),()(,);0 xyxyFF x yFF x y-称之为X,Y的边缘分布函数40(矩形不等式)11212122,P0 xxyyxXxyYy，22111122(,)(,)(,)(,)0F x yF x yF x yF x y即2x1x2y1y1,(,)23X YxyF x yA BarctgCarctg例、已知二维随机变量的联合分布函数为解解:(1)(,)122FABC(,)023yFyA BCarctg(,)022xF xABarctgC 212ACB 1ABC 2 P 02,03 34 P2.XYXYX求常数，；和 的边缘分布函数；12 P 02,030,02,30,32,016XYFFFF),()(xFxFX(3).,2arctan121xx),()(yFyFY11arctan,.23yyP21 P2XX 22arctan121114(4)22222,0 00;,01,01;(,),01,1;,1,01;1,1,1.11P3,1.23X Yxyx yxyF x yxxyyxyxyXYXY 例、已知二维随机变量的联合分布函数为，或 求(1)和 的边缘分布函数；(2)Y2PP,=lim P,lim,0,0;=,01;1,1.xxFyYyXYyXx YyF x yyyyy 2(1)PP,=lim P,lim,0,0;=,01;1,1.XyyFxXxXx YXx YyF x yxxxx 解：11111 11(2)P3,13,1,3,123322 312XYFFFF Ylim,lim,XyxFxF x yFyF x y一般地，边缘分布函数由联合分布函数唯一确定：，但是，仅仅由边缘分布函数不能确定联合分布函数。
可以将二维可以将二维 随机变量及其边缘分布函数的概随机变量及其边缘分布函数的概念推行到念推行到 n 维维 随机变量及其结合分布函数与边缘随机变量及其结合分布函数与边缘分布函数分布函数10(,)100 xyyyXYX YexexyF x yeyeyxFxFy 例3、已知的联合分布函数为，；，；，其他.求与 1,0(,)0 01,0(,)0 0 xXyyYexFxF xxeyeyFyFyy ；解：，.；，.二、二维离散型随机变量及其概率分布二、二维离散型随机变量及其概率分布,(,),1,2,(,)XYxyi jijX Y定义：若二维随机变量所有可能的取值 为有限多个或无穷可列多个，则称为二维离散型随机变量),P,1,2,ijijijijX Yx ypXxYypi jX YXY定义：若二维离散型随机变量取的概率为则称=，为二维离散型随机向量的概率分布律(列)，或随机变量 与的联合概率分布律(列)P,1,2,ijijX YXxYypi j记为，1 1、结合概率分布律、结合概率分布律111ipp1jijpp 1 jyy1ixxXY,:X Y 的联合概率分布律也可列表表示如下结合概率分布律的性质结合概率分布律的性质：10,1,2,2111pijijpijji;例例4 4、袋中有、袋中有2 2只红球，只红球，3 3只白球，现不放回摸球二次，只白球，现不放回摸球二次，令令第二次摸到白球第二次摸到红球第一次摸到白球第一次摸到红球0101YX求(X,Y)的结合概率分布律。
XY101010110310310322251P1,110PXYP252 33P1,010XYP253 23P0,110XYP23253P0,010PXYP,Xi YjXiYj P|PYj XiXij ip PXiYj例例5 5、设随机变量、设随机变量 X X 在在 1,2,3 1,2,3 中等能够地取值中等能够地取值,Y 在 1X 中等能够地取整数值,求求(X,Y)(X,Y)的结合概率分布律的结合概率分布律及及F(2,2).F(2,2).解 确定随机变量的取值：P1,1P1,2P2,1P2,2XYXYXYXY(1,2,3,)iji 13 1/3 Y 1 2 3 X123 1/6 1/6 1/9 1/9 1/9ijijyxxyp =2/3 P,Xi Yj 0 0 01i F(x,y)=P X x,Y y 222,2ijijpF 123XY例4续：分别求随机变量 和 的概率分布律如果第一次摸的是红球，求第二次摸的是红球的概率；如果第一次摸的是红球，求第二次摸的是白球的概率2、边缘概率分布律、边缘概率分布律11,P,1,2,P,1,2,P,1,2,ijijiiijjjjijiXYX YXxYypi jXxppi jX YXYyppi jX YY若随机变量 与 的联合概率分布律为则称为关于 的边缘概率分布律；为关于 的边缘概率分布律。
1111ipp1jijpp 结合概率分布律及边缘概率分布律结合概率分布律及边缘概率分布律1 jyy1ixx1PXipp1P YjppXY3、条件概率分布律、条件概率分布律,P,1,2,P,P|,1,2,PP,P|,1,2,PijijijijijjjjijijjiiiiXYX YXxYypi jXx YypXx YyipYyYyXXx YypYyXxjXxpXxY若随机变量 与 的联合分布律为则称为给定条件时，的条件概率分布律；为给定条件时，的条件概率分布律3 3、条件概率分布律、条件概率分布律|P|,1,2,jijjijjYyXpX YyXx Yyip给定条件时，的条件概率分布律记作：iXxY同理：给定条件时，的条件概率分布律也可以如上表示jX Yy|PjX Yy1ppjijppjj1 ixx4 4、随机变量的独立性、随机变量的独立性,P,1,2,1,2,ijijijijXYX YXxYypi ji jpppXY设随机变量 与 的联合概率分布律为，如果对任意的，都有则称随机变量 与 相互独立1,2 3 P2;44516X YXYXYXYYXXY的联合概率分布律；与 的边缘概率分布律；给定条件时，的条件概率分布律；给定条件时，的条件概率分布律；判断随机变量 与 是否相互独立？651 2 3 4 5.333XY例、设袋中有 只球，编号分布为，现从袋中任取 只球，用 表示取出 只球中的最大号码，表示取出 只球中的最小号码，求 13,4,5,2,3.,XYX Y解：的可能取值为，的可能取值为1的联合概率分布律与边缘概率分布律如下表所示：X123PX30.1000.140.20.100.350.30.20.10.6PY0.60.30.11Y 3 P2P4,1P5,1P5,2=0.2+0.3+0.2=0.7XYXYXYXY 4PY|X=4Y|X=41232/31/30 5X|Y=1PX|Y=13451/61/31/2 6 P3,20,P30.1,P20.3P3,2P3P2XYXYXYXYXY因为所以，与 不独立。
101P|0.250.50.25P01,XXYXXYX Y例7 设随机变量 与 有相同的概率分布：并且求的联合概率分布律P01P0P00P1,1P1,1P1,1P1,10XYXYXYXYXYXYXY 解：因为 所以=-从而 P11,1P1,0P1,10.25P1,00.25XP XYXYXYXY 又因为 所以 P1,00.25P0,1P0,10.25XYXYXY 同理可得：XPYYPX-101-100.2500.2500.2500.250.50100.2500.250.250.500.251P0.XYXY注：虽然 与 同分布，但是X,1,2,8.iYX Yi 例8 设随机变量 与 相互独立，的联合概率分布律与边缘概率分布律如下表所示，试求未知参数X-101PX0A11/9A2A311/3A4A5A6PY1/2A7A8Y123456781112A=,A=,A=,A=,618391211A=,A=,A=,A=.9336答案：当两个随机变量相互独立时，结合概率分布与边缘概率分布一一对应；当两个随机变量不独立时，结合概率分布可以独一确定边缘概率分布，但反之未必如下例，第一组独立，第二组不独立，边缘分布一样，但结合分布不同。
X -101PX03/16 3/166/163/411/16 1/16 2/16 1/4PY1/41/41/21X -101PX001/42/43/411/4001/4PY 1/4 1/41/21YY 32 1,2 3X YXYXYXYXY练习：设袋中有 只白球，只红球在下面三种情形下，分别求：的联合概率分布律；与 的边缘概率分布律；判断 与 是否独立？情形一：从中无放回的依次取2只球用 表示白球的个数，表示红球的个数；情形二：从中有放回的依次取2只球用 表示白球的个数，表示红球的个数；情形三：有放回的抽取2次XY，每次取2只球用 表示第一次取到的白球数，表示第2次取到的红球数三、二维延续型随机变量及其概率密度函数三、二维延续型随机变量及其概率密度函数22,(,)(,)(,)d d,xyX Yfx yx yF x yf u vu vX Yf x yX YXYX Yf x yx y 定义：设是二维随机变量，若存在一个非负可积函数，使得，分布函数则称为二维连续型随机变量，为的联合概率密度函数 或概率密度，或 与 的联合概率密度函数记作 1、结合概率密度函数、结合概率密度函数2、结合概率密度函数的性质 223,(,)(,)(,)fx yx yF x yf x yx y 若在处连续，则有 21,0,;2,d d1.,f x yx yf x yx yf x y 非负性：归一性：反之，具有以上两个性质的二元函数，必是某个二维连续型随机变量的概率密度函数。
2 4G,P(,)(,)d dGX YGf x yx y对于任意平面区域都有设设1,01,01;(,)(,)0,.xyX Yf x y其他1001d1 d2xP XYxy:P XY求1yx1(23),0,0(,)(,)0.xyAexyX Yf x y；，其他例例1.设设解：解：(1)(1)由归一性由归一性6 A 1A2 1,1 3D,:00236FX Yx yxyxy求常数；，落在区域=,内的概率23)00d(,)ddd1xyxf x yyxAey11(23)00(2)(1,1)P1,1d6dxyFXYxey11011230023=2d3d(1)(1)xyexeyee3(23)P(,)6d dxyDX YDex y6 23(23)300d6dxxyxey671e 2,1(,);(,)0,DDX Yx yDRSf x yX Y若二维随机变量的概率密度函数为，其他.则称在区域 上 内 服从均匀分布DDGP,GGDX YSX YS易见，若在区域 上 内 服从均匀分布,则对 内任意区域，有1DS 2.,D 1,2 P2 30.5,0.5X YX YYXF例 设服从如图区域 上的均匀分布求的联合概率密度；yx yx 1S1,1,(,);,0,(,).DX Yx yDf x yx yD解：如图所示，三角形的面积 所以，的联合概率密度函数为 1113 (0.5,0.5)0.5,0.51224FP XY 131(2)P211224GYXS 221212(,)(,)X YN记作：(2)(2)二维正态分布二维正态分布N(N(1,1,2,2,1,1,2,2,)22112222212121()()()()22(1)2121212221212,1(,)2100|1,xxyyX Yf x yeX Y 如果二维随机变量的联合概率密度函数为其中，、为实数，、，则称服从参数为的二维正态分布。
4、边缘概率密度函数、边缘概率密度函数 2,()(,)d(,)d(,)d(,)ddXxxXX Yfx yx yfxf x yyXFxF xxf x yyf x yyx 设则称为随机变量 的边缘概率密度函数这是因为边缘分布函数()(,)dYfyf x yxY 同理，称为随机变量 的边缘概率密度函数例例3 3、设、设(X,Y)(X,Y)的结合概率密度函数为的结合概率密度函数为2,;(,)0,cxyxf x y其他.求求(1)(1)常数常数c;(2)c;(2)随机变量随机变量X X的边缘概率密度函数的边缘概率密度函数解解:(1):(1)由归一性由归一性210dd1xxxc y 6 c(2)()(,)Xfxf x y dy0,01;xor x26d,01,xxyx26(),01;0,01.xxxxor x5 5、随机变量的相互独立性、随机变量的相互独立性 XY(,)XYF x yFx Fy定理：随机变量 与 独立的充分必要条件是:2(,)(,),(,)XYX YXYx yf x yfx fy定理:设是二维连续型随机变量，则随机变量 与独立的充分必要条件是：对任意的等式 几乎处处成立12(,)4,01,011(,)0,8,012(,)0,X Yxyxyf x yxyxyfx yX Y例4、设的联合概率密度函数为，其他；，其他；讨论是否独立？11()(,)dXfxf x yy解：因为边缘概率密度函数12,01,()0,.Yyyfy同理，其他111(,)()()XYf x yfx fyXY显然，故 与 相互独立。
11102,01,4d0,xxxy y其他；2122,4(1),01,()8d0,XxX Yxxxfxxy y的边缘概率密度函数分别为其他.113204,01,()8 d0,yYyyfyxy x其他.222(,)()()XYfx yfx fyXY显然所以，与 不独立例例5、求二维正态分布的边缘概率密度求二维正态分布的边缘概率密度22112222112221212(1)1(,)21()(,)dyyxxXf x yfxf x yy 解：e e22121 122211221211)()2 12de ee eyxxy 212211()1yxt ，221dd,1ty 2121()211,2e exx 22121()2211d2e ee etxt 2222()221(),2yYyfy 同同理理，e e221212221122,N,X YXY 定理：若，则221212,N,0.X YXY 定理：若，则 与 独立当且仅当121,01,01;6,(,)0,1(0.5)(0.5),01,01;,(,)0,xyX Yf x yxyxyX Yf x y例、设其他.其他.试比较他们的边缘概率密度注：注：1.1.均匀分布的边缘分布还是均匀分布。
均匀分布的边缘分布还是均匀分布2.2.结合概率密度函数独一确定边缘概率密度函数，结合概率密度函数独一确定边缘概率密度函数，但反之不一定成立一样的边缘分布可以有不同的结合但反之不一定成立一样的边缘分布可以有不同的结合分布例例7 7、甲乙商定、甲乙商定8:008:00 9:009:00在某地会面设两人都随在某地会面设两人都随机地在这期间的任一时辰到达，先到者最多等待机地在这期间的任一时辰到达，先到者最多等待1515分钟过时不候求两人能见面的概率分钟过时不候求两人能见面的概率XYU 0,601,060,060;(,)36000,XYXXYxyf x y解：设、分别表示甲、乙到达的时刻，则 与 同分布，又因为 与 相互独立，所以它们的联合概率密度函数为否则.7P|15360016XY所以，两人能见面的概率为：阴影图像的面积|15XY根据题意，两人能见面6060606015xy15yx6、条件概率密度函数000limP|P,limPyXx yYyXx yYyyYy定义：给定，设对任意固定的正数，极限|,.(|)P|X YYyXFx yXx Yy存在，则称此极限为在条件下的条件分布函数记作()0Yfy 可以证明当时，有|(,)d(,)(|)d()()xxX YYYf u yuf u yFx yufyfy|()0(|)(,)(|)()X YYX YX YYfx yYyXfyFx yf x yfx yxfy若记为在条件下,的条件概率密度，则当时，()0XfxXxY类似定义，当时，在条件下,的条件概率密度为)(),()|()|(|xfyxfyxyFxyfXXYXY228,211(,)40.X Yx yxyf x y例、已知的联合概率密度为，；，其他|1(|);11 2P|.33Y Xfy xYX 求条件概率密度条件概率xy1解解:1 1()(,)dXfxf x yy21221d,11;40,1or1;xx y yxxx-11024211,11;80,xxx 其他.|-11(,)(|)()Y XXxf x yfy xfx当时，1|1/3141/3111 2 P|(|)d33329d10113Y XYXfyyyy 242,1;10,yxyx其他.|,02,max(0,1)min(1,);(,)0,1(),();(2)(|),(|);(3)XYX YY XX Yxxxyxf x yfxfyfx yfy xXY例9、设的联合概率密度函数为其他.求与 独立吗？111yxyx2 1X解：先求 的边缘概率密度，分四种情况讨论。
0()0Xxfx当时，；2()0Xxfx当时，；2001()(,)ddxXxfxf x yyx yx当时，12-112()(,)dd2Xxxfxf x yyx yxx当时，Y再求 的边缘概率密度函数()(,)dYfyf x yx1d,01,yyx xy0,01.yor y 12,01,20,.yy其他|201(,)|()X YYyf x yfx yfy当时，2,1,120,.xyxyy 其他|01(,)|()Y XXxf x yfy xfx当时，1,0,0,.yxx其他|12(,)|()Y XXxf x yfy xfx当时，1,10，0,试分别就以上两种结合方式写出L的寿命Z的概率密度8,01,(,)0,(1)max(,)(2)Wmin(,)xyxyX Yf x yZX YX Y例.设其他.求的概率密度函数；的概率密度函数.11yx 10()0,ZzFz解：当时，1()1,ZzFz当时，4000z1()d8d,zyZFzyxy xz当时，34,01,()0,ZZzzfz所以，的概率密度函数为其他.2()1 P min(,)1 P,WF wX YwXwYw 1()1,WwFw当时，1241()1d8d2,yWwwwFwyxy xww 当0时，0()0,WwFw当时，4,01,()0,wwwfw所以，的概率密度函数为其他.U 0,2,(1),1 Z(2)Umax(,)(3)Vmin(,)XYEXPXYXYX YX Y例 设且 与 相互独立，求的概率密度函数。
341XYZXY例 设随机变量 服从参数为 的两点分布，随机变量服从参数为 的指数分布，求的分布小结小结。