北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷（理科）一、选择题：本大题共 8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出 符合要求的一项1 .设集合 U {1,2,3,4,5} , A {1,2,3} , B {3,4,5},则 CU（AI B）等于A. {1,2,3,4,5} B. {1,2,4,5} V C. {1,2,5} D. {3}2 . “ ln x 1 ” 是 “ x 1 ” 的A.充分不必要条件VB .必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.若b1A .一aa 0,则下列不等式中正确的是1- B.bC ab 24.如图,三棱柱ABCAB1cl的侧棱长和底面边长均为2 ,且侧棱AA1视图是边长为2的正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为底面ABC，其正（主）5.数列{an}满足a16.在数列{an}中，D. 4an 1(2n)an (n 1,2,L ),则 a3等于10C. 9D.1 ， anan 12.为计算这个数列前10项的和，现给出该问题算法的程序框图（如图所示），则图中判断框（1）处合适的语句是A.B.C.D.10117.设集合{1,2, L ,9},集合 A{为乌包}是S的子集,且 a1，a2,a3满足 a1a2 a3 ， a3a2 6，那么满足条件的子集 A的个数为A.78 B. 76 C. 84 D. 83 V8.如图，在等腰梯形 ABCD中，AB〃CD,且AB 2AD .设 DAB(0,—),以A, B为焦点且过点D的2双曲线的离心率为D为焦点且过点 A的椭圆的离心率为随着角度的增大,e增大,e%为定值B.随着角度的增大,e1减小,Qe2为定值C.随着角度的增大,ei增大,D.随着角度的增大,e%也减小二、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30分.9.某区高二年级的一次数学统考中，随机抽取 200名同学的成绩，成绩全部在50分至100分之间，将成绩按如下方式分成5组：第一组，成绩大于等于 50分且小于60分;第二组，成绩大于等于 60分且小于70分；……第五组,成绩大于等于90分且小于等于100分，据此绘制了如图所示的频率分布直方图.则这200名同学中成绩大于等于 80分且小于90分的学生有名.,-210.在(x1 6 .-)的展开式中，常数项是 x11.如图,ABC是圆的内接三角形,若 ABC 600 ,PAC,PA12.圆 C :.2 cos' 2 sin'(为参数)的半径为,若圆C与直线x13 .设a,b,c为单位向量,a,b的夹角为60°,则(a b c) c的最大值为14 .已知函数f (x) exa In x的定义域是D ,关于函数f (x)给出下列命题:①对于任意a (0,),函数f(x)是D上的减函数;②对于任意a (,0),函数f(x)存在最小值；③存在a (0,),使得对于任意的x D ,都有f(x) 0成立;④存在a (,0),使得函数f(x)有两个零点.其中正确命题的序号是 .(写出所有正确命题的序号)②、④ 三、解答题：本大题共 6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步31.15 .(本小题满分13分)如图，在四边形 ABCD中，AB 3, AD (I)求 sin ABD 的值；(n )求 BCD的面积.BC CD 2, A 60o16 .(本小题满分13分)一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5,现从盒子中随机抽取卡片.(I)若从盒子中有放回的取 3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到的卡片上数字 为偶数的概率；(II)若从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回， 当取到一张记有偶数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望.17 .(本小题满分13分)如图，四棱柱 ABCD AB1C1D1中，AQ 平面ABCD ,底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱AA12 .(I)求证：C1D// 平面 ABB1A ；(n)求直线BDi与平面AciD所成角的正弦值;1BDiD(出)求二面角 D AC1 A的余弦值.18 .(本小题满分13分)a已知a 0 ,函数f (x) x ax .设x1 (,万)，记曲线y f (x)在点M (x1, f (x1))处的切线为l, l与x轴的交点是N(x2,0), O为坐标原点.2(I)证明：x22x1 aa uuuu uuur 9a(n)若对于任意的x1 (, a),都有OM ON 9a成立，求a的取值范围.21619 .(本小题满分14分)2A, B ,直线l : y kx 1与x轴、如图，椭圆C : x2 y- 1短轴的左右两个端点分别为4y轴分别交于两点 E, F ,与椭圆交于两点 C,D ,. uuu uuur(I)若CE FD ,求直线l的方程；(n )设直线AD,CB的斜率分别为k1 ,k2，若k1 : k2 求k的值.20 .(本小题满分14分) n 在数列｛an｝和｛>｝中，an a , bn (a 1)n b,n 1,2,3,L，其中 a 2且 a N ,b R .(I)若a1 b , a? b2 ,求数列｛bn｝的前n项和；(n)证明：当a 2,b 亚时,数列｛bn｝中的任意三项都不能构成等比数列；(出)设A ｛a1,a2,a3,L ｝ , B ｛b1,b2,b3,L ｝,试问在区间［1,a］上是否存在实数b使 得C AI B.若存在，求出b的一切可能的取值及相应的集合C；若不存在，试说明理由.北京市西城区2010年抽样测试参考答案、选择题:高三数学试卷（理科）2010.5本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号答 案、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 4010. 15 11. 60°, 313.石114.②④注：两空的题目，第一个空 2分，第二个空3分.14题②④选对一个命题得两分，选出错误的命题即得零分三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分 标准2合分.）15、解：（I ）已知 A 60°,BD2.3.21~1 万 ~T222(n)在 BCD 中，BD BC CD 2BCCDcosC,1 所以 1 4 4 2 2 2cosc , cosC 1 ,8因为C (0,),所以sin C所以,1BCD 的面积 S - BC CD sinC23<749分11分13分16、解：（I）设A表示事件“有放回地抽取 3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为则P⑻喈2 5簿(n)依题意， X的可能取值为1,2,3,4 .p(x i)5,P(XP(XP(X2)3)4)3 2 35 4 10110所以X的分布列为X 12P -523104110E(X) 1 253101102.2分5分6分7分9分10分11分12分13分D117、(I)证明：四棱柱 ABCD AB1C1D1 中，BB1//CC1,又 CC1 面 ABB1A ,所以 CC1//平面 ABB1A ,ABCD是正方形，所以 CD // AB ,又CD 面ABB1A ，所以CD 〃平面ABB1A ,所以平面CDD1cl //平面ABB1A ,所以C〔D//平面ABB1A1 .(n)解：ABCD是正方形，AD CD,因为AiD 平面ABCD, 所以 AD AD , A1D CD ,如图，以D为原点建立空间直角坐标系D xyz在 ADAi中，由已知可得 AD J3,B1DBC-_x 一z 1 A1D(0,0,0), A(0,0，商 A(1,0,0), G( 1,1,点)B1(0,1, -3),D1( 1,0,、3),B(1,1,0)uuuu_BDi (2, 1,73) , 6分因为AiD 平面abcd,所以ad 平面A1B1clD1,A1DB1D1 ,又 B1D1 AC1,所以B1D1平面AC1D ,7分所以平面ACiD的一个法向量为 uuurn (1,1,0),设BD1与n所成的角为则cosuuuu n BDi -uuuu n BDi32 ..83所以直线BD1与平面AC〔D所成角的正弦值为 一4(出)解：设平面AC1A的法向量为m = (a,b,c), ujujt uur则 m AC1 0,m A1A 0,所以a b 0, a辰 0,令c J3,可得m = (3,3,同，设二面角D AC1 A的大小为则cosm n 6 、42m||n| 衣衣？ 7所以二面角D AC1 A的余弦值为4278分 9分 10分 12分 13分18、解：(I)对 f (x)求导数，得 f (x) 2x a ,故切线l的斜率为2x1 a, 2分由此得切线l的方程为y (x2 ax1) (2x1 a)(x x1). 4分22x1 ax1%x12x1 a2x1 a(n)由 M(x,x； ax1), N(2x12K aujujr,0)，得 OMjjitON3X所以a 0符合题意,当a 0时，记g(x1)3X12x1(，2)对g(Xi)求导数，得g (Xi)x12(4x13a)2(2x a)23av g (x1) 0 ,付 X1 —4X13a(；)3a43a a(N，3)g (X1)0所以，函数g(xj在((,2)时，g (X1)的变化情况如下表:当X13a 、, , 3a a 、, 〜了)上单调递减，在(y，^)上单调递增，10分从而函数g(xj的最小值为3ag( T)27 2 a3211分依题意解得a27 2 9a—a —,32 162 ,即a的取值范围是(2,3 312分综上,a的取值范围是(2,)或2319、解:(I)设 C(x1,y。
D%")2 24x yy kx 14,得(4 k2)x24k2 12(4X1X22k4 k2由已知uuu 又CEuuur FD ,所以所以1 k 2kX1).0.2 2k ) 16k 48 ,X1X2~ 1所以(一 kX1,X113分y1)小①1)4 k符合题意，所以，所求直线l的方程为2x y 1 0或2x y 1 0.(n)ki-2^, k2-1^, ki :k2x21x11所以xlx—U2y[(x2 1)1平方得乎”1I4, 9分丫沁2 1）22又x2 幺 1,所以y2 4(1 x2),同理y2 4(1 x；),代入上式, 4计算得(1 x2)(1 x1) 4,即 3%x2 5(x1 x2) 3 0, 12 分(1 x1)(1 x2)2—1所以3k 10k 3 0,解得k 3或k - , 13分3因为y2(x172, x,x2( 1,1),所以y1，y2异号，故舍去k Ly1(x21)13所以k 3. 14分1, 1 分 3分 4分1 「八—n. 5分2亚,3t J2成等比数歹U,其中 6分20、解：(i)因为 a〔 b ,所以 a a 1 b, b由 a2 b2，得 a2 2a 1 0 ,所以1 工a 1.2 ,一— 一— * , 因为a 2且a N ,所以a 2, 所以bn 3n 1, ｛bn｝是等差数列，n3 o所以数列｛bn｝的前n项和Sn ng bn) -n2(n)由已知 bn 3n J2 ,假设 3m J2 , 3n*m,n,t N ,且彼此不等，则(3n 亚」 (3m 72)(3t 衣)，所以 9n2 672nl 2 9mt 372m 3历 2 ,所以 3n2 3mt (m t 2n)72,若m t 2n 0 ,则3n2 3mt 0 ,可得m t,与m t矛盾;若m t 2n 0,则m t 2n为非零整数，（m t 2n）J2为无理数,所以数列｛灯｝中的任意三项都不能构成等比数列 (出)设存在实数 b [1,a],使C AI B ,设 m0 C ,则 m0 A ,且 m0B ,t**设 m0 a (t N ) , m0(a 1)s b(s N ),at b则 a (a 1)s b ,所以 s ,a 1因为a,t,s N ,且a 2,所以a‘ b能被a 1整除.10分(1)当 t 1 时，因为 b [1,a] , a b [0,a 1], 所以 s --b N * ； 11 分a 1 一" 一. * 、(2)当 t 2n(n N )时，a2n b [(a 1) 1]2nb (a1)2nLC2n(a 1) 1 b,由于 b [1,a],所以 b1 [0, a1],0b 1 a 1,所以，当且仅当b 1时，at b能被a 1整除. 12分(3)当 t 2n 1(n N )时，a2n 1 b [(a 1) 1]2n 1 b (a 1)2n 1 LC2nl(a 1) 1 b ,由于 b [1,a],所以 b 1 [2, a 1], 所以，当且仅当b 1 a 1,即b a时，at b能被a 1整除.……13分综上，在区间[1,a]上存在实数b ,使C AI B 成立，且当b 1时，C {y y a2n,n N }；当 b a时，C {y y2n 1*ia ,n N }.14分。