衡水市钢城2018-2019学度初二上抽考试卷(12月)含解析解析 一．选择题1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．2．下列运算正确的是（ ）A．（2a3）2=2a6 B．a3a3=1（a≠0） C．（a2）3=a5 D．a5a=a53．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，若使△AED≌△CEB，则应补充的条件是（ ）A．∠A=∠C B．AE=CE C．DE=BE D．不用补充条件4．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（ ）A．（﹣4，2） B．（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2） D．（4，2）5．计算（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）的结果为（ ）A．3y2﹣2x2 B．4x2﹣9y2 C．4x2﹣12xy+9y2 D．9y2﹣4x26．将一副三角板按图中方式叠放，则∠m的度数为（ ）A．30 B．45 C．60 D．757．下列分解因式正确的是（ ）A．3x2﹣6x=x（3x﹣6） B．﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a）C．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y） D．4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）28．（x2﹣5x+q）的展开式中，不含x3和x2项，则p﹣q的值是（ ）A．22 B．﹣22 C．32 D．﹣329．如图，∠BAC=30，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF∥AB，已知AF=4cm，则DE的长为（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm10．如图，将30的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①∠DAC=∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③∠BED=30；④ED=2AB．其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二．填空题：11．分解因式：4x2﹣1= ．12．若x+y=5，xy=﹣4，则x2+y2= ．13．若4x2﹣2（m﹣1）x+9是完全平方式，则m= ．14．在实数范围内因式分解：x4﹣4= ．15．如图，A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接CD、AE交于点P，并分别交BE、BD于N、M，连接MN，下列结论中：①AE=CD；②AM=DP；③MN∥AC； ④若AB=2BC，连接DE，则DE⊥BE；⑤BP平分∠APC．正确的结论有： （填写出所有正确的序号）16．已知a+=3，则a2+的值是 ． 三.解答（共8题，共72分）17．计算：（1）（ab2）2•（﹣a3b）3（﹣5ab）； （2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）18．运用乘法公式计算：（1）（2a﹣3b）（﹣2a+3b）﹣（2a+3b）2（2）（2a﹣b﹣3c）（﹣2a+b﹣3c）．19．分解因式：（1）3x﹣12x3；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．21．已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．22．如图，△ABC的两条高AD、BF交于E，连EC，∠AEB=105，∠ABC=45．（1）求∠DEC的度数；（2）求证：AB﹣BE=CE．23．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90，∠ABC=30AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，（1）当n=1时，则AF= ；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．24．在平面直角坐标系中，点A（0，b）、点B（a，0）、点D（d，0）且a、b、c满足++（2﹣d）2=0，DE⊥x轴且∠BED=∠ABD，BE交y轴于点C，AE交x轴于点F．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求点E、F的坐标；（3）如图，过P（0，﹣1）作x轴的平行线，在该平行线上有一点Q（点Q在P的右侧）使∠QEM=45，QE交x轴于N，ME交y轴正半轴于M，求的值． 2015-2016学年湖北省武汉市钢城八年级（上）月考数学试卷（12月份）参考答案与试题解析 一．选择题1．下列图形中是轴对称图形的是（ ）A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故错误；B、不是轴对称图形，故错误；C、是轴对称图形，故正确；D、不是轴对称图形，故错误．故选C．【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合． 2．下列运算正确的是（ ）A．（2a3）2=2a6 B．a3a3=1（a≠0） C．（a2）3=a5 D．a5a=a5【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．【分析】根据同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方的运算法则分别进行计算，即可得出答案．【解答】解：A、（2a3）2=4a6，故本选项错误；B、a3a3=1（a≠0），故本选项正确；C、（a2）3=a6，故本选项错误；D、a5a=a4，故本选项错误；故选B．【点评】此题考查了同底数幂的除法、幂的乘方与积的乘方，关键是熟练掌握有关法则，注意指数的变化和结果的符号． 3．如图，AB与CD相交于点E，AD=CB，若使△AED≌△CEB，则应补充的条件是（ ）A．∠A=∠C B．AE=CE C．DE=BE D．不用补充条件【考点】全等三角形的判定．【分析】根据对顶角相等得到∠AED=∠BEC，加上AD=CB，利用“AAS”判断△AED≌△CEB需补充∠A=∠C或∠D=∠B．【解答】解：∵AD=CB，而∠AED=∠BEC，∴当∠A=∠C时，可判断△AED≌△CEB．故选A．【点评】本题考查了全等三角形的判定：判定两个三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”、“HL”． 4．已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A′B′C′与△ABC关于y轴对称，那么点A的对应点A′的坐标为（ ）A．（﹣4，2） B．（﹣4，﹣2） C．（4，﹣2） D．（4，2）【考点】坐标与图形变化-对称．【分析】根据对称的性质，在题中标示出对称点的坐标，然后根据有关性质即可得出所求点的坐标．【解答】解：∵轴对称的性质，y轴垂直平分线段AA，∴点A与点A的横坐标互为相反数，纵坐标相等．点A（﹣4，2），∴A（4，2）．故选D．【点评】本题主要考查如下内容：1、坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的2、掌握好对称的有关性质． 5．计算（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）的结果为（ ）A．3y2﹣2x2 B．4x2﹣9y2 C．4x2﹣12xy+9y2 D．9y2﹣4x2【考点】平方差公式．【分析】根据平方差公式进行计算，即可得出结果【解答】解：（﹣2x﹣3y）（2x﹣3y）=（﹣3y）2﹣（2x）2=9y2﹣4x2；故选：D．【点评】本题考查了平方差公式；熟练掌握平方差公式是解决问题的关键． 6．将一副三角板按图中方式叠放，则∠m的度数为（ ）A．30 B．45 C．60 D．75【考点】三角形的外角性质．【分析】首先根据三角板可知：∠CBA=60，∠BCD=45，再根据三角形内角和为180，可以求出∠m的度数．【解答】解：∵∠CBA=60，∠BCD=45，∴∠m=180﹣60﹣45=75，故选D．【点评】本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． 7．下列分解因式正确的是（ ）A．3x2﹣6x=x（3x﹣6） B．﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a）C．4x2﹣y2=（4x+y）（4x﹣y） D．4x2﹣2xy+y2=（2x﹣y）2【考点】因式分解-运用公式法；因式分解-提公因式法．【专题】计算题．【分析】根据因式分解的定义，把一个多项式写成几个整式积的形式叫做因式分解，并根据提取公因式法，利用平方差公式分解因式法对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、3x2﹣6x=3x（x﹣2），故本选项错误；B、﹣a2+b2=（b+a）（b﹣a），故本选项正确；C、4x2﹣y2=（2x+y）（2x﹣y），故本选项错误；D、4x2﹣2xy+y2不能分解因式，故本选项错误．故选B．【点评】本题主要考查了因式分解的定义，熟记常用的提公因式法，运用公式法分解因式的方法是解题的关键． 8．（x2+px﹣2）（x2﹣5x+q）的展开式中，不含x3和x2项，则p﹣q的值是（ ）A．22 B．﹣22 C．32 D．﹣32【考点】多项式乘多项式．【分析】根据多项式乘多项式的法则把原式展开，根据题意列出算式，计算即可．【解答】解：（x2+px﹣2）（x2﹣5x+q）=x4﹣5x3+qx2﹣5px2+px3+pqx﹣2x2+10x﹣2q=x4+（p﹣5）x3+（q﹣5p﹣2）x2+（pq+10）x﹣2q，由题意得，p﹣5=0，q﹣5p﹣2=0，解得，p=5，q=27，则p﹣q=﹣22，故选：B．【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 9．如图，∠BAC=30，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF∥AB，已知AF=4cm，则DE的长为（ ）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【考点】角平分线的性质；平行线的性质．【分析】由角平分线的定义和平行线的性质易得DF=AF=4m，∠DFC=∠BAC=30，作DG⊥AC于G，根据角平分线的性质可得，DG=DE，在Rt△FDG中，易得DG=DF=2cm，即可求得DE．【解答】解：作DG⊥AC于G，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，DE=DG，∵DF∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∠DFC=∠BAC=30，∴∠ADF=∠CAD，∴DF=AF=4m，∴Rt△FDG中，DG=DF=2cm，∴DE=2cm．故选B．【点评】此题主要考查角平分线、平行线的性质和直角三角形中30锐角所对直角边等于斜边的一半，作辅助线是关键． 10．如图，将30的直角三角尺ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，使B点的对应点D落在BC边上，连接EB、EC，则下列结论：①∠DAC=∠DCA；②ED为AC的垂直平分线；③∠BED=30；④ED=2AB．其中正确的是（ ）A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④【考点】旋转的性质；线段垂直平分线的性质．【分析】先利用旋转的性质得到AB=AC，AC=AE，∠BAC=∠EAC，则可判断△ABD为等边三角形，所以∠BAD=∠ADB=60，则∠EAC=∠BAD=60，再计算出∠DAC=30，于是可对①进行判断；接着证明△AEC为等边三角形得到EA=EC，加上DA=DC，则根据线段垂直平分线的判定方法可对②进行判断；然后根据等边三角形的性质得DE平分∠AEC，则∠AED=30，则可对③进行判断；接下来证明∠EAD=90，则利用含30度的直角三角形三边的关系得到ED=2AD，所以ED=2AB，则可对④进行判断．【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=30，∴∠ABC=60，∵△ABC绕直角顶点A逆时针旋转到ADE的位置，∴AB=AC，AC=AE，∠BAC=∠EAC，∴△ABD为等边三角形，∴∠BAD=∠ADB=60，∴∠EAC=∠BAD=60，∵∠BAC=90，∴∠DAC=30=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，所以①正确；∵AC=AE，∠EAC=60，∴△AEC为等边三角形，∴EA=EC，而DA=DC，∴ED为AC的垂直平分线，所以②正确；∴DE平分∠AEC，∴∠AED=30，∴∠BED＜30，所以③错误；∵∠EAD=∠EAC+∠CAD=60+30=90，在Rt△AED中，∵∠AED=30，∴ED=2AD，∴ED=2AB，所以④正确．故选B．【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定和性质、线段垂直平分线的判定． 二．填空题：11．分解因式：4x2﹣1= （2x+1）（2x﹣1） ．【考点】因式分解-运用公式法．【分析】直接利用平方差公式分解因式即可．平方差公式：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）．【解答】解：4x2﹣1=（2x+1）（2x﹣1）．故答案为：（2x+1）（2x﹣1）．【点评】本题主要考查平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键． 12．若x+y=5，xy=﹣4，则x2+y2= 33 ．【考点】完全平方公式．【分析】把x2+y2写出（x+y）2﹣2xy的形式，然后把已知代入即可求值．【解答】解：∵x+y=5，xy=﹣4，∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=52﹣（﹣8）=33，故答案为33．【点评】本题考查了完全平方公式的应用，用了整体代入思想，此题难度不大． 13．若4x2﹣2（m﹣1）x+9是完全平方式，则m= ﹣5或7 ．【考点】完全平方式．【分析】根据完全平方公式得出﹣2（m﹣1）=223，求出即可．【解答】解：∵4x2﹣2（m﹣1）x+9是完全平方式，∴﹣2（m﹣1）=223，解得：m=﹣5或7．故答案为：﹣5或7．【点评】此题考查了对完全平方公式的应用，注意；完全平方式有a2+2ab+b2和a2﹣2ab+b2． 14．在实数范围内因式分解：x4﹣4= （x2+2）（x+）（x﹣） ．【考点】实数范围内分解因式．【专题】计算题．【分析】先运用平方差公式，分解成（x2+2）（x2﹣2），再把x2﹣2写成x2﹣，符合平方差公式的特点，可以继续分解．【解答】解：x4﹣4=（x2+2）（x2﹣2）=（x2+2）[x2﹣]=（x2+2）（x+）（x﹣）．故答案为：（x2+2）（x+）（x﹣）．【点评】本题考查实数范围内的因式分解，因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止． 15．如图，A、B、C在一条直线上，△ABD、△BCE均为等边三角形，连接CD、AE交于点P，并分别交BE、BD于N、M，连接MN，下列结论中：①AE=CD；②AM=DP；③MN∥AC； ④若AB=2BC，连接DE，则DE⊥BE；⑤BP平分∠APC．正确的结论有： ①③④⑤ （填写出所有正确的序号）【考点】三角形综合题．【分析】根据等边三角形的性质得到AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60，证得△ABE≌△DBC，由全等三角形的性质得到AE=CD，故①正确；由全等三角形的性质得到∠BAP=∠BDC，由A、B、C在一条直线上，求得∠DBN=180﹣∠ABD﹣∠CBE=60，推出△ABM≌△DBN，得到AM=DN，BM=BN，由DN＞PD，得到AM＞PD，故②错误；推出△BMN是等边三角形，得到∠MNB=60，根据平行线的性质即可得到MN∥AC，故③正确；取BD的中点O，连接EO，DE，由AB=2BC，得到BD=2BE，证得△BEM是等边三角形，根据直角三角形的判定得到∠BED=90，得到DE⊥BE；故④正确；过B作BG⊥CD于G，BH⊥AE于H，通过△ABH≌△DBG，得到BH=BG，根据角平分线的性质得到BP平分∠APC；故⑤正确；当A、B、C在一条直线上时，∠ABM=∠DBN=60，∠DBE≠60，则∠ABM≠∠DBN，于是得到△ABM与△DBN不全等，推出AM≠DN，故⑥错误．【解答】解：∵△ABD、△BCE均为等边三角形，∴AB=BD，BE=BC，∠ABD=∠CBE=60，∴∠ABE=∠CBD，在△ABE与△CBD中，，∴△ABE≌△DBC，∴AE=CD，故①正确；∵△ABE≌△DBC，∴∠BAP=∠BDC，∵A、B、C在一条直线上，∴∠DBN=180﹣∠ABD﹣∠CBE=60，∴∠ABD=∠DBN，在△ABM与△BDN中，，∴△ABM≌△DBN，∴AM=DN，BM=BN，∵DN＞PD，∴AM＞PD，故②错误；∵BM=BN，∠MBN=60，∴△BMN是等边三角形，∴∠MNB=60，∴∠MNB=∠NBC，∴MN∥AC，故③正确；取BD的中点O，连接EO，DE，∵AB=2BC，∴BD=2BE，∴BE=BM=DM，∵∠MBE=60，∴△BEM是等边三角形，∴EM=BM=DM，∴∠BED=90，∴DE⊥BE；故④正确；过B作BG⊥CD于G，BH⊥AE于H，∴∠AHB=∠DGB=90，在△ABH与△DBG中，，∴△ABH≌△DBG，∴BH=BG，∴BP平分∠APC；故⑤正确；∵当A、B、C在一条直线上时，∠ABM=∠DBN=60，∠DBE≠60，则∠ABM≠∠DBN，∴△ABM与△DBN不全等，∴AM≠DN，故⑥错误．故答案为：①③④⑤．【点评】此题考查了等边三角形的判定与性质与全等三角形的判定与性质，平行线的判定和性质，此题图形比较复杂，解题的关键是仔细识图，找准全等的三角形． 16．已知a+=3，则a2+的值是 7 ．【考点】完全平方公式．【专题】常规题型．【分析】把已知条件两边平方，然后整理即可求解．完全平方公式：（ab）2=a22ab+b2．【解答】解：∵a+=3，∴a2+2+=9，∴a2+=9﹣2=7．故答案为：7．【点评】本题主要考查了完全平方公式，利用公式把已知条件两边平方是解题的关键． 三.解答（共8题，共72分）17．计算：（1）（ab2）2•（﹣a3b）3（﹣5ab）； （2）3a（2a2﹣9a+3）﹣4a（2a﹣1）【考点】整式的混合运算．【专题】计算题．【分析】（1）原式利用积的乘方与幂的乘方运算法则计算，再利用乘除法则计算即可得到结果；（2）原式先利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）原式=a2b4•（﹣a9b3）（﹣5ab）=a10b6；（2）原式=6a3﹣27a2+9a﹣8a+4a=6a3﹣35a2+13a；【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．运用乘法公式计算：（1）（2a﹣3b）（﹣2a+3b）﹣（2a+3b）2（2）（2a﹣b﹣3c）（﹣2a+b﹣3c）．【考点】平方差公式；完全平方公式．【分析】根据乘法公式即可求出答案．【解答】解：（1）原式=﹣（2a﹣3b）（2a﹣3b）﹣（2a+3b）2=﹣（4a2﹣12ab+9b2）﹣（4a2+12ab+9b2）=﹣8a2﹣18b2；（2）原式=﹣（2a﹣b﹣3c）（2a﹣b+3c）=﹣[（2a﹣b）﹣3c][（2a﹣b）+3c]=﹣（2a﹣b）2+9c2=9c2﹣4a2+4ab﹣b2【点评】本题考查整式运算，涉及平方差公式，完全平方公式． 19．分解因式：（1）3x﹣12x3；（2）9a2（x﹣y）+4b2（y﹣x）．【考点】提公因式法与公式法的综合运用．【专题】计算题；因式分解．【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；（2）原式变形后，提取公因式，再利用平方差公式分解即可．【解答】解：（1）原式=﹣3x（4x2﹣1）=﹣3x（2x+1）（2x﹣1）；（2）原式=9a2（x﹣y）﹣4b2（x﹣y）=（x﹣y）（9a2﹣4b2）=（x﹣y）（3a+2b）（3a﹣2b）．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 20．如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．【考点】全等三角形的判定与性质；平行线的性质．【专题】证明题．【分析】根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可．【解答】证明：∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE，∵在△ADF和△CBE中，∴△ADF≌△CBE（AAS），∴AD=BC．【点评】本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS． 21．已知：a，b，c为△ABC的三边长，且2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，试判断△ABC的形状，并证明你的结论．【考点】因式分解的应用．【专题】几何图形问题；探究型；因式分解．【分析】由2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc分组因式分解，利用非负数的性质得到三边关系，从而判定三角形形状．【解答】解：△ABC是等边三角形．证明如下：因为2a2+2b2+2c2=2ab+2ac+2bc，所以2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc=0，a2﹣2ab+b2+a2﹣2ac+c2+b2﹣2bc+c2=0，（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2=0，所以（a﹣b）2=0，（a﹣c）2=0，（b﹣c）2=0，得a=b且a=c且b=c，即a=b=c，所以△ABC是等边三角形．【点评】此题是一道把等边三角形的判定、因式分解和非负数的性质结合求解的综合题．考查学生综合运用数学知识的能力． 22．如图，△ABC的两条高AD、BF交于E，连EC，∠AEB=105，∠ABC=45．（1）求∠DEC的度数；（2）求证：AB﹣BE=CE．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）首先证明△BDE≌△ADC，推出DE=EC，延长即可解决问题．（2）如图2中，延长EF到M使得FM=EF．只要证明△ECM是等边三角形，BA=BM即可证明．【解答】（1）解：如图1中，∵△ABC的两条高AD、BF交于E，∴∠ADB=∠ADC=∠AFE=90，∵∠ABC=45，∴∠BAD=90﹣∠ABC=45，∴∠ABD=∠ADB，∴BD=AD，∵∠DBE+∠ACB=90，∠DAC+∠ACD=90，∴∠DBE=∠DAC，在△BDE和△DAC中，，∴△BDE≌△ADC，∴DE=DC，∴∠DEC=∠DCE=45．（2）证明：如图2中，延长EF到M使得FM=EF．∵∠AEB=105，∴∠AEF=∠BED=75，∴∠DBE=∠DAC=15，∴∠MEC=∠EBC+∠ECD=60，∵AC⊥EM，EF=FM，∴AE=AM，CE=CM，∴△ECM是等边三角形，∴EC=EM，∴∠AEM=∠AMB=75，∠FAE=∠FAM=15，∴∠BAM=∠BAD+∠DAM=75，∴∠BAM=∠BMA，∴BA=BM，∴AB=BE+EM=BE+EC，∴AB﹣BE=EC．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质．等腰直角三角形的性质、等边三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质定理等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考常考题型． 23．如图1，在Rt△ACB中，∠ACB=90，∠ABC=30AC=1点D为AC上一动点，连接BD，以BD为边作等边△BDE，EA的延长线交BC的延长线于F，设CD=n，（1）当n=1时，则AF= 2 ；（2）当0＜n＜1时，如图2，在BA上截取BH=AD，连接EH，求证：△AEH为等边三角形．【考点】含30度角的直角三角形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】动点型．【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠BAC=60，再根据平角等于180求出∠FAC=60，然后求出∠F=30，根据30角所对的直角边等于斜边的一半求解即可；（2）根据三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角的和利用∠CBD表示出∠ADE=30+∠CBD，又∠HBE=30+∠CBD，从而得到∠ADE=∠HBE，然后根据边角边证明△ADE与△HBE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=HE，对应角相等可得∠AED=∠HEB，然后推出∠AEH=∠BED=60，再根据等边三角形的判定即可证明．【解答】（1）解：∵△BDE是等边三角形，∴∠EDB=60，∵∠ACB=90，∠ABC=30，∴∠BAC=180﹣90﹣30=60，∴FAC=180﹣60﹣60=60，∴∠F=180﹣90﹣60=30，∵∠ACB=90，∴∠ACF=180﹣90，∴AF=2AC=21=2；（2）证明：∵△BDE是等边三角形，∴BE=BD，∠EDB=∠EBD=60，在△BCD中，∠ADE+∠EDB=∠CBD+∠C，即∠ADE+60=∠CBD+90，∴∠ADE=30+∠CBD，∵∠HBE+∠ABD=60，∠CBD+∠ABD=30，∴∠HBE=30+∠CBD，∴∠ADE=∠HBE，在△ADE与△HBE中，，∴△ADE≌△HBE（SAS），∴AE=HE，∠AED=∠HEB，∴∠AED+∠DEH=∠DEH+∠HEB，即∠AEH=∠BED=60，∴△AEH为等边三角形．【点评】本题考查了30角所对的直角边等于斜边的一半的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，（2）中求出∠ADE=∠HBE是解题的关键． 24．在平面直角坐标系中，点A（0，b）、点B（a，0）、点D（d，0）且a、b、c满足++（2﹣d）2=0，DE⊥x轴且∠BED=∠ABD，BE交y轴于点C，AE交x轴于点F．（1）求点A、B、D的坐标；（2）求点E、F的坐标；（3）如图，过P（0，﹣1）作x轴的平行线，在该平行线上有一点Q（点Q在P的右侧）使∠QEM=45，QE交x轴于N，ME交y轴正半轴于M，求的值．【考点】一次函数综合题．【分析】（1）由非负数的性质可求得a、b、d的值，可求得A、B、D的坐标；（2）由条件可证明△ABO≌△BED，可求得DE和BD的长，可求得E点坐标，再求得直线AE的解析式，可求得F点坐标；（3）过E作EG⊥OA于点G，EH⊥PQ于点Q，可证明四边形GEHP为正方形，在GA上截GI=QH，可证明△IGE≌△QHE，可证得∠IEM=∠MEQ=45，可证明△EIM≌△EQM，可得到IM=MQ，再结合条件可求得PH=AI=PQ，可求得答案．【解答】解：（1）∵++（2﹣d）2=0，∴a=﹣1，b=3，d=2，∴A（0，3），B（﹣1，0），D（2，0）；（2）∵A（0，3），B（﹣1，0），D（2，0），∴OB=1，OD=2，OA=3，∴AO=BD，在△ABO和△BED中，，∴△ABO≌△BED（AAS），∴DE=BO=1，∴E（2，1），设直线AE解析式为y=kx+b，如图1，把A、E坐标代入可得，解得，∴直线AE的解析式为y=﹣x+3，令y=0，可解得x=3，∴F（3，0）；（3）过E作EG⊥OA，EH⊥PQ，垂足分别为G、H，在GA上截取GI=QH，如图2，∵E（2，1），P（﹣1，0），∴GE=GP=GE=PH=2，∴四边形GEHP为正方形，∴∠IGE=∠EHQ=90，在Rt△IGE和Rt△QHE中，∴△IGE≌△QHE（SAS），∴IE=EQ，∠1=∠2，∵∠QEM=45，∴∠2+∠3=45，∴∠1+∠3=45，∴∠IEM=∠QEM，在△EIM和△EQM中，，∴△EIM=EQM（SAS），∴IM=MQ，∴AM﹣MQ=AM﹣IM=AI，由（2）可知OA=OF=3，∠AOF=90，∴∠A=∠AEG=45，∴PH=GE=GA=IG+AI，∴AI=GA﹣IG=PH﹣QH=PQ，∴==1．【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及知识点有非负数的性质、全等三角形的判定和性质、待定系数法、正方形的判定和性质知．在（1）中掌握非负数的性质是解题的关键，在（2）中证明△ABO≌△BED求得DE的长是解题的关键，在（3）中构造三角形全等证明AM﹣MQ=AI=PQ是解题的关键．本题涉及知识点较多，综合性较强，难度较大，特别是第（3）问中条件∠QEM=45角的应用是解题的关键点． 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