线性代数实践题目之线性代数的发展学院：水利学院专业：港口航道与海岸工程班级：2010029班小组成员：沈利杰(201002915)周辉(201002917)周晓勇(201002918)日期：2011年10月10日线性代数（Linear Algebra ）是数学的一个分支，它的研究对象是向量，向量空间（或称线 性空间），线性变换和有限维的线性方程组向量空间是现代数学的一个重要课题；因而，线 性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中；通过解析几何，线性代数得以被具体表示线 性代数的理论已被泛化为算子理论由于科学研究中的非线性模型通常可以被近似为线性模型， 使得线性代数被广泛地应用于自然科学和社会科学中线性代数是理工类、经管类数学课程的 重要内容在考研中的比重一般占到22%左右发展史由于费马和笛卡儿的工作，线性代数基本上出现于十七世纪直到十八世纪末，线性代数的 领域还只限于平面与空间十九世纪上半叶才完成了到n维向量空间的过渡矩阵论始于凯莱， 在十九世纪下半叶，因若当的工作而达到了它的顶点 1888年，皮亚诺以公理的方式定义了有 限维或无限维向量空间托普利茨将线性代数的主要定理推广到任意体上的最一般的向量空间 中。
线性映射的概念在大多数情况下能够摆脱矩阵计算而引导到固有的推理，即是说不依赖于 基的选择不用交换体而用未必交换之体或环作为算子之定义域，这就引向模的概念，这一概 念很显著地推广了向量空间的理论和重新整理了十九世纪所研究过的情况 “代数”这一 个词在中国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到 1859年， 清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，之后一直沿用在数学中的地位线性代数是讨论矩阵理论、与矩阵结合的有限维向量空间及其线性变换理论的一门学科 主要理论成熟于十九世纪，而第一块基石（二、三元线性方程组的解法）则早在两千年前出现 （见于中国古代数学名著《九章算术》）①线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中有 各种重要应用，因而它在各种代数分支中占居首要地位；②在计算机广泛应用的今天，计算机 图形学、计算机辅助设计、密码学、虚拟现实等技术无不以线性代数为其理论和算法基础的一 部分；③该学科所体现的几何观念与代数方法之间的联系，从具体概念抽象出来的公理化方法 以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等，对于强化人们的数学训练，增益科学智能是非常有 用的；④随着科学的发展，我们不仅要研究单个变量之间的关系，还要进一步研究多个变量之 间的关系，各种实际问题在大多数情况下可以线性化，而由于计算机的发展，线性化了的问题 又可以计算出来，线性代数正是解决这些问题的有力工具。
基本介绍线性（linear）指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学上可以理解为一阶导数为常 数的函数，而非线性（non-linear ）则指不按比例、不成直线的关系，一阶导数不为常数线 性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究在这里，一个向量是一个有方向的线段，由长 度和方向同时表示这样向量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法这 就是实数向量空间的第一个例子现代线性代数已经扩展到研究任意或无限维空间一个维数 为 n 的向量空间叫做 n 维空间在二维和三维空间中大多数有用的结论可以扩展到这些高维 空间尽管许多人不容易想象 n 维空间中的向量，这样的向量（即 n 元组）用来表示数据非 常有效由于作为 n 元组，向量是 n 个元素的“有序”列表，大多数人可以在这种框架中有 效地概括和操纵数据比如，在经济学中可以使用 8 维向量来表示 8 个国家的国民生产总值（GNP ）当所有国家的顺序排定之后，比如（中国、美国、英国、法国、德国、西班牙、印度、 澳大利亚），可以使用向量（v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8 ）显示这些国家某一年各自的GNP这 里，每个国家的 GNP 都在各自的位置上。
作为证明定理而使用的纯抽象概念，向量空间（线性 空间）属于抽象代数的一部分，而且已经非常好地融入了这个领域一些显著的例子有：不可 逆线性映射或矩阵的群，向量空间的线性映射的环线性代数也在数学分析中扮演重要角色， 特别在 向量分析中描述高阶导数，研究张量积和可交换映射等领域 向量空间是在域上定义的，比如实数域或复数域线性算子将线性空间的元素映射到另一个线性空间（也可以是 同一个线性空间），保持向量空间上加法和标量乘法的一致性所有这种变换组成的集合本身 也是一个向量空间如果一个线性空间的基是确定的，所有线性变换都可以表示为一个数表， 称为矩阵对矩阵性质和矩阵算法的深入研究（包括行列式和特征向量）也被认为是线性代数 的一部分我们可以简单地说数学中的线性问题——-那些表现出线性的问题——是最容易被解 决的比如微分学研究很多函数线性近似的问题在实践中与非线性问题的差异是很重要的 线性代数方法是指使用线性观点看待问题，并用线性代数的语言描述它、解决它（必要时可使 用矩阵运算）的方法这是数学与工程学中最主要的应用之一重要定理•每一个线性空间都有一个基 •对一个n行n列的非零矩阵A,如果存在一个矩阵B使AB = BA =E （E是单位矩阵），也即A的逆阵为B,则A为非奇异矩阵。
•一个矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零 •一个矩阵非奇异当且仅当它代表的线性 变换是个自同构 •一个矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零 •一个矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零 •解线性方程组的克式定理 •判断线性方程组有无非零实根的增广矩阵和系数矩阵的关系一般化和相关主题线性代数是一个成功的理论，其方法已经被应用于数学的其他分支 •模论就是将线 性代数中的标量的域用环替代进行研究 •多线性代数将映射的“多变量”问题线性化为每个不同变量的问题，从而产生了张量的概念 •在算子的光谱理论中，通过使用数学分析，可以控制无限维矩阵 所有这些领域都有非常大的技术难点课程内容一、课程的性质与任务线性代数课程是高等学校理工科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它广泛应用于 科学技术的各个领域尤其是计算机日益发展和普及的今天，使线性代数成为工科学生所必备 的基础理论知识和重要的数学工具线性代数是为培养中国社会主义现代化建设所需要的高质 量专门人才服务的通过本课程的学习，要使学生获得： 1．行列式 2．矩阵 3．向量组的相关性、矩阵的秩 4．线性方程组 5．特征值与特征向量 6．相似矩阵与 二次型等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识 奠定必要的数学基础。
在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能 力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有比较熟练的运算能 力和综合运用所学知识去分析和解决问题的能力二、课程的教学内容（1）行列式 ：1． n 阶行列式的定义 、 2．行列式的性质 、 3．行列式的计算，按行（列）展开 、 4．解线性方程组的克莱姆法则 ； （2）矩阵：1．矩阵的概念、单位 矩阵、对角矩阵、对称矩阵 、 2．矩阵的线性运算、乘法运算、转置运算及其规律 、 3．逆 矩阵概念及其性质，用伴随矩阵求逆矩阵、 4.分块矩阵的运算；（3）向量：1. n维向量的概念 、 2．向量组的线性相关、线性无关定义及其有关定理，线性相关性的判别 、3.向量组的最大无关组、向量组的秩 、 4.矩阵的秩的概念 、 5.矩阵的初等变换，用初等变换求矩阵的秩和逆矩阵 、 6.n 维向量空间及子空间、基底、维数、向量的坐标 ；（4）线性方程组： 1.齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件 、 2.线性方程组的基础解系、通解及解的结构 、 3.非齐次线性方程组有解的条件及其判定，方程组的解法 、 4.用初等行变换求线性方程组的通解 ； （5）相似矩阵与二次型： 1.矩阵的特征值与特征向量及其求法 、 2.相似矩阵及其性质 、 3.矩阵对角化的充要条件及其方法 、 4.实对称矩阵的相似对角矩阵 、 5.二次型及其矩阵表示 、 6.线性无关的向量组正交规范化的方法 、 7.正交变换与正交矩阵的概念及性质 、 8.用正交变换化二次型为标准形 、 9.用配方法化二次型为平方和，二次型的规范形 、 10.惯性定理、二次型的秩、二次型的正定性及其判别； （6） MATLAB:本身是一种编程语言，可作为工科线性代数的教学软件，为国内外许多大学教材所引进。
三、课程的基本要求1.理解 n 阶行列式的定义，会用定义计算简单的行列式； 2.熟练掌握行列式的基本计算 方法和性质； 3.熟练掌握克莱姆法则； 4.理解矩阵的定义； 5.熟练掌握矩阵的运算方法和求 逆矩阵的方法； 6.理解向量相关性的概念，会用定义判定向量的相关性； 7.掌握求矩阵秩的 方法，理解矩阵秩与向量组的相关性之间的关系； 8.理解向量空间的概念，会求向量的坐标； 9.熟练掌握用初等变换求矩阵秩、逆矩阵，解线性方程组； 10.熟练掌握线性方程组的求解方 法，知道线性方程组的简单应用； 11.熟练掌握矩阵特征值、特征向量的求法； 12.掌握相似 矩阵的概念，矩阵对角化的概念； 13.熟练掌握用正交变换化二次型为标准型的方法； 14.理 解二次型的惯性定理，会用配方法求二次型的平方和； 15.掌握二次型正定性概念及应用。