在实验探究中建立数学模型《实验与探究：瓶子中有多少粒豆子》的教学设计―、教学内容新人教版《义务教育教科书•数学》（七年级下册144页），实验与探究： 瓶子中有多少粒豆子.二、 教学目标1. 能够通过实验探究，建立用样本估计总体的数学模型；并会用这个数 学模型解决“豆粒型”和“面积型”用样本估计总体的实际问题；2. 引导学生经历实验探究建立数学模型的过程，体验通过实验学习数学 的方法，体会数学建模的方法；3. 培养学生动手实验、探究数学的学习观和数学建模思想.（设计意图：注重动手实践、自主探索；既关注学生学习的结果，也重 视学生学习的过程；帮助学生初步形成模型思想，体会数学与外部世界的联系； 鼓励拓展、创新与应用）三、 教学重点通过实验探究建立用样本估计总体的数学模型.四、 教学难点理解建立样本估计总体的数学模型的原理；并拓展应用，能够解决“面 积型”样本估计总体的实际问题；五、 教学资源准备透明的玻璃瓶子一个，适量的豆子，红色素少量，多媒体一套.六、 课前准备先让学生在课前几个人一起做下面两个实验：实验一：盛一盆清水，在里面滴上几滴红墨水，将水搅匀，再用一只透明 的玻璃杯子，取盆中的水盛入杯子中，仔细观察，杯子中的水和盆中的水红颜 色浓度是否相同？实验二：找大小相同的碗两个，染红的豆粒若干，一个学生先在两个碗里 盛同样多的黄豆粒，然后再在两个碗里分别放进不同的染红的豆粒，充分搅匀之 后，不许全部倒出来数，让另外的学生想办法，判断一下哪一个杯子里的红豆粒 多.（设计意图：让学生在课前通过这两个实验，初步感知用样本估计总体的 原理，一方面培养学生动手实践、自主探索的学习习惯，另一方面充分做好课前 准备，为课堂上突破难点提供必要的数学活动经验）七、 教学方法分组实验引导探究拓展练习（设计意图：分组实验的目的是为了提高学生的参与度，争取让每个学生 都能够体验这种实验，培养新的数学学习观，同时也为了提高实验的质量；引导 只在关键之处、疑难之处；拓展练习是学习数学的基本要求.三种学习方式要协 同作用，合理调控课堂，才能优化课堂结构，完成本课目标）八、 教学过程（一）创设情境 引入新课师：提出问题：一个瓶子内，装有一些豆子，你能用几种方法估计出这 个瓶子中的豆子的数目？（让学生思考讨论一会再回答）预设方法：①测质量法:先用天平测出20粒豆子的质量，再测出瓶子中 所有豆子的总质量，计算：（瓶子中豆子总质量：20粒豆子的质量）X20 =瓶子 中豆子的总数目.②测体积法：用量筒量出20粒豆子的体积，再量出瓶子中所有豆子的总 体积，计算：（瓶子中豆子总体积H-20粒豆子的体积）X20 =瓶子中豆子的总数 目.③样本估计法：（课本144页（1） （2） （3） （4） （5） （6）提供的方法， 不妨让一个成绩好些的学生叙述一遍，这里略）师：测质量法和测体积法都需要借助仪器才能完成，它们都趋向于物理 的方法，只有样本估计法是数学的方法，下面我们就用样本估计法估计瓶子中豆 子的总数目.（设计意图：做最广泛的预设，并不排斥课堂上新的生成，是为课堂上教 师的引导与调控做了最充分的准备，引导学生用数学的思维方式学习数学）（二）引导探究，建立模型1. 教师引导启发，让学生感受样本估计总体的方法（当堂实验）.（1） 先准备一小瓶豆子；（2） 然后从中取出20粒，用红色做上记号；（3） 再把做记号的20粒豆子放回到瓶中，充分摇匀；（4） 最后随机地从瓶子中取出一些豆子，数出总数（由当时的实验确定） 和其中带记号的豆子数目（也由此次实验确定）.上面这个实验过程，教师板书:先准备的豆子数目（设为x粒）第一次取豆子20粒并做记号第二次再取豆子86粒数出其中有记号的4粒列比例式20： x=4： 86 （师：理由是什么？）解这个方程，得x = 20x86 =430 （粒）4所以，开始放在瓶子里的豆子约有430粒.（设计意图：教师引导学生开展实验，初步感知用样本估计总体的方法， 渗透模型思想）2. 合作探究（前后桌每四人一组），学生体验样本估计总体的方法.预设：按下面的步骤完成实验：（1） 学生甲先准备适量的豆子x粒（可以用类似的物品代替），放在盒子里；（2） 学生乙（第一次）取若干粒并做记号，并放回摇匀；（3） 学生丙（第二次）取若干粒，数出其中有记号的粒数；（4） 学生甲、乙、丙、丁合作列比例式（比例式成立的理由是什么？），然 后解方程估计出最先准备的豆子粒数x.（设计意图：以小组为单位开展实验，在组内合理分工，协同工作，一方面 让学生在脱离老师的指导下，独立开展探究活动，感受建立这个数学模型的原理， 另一方面也培养学生合作交流的能力和分析问题解决问题的能力）3. 师生合作，数据符号化，建立模型实际问题:活动程序1：先准备的豆子 数目（设为x粒）活动程序2：第一次取豆子 m粒并做记号，放回并摇匀活动程序3：第二次再取豆 子p粒活动程序4：数出其中有记 号的n粒教师引导思考:① 在活动程序2中，做记号的豆粒数与总体的豆粒数的比怎样表达？② 在活动程序4中，带记号的豆粒数与第二次抽取豆粒数比怎样表达?③ 上面两次的比值有什么关系？（相等）（请学生根据原有的知识与经验进行分析，并请学生回答）建立模型式（列出比例式）：m： x=n： p计算 mp=xnpm解得 x （设计意图：逐步引导学生用字母表达数据及其关系，建立模型式，使问题 更具有一般性）（三） 应用模型，解决问题（多媒体展示例1）例1.双双的爸爸一年前承包了一个鱼塘，当时他在里面撒了鱼苗，后来可能 损失了一部分，现在他想知道池塘里还有多少条鱼，就让双双给他估算一下.双 双是这样做的，他先让爸爸从塘里随机地捕了 96条鱼，做上记号后又放回池塘 内，过了几天后，又捕了 172条鱼，发现里面只有6条带记号的鱼，双双很快就 估算出了池塘里有多少条鱼，你知道双双怎样算出来的吗？学法指导：1. 读读想想，本题与上面的“豆粒型”问题是不是同一个数学模型？2. 你能应用“豆粒型”数学模型解答这道题吗？3. 请一个中等成绩的学生解答本题.解：设池塘里还有x条鱼，那么，96： x =6:172解得，x= 2772 （条）答：池塘里大约还有2772条鱼。
设计意图：让学生尝试用所学的新知识解决实际问题，体验数学建模的价 值和成功的快乐，激发学习兴趣）（四） 拓展模型，广泛应用这个“豆粒型”用样本估计总体的模型，进行拓展，也可以解决“面积型” 的问题（多媒体展示例2）.例2.下雨了，小明想知道自家院子里到底能下多少个雨点，他准备了一块 边长是40cm的正方形玻璃，在上面撒上一层面粉，再把它放到院子里的雨中， 10秒钟后，把玻璃收回来，数数上面共有120个雨点，小明家的院子是边长为 8m的正方形，那么小明家的院子里1分钟落了多少个雨点？解析：这是一个与面积相关的用样本估计总体的问题.设小明家的院子里 10秒钟落了 x个雨点，求出玻璃的面积是40cmX40cm=1600cm2=0.16m2，小明 家院子的面积是8mX8m=64m2,那么在10秒钟内，玻璃上每m2落的雨点数（样 本）等于院子里每m2的雨点数，即120： 0.16=x:64，解得x,再求出6x即可.（先找学生说说解法，再找一个成绩中等的学生写出解题过程）（设计意图：把求得的数学模型拓展引申到类似的问题中，用求得模型来解 释新的问题，培养学生知识的迁移能力和创新能力）（五） 反思提炼，固化模型师：大家回想一下，我们今天探讨的这个用样本估计总体的问题，是怎样 开始的？又是展开的呢？它有什么用处？（让学生讨论一会儿，请学生说一说，师生总结.教师用多媒体展示下面的 内容）实际问题一建立模型一解释与应用一拓展与应用I t数学思想：用样本估计总体（设计意图：反思这个数学模型的形成过程，体现了既重视结果，又重视 过程的学习理念，同时也加深学生对数学建模知识的理解与记忆，有利于学生积 累数学活动经验，提升数学理论）（六） 巩固练习，享受成果（课下完成）1. 某养鸡场要估算一批刚孵化的小鸡有多少只，工人先从中抓住100只， 并做上记号放回去，几天后待它们完全混入鸡群，又从中抓住80只，发现有两 只小鸡带记号，请你估计一下这个养鸡场这次共孵化出多少只小鸡？2. 自己找一个生活中的实际例子，用学过的“通过实验，建立数学模型” 的方法试一试，相信你会有收获的.（设计意图：给学生提供进一步消化本节知识的机会，提高学生自主探索数 学的兴趣，认识数学与客观世界的联系，让学生享受成功的快乐，感受数学的价 值）（总的设计意图：引导学生通过对实物的动手操作活动，开展数学实践探究， 积累数学活动经验，培养学生实验探究的数学学习观；让学生认识到数学与客观 世界密切联系，可以通过实验活动建立数学模型，分析并解决实际问题，激发学 生学数学、用数学的热情.。