Chapter 4 能带理论(energy band theory)一、简要回答下歹U问题( answer the following questions )1、 波矢空间与倒格子空间有何关系？为什么说波矢空间内的状态点是准连续的？［答］波矢空间与倒格子空间处于统一空间，倒格子空间的基矢分别为 b - b 2, b 3，而波矢空间的基矢分别为 b JN - b 2 / N 2, bs/NsiN—N?, N3分别是沿正格子基矢 a - a 2, a 3方向晶体的原胞数目倒格空间中一个倒格点对应的体积为 b勺*( b 2 b3) =「*h h b 3 Q *波矢空间中一个波矢点对应的体积为 丄(丄 二) -N1 N 2 N3 N即波矢空间中一个波矢点对应的体积 ，是倒格空间中一个倒格点对应的体积的 1/N由于N是晶体的原胞数目，数目巨大，所以一个波矢点对应的体积与一个倒格点对应的体积相比是 极其微小的也就是说， 波矢点在倒格子空间是极其稠密的 因此，在波矢空间内作求和处理时，可以把波矢空间的状态点看成是准连续的2、 在布里渊区边界上电子的能带有何特点？［答］电子的能带依赖波矢的方向， 在任一方向上，在布里渊区的边界上， 近自由电子的 能带一般会出现禁带。
若电子所处的边界与倒格矢 Gh正交，边界是Gh的中垂面，则禁带的 宽度Eg=2|Vn| , Vn是周期势场的付里叶级数的系数不论何种电子，在布里渊区的边界上， 其等能面在垂直于在布里渊区的边界上的斜率为 零，即电子的等能面与布里渊区的边界正交3、 带顶和带底的电子与晶格的作用各有什么特点？白2 E［答］能带顶部是能带的极大值的位置，所以 -E ：：: 0Ek 2_ 一 刊2 E其有效质量 m* =( 2 / I)-.： 0 ;说明此时晶格对电子作负功，即电子要供给晶格能量，而且电子供给晶格的能量大于外场对电子所作的功 原因是：有效质量概括了晶格对电子的作用，因此有waiwai将上式分子上变成能量的形式，则有能带顶部是能带的极小值的位置，所以F wai …dtF wai *V dt Fjg dtm * m m-2 rk晶格对电子作正功，有效质量大于零1#4、单电子理论是怎样将多体问题简化为周期场中的单电子问题的?［答］单电子理论是在经过几步近似之后， 将多体问题转化为单电子问题， 以单电子在周#期场中运动的特征表述晶体电子的特征第一步：绝热近似(adiabatic approximation )。
这是考虑到原子核的质量比电子 大得多，运动速度慢，在讨论电子问题时可认为原子核是固定在瞬时的位置上， 从而把多种粒子的多体问题化成多电子问题；第二步：自洽场近似 (self-c on siste nt field approximatio n)把要讨论的电子，视为在离子势场和其它电子的平均势场中运动，即哈特利-福克自洽场近似 (Hartree-Fock self-co nsiste nt field approximatio n) ，把多电子问题简化为单电子问题；第三步：周期场近似 (periodic pote ntial approximatio n) 把所有离子势场和其它电子的平均势场简化为周期场能带理论就是周期场中的单电子理论5、旺尼尔函数可用孤立原子波函数来近似的根据是什么?［答］旺尼尔函数可以表示为1 i k R .Wn(r -R n)：——■ ■ e-nk」N k紧束缚模型适用于原子间距较大的晶体1 ik ・(r _R n)- 、e u(k, r)N k在这类晶体中的电子有两大特点： (1)电子被束缚在原子附近的几率较大， 在原子附近它的行为同孤立原子的行为相近 (2)它远离原子的几率很小。
再利用旺尼尔函数的正交性， 即可得到旺尼尔函数可用孤立原子波函数来近似是由紧束缚电子的性质来决定的6、紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比较，哪一个宽？为什么？［答］紧束缚模型下，内层电子的能带与外层电子的能带相比较， 外层电子的能带比内层电子的能带宽由于能量最低的带对应于最内层的电子， 它的电子轨道很小， 在不同原子间很少相互重叠，因此， 能带较窄能量较高的外层电子轨道，在不同的原子间将有较多的 重叠从而形成较宽的带而且内层电子，能带宽度较小，能级与能带之间一一对应；外层电子， 能带较宽能级与能带之间的对应比较复杂能态密度函数是如何定义的？［答］能态密度函数是指单位能量间隔的状态数考虑能量在 E — E+ △ E间的能态数目，假定△Z表示能态数目，则能态密度函数定义为iZN (E) =limAE在波矢空间，根据 E(k)=常数 作出等能面，则在等能面 E和E+ △ E之间的状态的数目就是△乙所以△ Z =： V /( 2n ) 3](两等能面 E— E+ △ E之间的体积)得到能态密度的一般表达式为dS9、简约布里渊区、周期布里渊区以及扩展布里渊区的图象有什么区别?［答］三种图象表示的差别为:简约布里渊区图象(reduced zone scheme):所有能带都描绘于第一布里渊区内，能带是 波矢k的多值函数，在简约区给出能带的全貌。
周期布里渊区图象(repeated zone scheme)：在每一个布里渊区中描绘出所有的能带 可以表现出能带是周期函数的特点扩展布里渊区图象(extended zone scheme)：按照能量由低到高的顺序，将各能带的 k值分别限定在不同不同的布里渊区的区域这种情况下，能带是 k的单值函数10、晶体中能带 En(k)函数的对称性有哪些？ ［答］晶体中能带 En (k)函数的对称性有En ( k)=En( a)En( k)=En(- k) En( k)=En (k + Gn)二、填空题(fill in the blanks)( 并用英语表达)1、在离子实内部，用假想的势能取代真实的势能，求解波动方程时，若不改变其能量本征值及离子实之间的区域的波函数，则这个假想的势能就叫做 赝势(pseudo-potential)2、 Wannier函数有两个特点，它们分别是 定域性 和正交性3、 电子填充能带时，若恰好填满最低的一系列能带，再高的各带全部都是空的最高的满带称为 价带(valence band)，最低的空带成为 导带(conduction band)带隙是指 价带最高能级与导带最低能级之间的范围 。
4、 在状态空间中，单位体积含有的状态数，称为 状态密度 在状态空间中，状态V3 的分布是均匀的，在周期性边界条件的情况下，状态密度= (2二)当 na-b < x< na+b 当(n-1)a+b < x< na-b三、电子周期场的势能函数为厂 2 2 2V(x)(1/2)m(0 [b —(x — na)]0其中a=4b, 3为常数1) 试画出此势能曲线，并求其平均值用近自由电子近似模型求出晶体的第一辑第二个带隙宽度 ［解］1)如图所示是势能曲线4由于势能具有周期性，因此只在一个周期内求平均即可，于是得a / 22 bV (x)dxa / 24bV (x)dx2 bb1 2 2 m ，[b4b 2-b]dx2m 2[b x 8b--x3]|bb3 -2b22)已知禁带的宽度为 Eg=2|V n|,其中Vn是周期势场V(X)付里叶级数的系数,该系数表示为所以，第一禁带为Vna /2V(X)ea 二/2dxa /21Eg1 =2 |V1 | = 2 |— V(x)ea亠2dx=2b1卜4b -_b[b2 _x2]e2dx2b2二 3四、有一一维单原子链，间距为 用紧束缚方法求出与原子总长度为Na 。
a，s态能级对应的能带的 E(k)函数;同样可以求得第二禁带宽度为2JIEg25E(k) = ” -J(0)八J (R m)e"kn.n.一维单原子链只有两个最近邻，分别为 J(Rm)对于两个最近邻是相等的，记为Rm=a,-a , a为原子间距J,所以,ikaE(k)八$ 一 J一 J(eika )e；s「J0「2 J cos ka##2)能态密度的函数表达式：对于一维情况，状态密度为L/2 n ,，计其自旋,dk间的能级数为 dZ =2——dk#而能态密度函数为dZ dZ dkN (E)dE dk dEdE =2 Ja sin kadkL 1 LN(E) =22 兀 2 jJa sin kadk3）如每个原子的s态只有一个电子-2 2卉kE( k厂mdEdk能态密度L 1N (E )dEdkLm* 2：■. kT=OK的费米能级:L 1 L mN(E"2厂尼二2齐气dkEfN(E)dE 二0 0LmdE五、1、 证明一个简单正方晶格在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区一边中点大2倍2、 对一个简单立方晶格，在第一布里渊区顶角上一个自由电子的动能比该区面心上大多 少？胪k2［证明］1、自由电子的动能为2 m简立方的第一布里渊区仍为简立方， 设其边长为a，则对角线的长度为-3a，布区顶角上的动能为"k2E12 m2 3 2 a2 m 4面心k=a/2阳k2一21 2E2—a2 m2 m4 E1 3/4- 3E2 1/42、顶角上2E32m2 2a2m 4E3E2 1/4六、用紧束缚方法导出体心立方晶体 S态电子的能带kxa kya kzaE(k) = E0 - A - 8 J (cos cos cos ) 2 2 2并画出沿kx方向(ky =kz =0) E(kx),v(kx)的曲线。
七、证明在任何能带中，波矢为 k的状态与波矢为一k的状态有相同的能量，即En( k ) =En(-k)这里En (k )代表简约布里渊区中第 n个能带的k态波矢［证明］ .2由于哈密顿量 H 2 V (r)2m是实的，若“k是方程式的解，则 “k *也是方程的解，而且有相同的本征值，即H 书 nk=E n(k)书 nkH 书 *nk=E n(k)书 *nk晶体中-nk 二 eik・■(r)所以■-*nk 乂丄“ .(r)与W n，-k是相同的因而W nk与 n，-k是简并态，即En( k ) =En( -k )82) 求出其能态密度函数的表达式；3) 如每个原子s态上只有一个电子，求 T=OK时的费米能级Ef0及Ef处的能态密度 ［解］1、在紧束缚近似下，晶体电子的能量可以写为#。