人 教 A版 第 4讲 函 数 及 其 表 示 第 5讲 函 数 的 单 调 性 与 最 值 第 6讲 函 数 的 奇 偶 性 和 周 期 性 第 7讲 二 次 函 数 第 8讲 指 数 与 指 数 函 数 第 9讲 对 数 与 对 数 函 数 第 10讲 幂 函 数 与 函 数 的 图 象 第 二 单 元 函 数 与 导 数 第 11讲 函 数 与 方 程 第 12讲 函 数 模 型 及 其 应 用 第 13讲 导 数 及 其 运 算 第 14讲 导 数 的 应 用 第 15讲 定 积 分 与 微 积 分 基 本 定 理 第 二 单 元 函 数 与 导 数 知 识 框 架第 二 单 元 知 识 框 架 第 二 单 元 知 识 框 架 考 纲 要 求第 二 单 元 考 纲 要 求 1 函 数 概 念 与 基 本 初 等 函 数 (指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函数 ) (1)函 数 了 解 构 成 函 数 的 要 素 ， 会 求 一 些 简 单 函 数 的 定 义 域 和 值域 ； 了 解 映 射 的 概 念 在 实 际 情 境 中 ， 会 根 据 不 同 的 需 要 选 择 恰 当 的 方 法 (如 图象 法 、 列 表 法 、 解 析 法 )表 示 函 数 了 解 简 单 的 分 段 函 数 ， 并 能 简 单 应 用 理 解 函 数 的 单 调 性 、 最 大 值 、 最 小 值 及 其 几 何 意 义 ； 结合 具 体 函 数 ， 了 解 函 数 奇 偶 性 的 含 义 会 运 用 函 数 图 象 理 解 和 研 究 函 数 的 性 质 第 二 单 元 考 纲 要 求 (2)指 数 函 数 了 解 指 数 函 数 模 型 的 实 际 背 景 理 解 有 理 指 数 幂 的 含 义 ， 了 解 实 数 指 数 幂 的 意 义 ， 掌握 幂 的 运 算 理 解 指 数 函 数 的 概 念 ， 理 解 指 数 函 数 的 单 调 性 ， 掌 握指 数 函 数 图 象 通 过 的 特 殊 点 知 道 指 数 函 数 是 一 类 重 要 的 函 数 模 型 第 二 单 元 考 纲 要 求 第 二 单 元 考 纲 要 求 第 二 单 元 考 纲 要 求 (5)函 数 与 方 程 结 合 二 次 函 数 的 图 象 ， 了 解 函 数 的 零 点 与 方 程 根 的 联系 ， 判 断 一 元 二 次 方 程 根 的 存 在 性 及 根 的 个 数 根 据 具 体 函 数 的 图 象 ， 能 够 用 二 分 法 求 相 应 方 程 的 近似 解 (6)函 数 模 型 及 其 应 用 了 解 指 数 函 数 、 对 数 函 数 以 及 幂 函 数 的 增 长 特 征 ， 知道 直 线 上 升 、 指 数 增 长 、 对 数 增 长 等 不 同 函 数 类 型 增 长 的 含义 了 解 函 数 模 型 (如 指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 、 分 段函 数 等 在 社 会 生 活 中 普 遍 使 用 的 函 数 模 型 )的 广 泛 应 用 第 二 单 元 考 纲 要 求 2 导 数 及 其 应 用 (1)导 数 概 念 及 其 几 何 意 义 了 解 导 数 概 念 的 实 际 背 景 理 解 导 数 的 几 何 意 义 第 二 单 元 考 纲 要 求 第 二 单 元 考 纲 要 求 (3)导 数 在 研 究 函 数 中 的 应 用 了 解 函 数 单 调 性 和 导 数 的 关 系 ； 能 利 用 导 数 研 究 函 数 的单 调 性 ， 会 求 函 数 的 单 调 区 间 (其 中 多 项 式 函 数 一 般 不 超 过 三 次 ). 了 解 函 数 在 某 点 取 得 极 值 的 必 要 条 件 和 充 分 条 件 ； 会 用导 数 求 函 数 的 极 大 值 、 极 小 值 (其 中 多 项 式 函 数 一 般 不 超 过 三 次 )；会 求 闭 区 间 上 函 数 的 最 大 值 、 最 小 值 (其 中 多 项 式 函 数 一 般 不 超 过三 次 ) (4)生 活 中 的 优 化 问 题会 利 用 导 数 解 决 某 些 实 际 问 题 (5)定 积 分 与 微 积 分 基 本 定 理 了 解 定 积 分 的 实 际 背 景 ， 了 解 定 积 分 的 基 本 思 想 ， 了 解定 积 分 的 概 念 ； 了 解 微 积 分 定 理 的 含 义 命 题 趋 势第 二 单 元 命 题 趋 势 纵 观 近 几 年 新 课 标 各 省 市 的 高 考 试 卷 ， 函 数 的 主 干 知 识 、 函数 的 综 合 应 用 函 数 与 导 数 以 及 函 数 与 方 程 的 重 要 思 想 方 法 的 考 查 ，一 直 是 高 考 的 重 点 内 容 之 一 ， 在 选 择 题 、 填 空 题 、 解 答 题 中 都 有函 数 试 题 ， 其 特 点 是 ： 稳 中 求 变 ， 变 中 求 新 、 新 中 求 活 ， 试 题 设计 既 有 传 统 的 套 用 定 义 、 简 单 地 使 用 性 质 的 试 题 ， 也 有 挖 掘 本 质 ，活 用 性 质 ， 出 现 了 不 少 创 新 情 境 、 新 定 义 的 信 息 试 题 ， 以 及 与 实际 密 切 联 系 的 应 用 题 ， 和 其 他 知 识 尤 其 是 数 列 、 不 等 式 、 几 何 等知 识 交 汇 的 热 点 试 题 另 外 还 具 有 以 下 特 点 ： 第 二 单 元 命 题 趋 势 1 以 具 体 的 二 次 函 数 、 指 数 函 数 、 对 数 函 数 、 幂 函 数 等 函 数 的概 念 、 性 质 和 图 象 为 主 要 考 查 对 象 ， 适 当 考 查 分 段 函 数 、 抽 象 函 数 ； 2 把 函 数 知 识 与 方 程 、 不 等 式 、 解 析 几 何 等 内 容 相 结 合 ， 重 点考 查 学 生 的 推 理 论 证 能 力 、 运 算 求 解 能 力 和 数 学 综 合 能 力 ； 3 突 出 考 查 等 价 转 化 、 函 数 与 方 程 、 分 类 讨 论 、 数 形 结 合 、 待定 系 数 法 、 配 方 法 、 构 造 法 等 数 学 思 想 方 法 ； 4 在 选 择 题 和 填 空 题 中 出 现 ， 主 要 以 导 数 的 运 算 、 导 数 的 几 何意 义 、 导 数 的 应 用 为 主 (研 究 函 数 的 单 调 性 、 极 值 和 最 值 等 )； 5 在 解 答 题 中 出 现 ， 有 时 作 为 压 轴 题 ， 主 要 考 查 导 数 的 综 合应 用 ， 往 往 与 函 数 、 方 程 、 不 等 式 、 数 列 、 解 析 几 何 等 联 系 在 一 起 ， 考 查 学 生 的 分 类 讨 论 ， 转 化 化 归 等 思 想 第 二 单 元 命 题 趋 势 函 数 是 高 中 数 学 的 主 要 内 容 ， 它 把 中 学 数 学 的 各 个 分 支 紧 密地 联 系 在 一 起 ， 是 中 学 数 学 全 部 内 容 的 主 线 ， 预 测 2012年 高 考 在选 择 题 、 填 空 题 中 主 要 考 查 函 数 的 概 念 、 性 质 和 图 象 、 导 数 的 概念 及 运 算 ， 解 答 题 主 要 以 函 数 为 背 景 ， 与 导 数 、 不 等 式 、 数 列 、甚 至 解 析 几 何 等 知 识 相 整 合 设 计 试 题 ， 考 查 函 数 知 识 的 综 合 应 预 测 2012年 高 考 试 题 对 本 部 分 内 容 的 考 查 将 以 小 题 和 大 题 的 形 式出 现 ， 小 题 主 要 考 查 导 数 的 概 念 、 几 何 意 义 、 导 数 的 运 算 ， 大 题主 要 以 函 数 为 背 景 ， 以 导 数 为 工 具 ， 考 查 应 用 导 数 研 究 函 数 的 单调 性 、 极 值 或 最 值 问 题 ， 在 函 数 、 不 等 式 、 解 析 几 何 等 知 识 网 络交 汇 点 命 题 第 二 单 元 使 用 建 议 第 二 单 元 使 用 建 议 第 二 单 元 使 用 建 议 第 二 单 元 使 用 建 议 第 二 单 元 使 用 建 议 第 二 单 元 使 用 建 议 第 4讲 函 数 及 其 表 示 知 识 梳 理第 4讲 知 识 梳 理1 函 数(1)函 数 的 定 义 ： 设 A、 B都 是 非 空 的 数 集 ， 如 果 按 照 某 种 确定 的 对 应 关 系 f， 使 对 于 集 合 A中 的 任 意 一 个 数 x， 在 集 合 B中都 有 _的 f(x)和 它 对 应 ， 那 么 就 称 f： AB为 从集 合 A到 集 合 B的 一 个 函 数 ， 记 作 y f(x)， x A， 其 中 x叫 做自 变 量 ， x的 取 值 范 围 A叫 做 函 数 f(x)的 _， 与 x的 值 相对 应 的 y值 叫 做 函 数 值 ， 函 数 值 的 集 合 f(x)|x A叫 做 函 数 f(x)的 _， 显 然 ， f(x)|x A B.(2)构 成 函 数 的 三 要 素 是 ： _、 _、_.(3)函 数 的 表 示 方 法 ： _、 _、 _.唯 一 确 定 定 义 域定 义 域 图 象 法 值 域 值 域 对 应 关 系列 表 法 解 析 法 第 4讲 知 识 梳 理 2 映 射 的 定 义 ： 设 A、 B是 两 个 非 空 的 集 合 ， 如 果 按 照_的 对 应 关 系 f， 使 对 于 集 合 A中 的 _元素 x， 在 集 合 B中 都 有 _元 素 y和 它 对 应 ， 那 么 就 称 对应 f： AB叫 做 从 集 合 A到 集 合 B的 一 个 映 射 映 射 与 函 数 的 关 系 ： 函 数 是 _的 映 射 3 分 段 函 数分 段 函 数 的 理 解 ： 函 数 在 它 的 定 义 域 中 对 于 自 变 量 x的 不 同取 值 ， _可 以 不 止 一 个 ， 即 对 应 法 则 “f”是 分 几 段给 出 表 达 的 ， 它 是 一 个 函 数 ， 不 是 几 个 函 数 分 段 函 数 的 定 义 域 等 于 各 段 函 数 的 定 义 域 的 _， 其 值域 等 于 各 段 函 数 的 值 域 的 _4 函 数 解 析 式 的 求 法求 函 数 解 析 式 的 常 用 方 法 ： _、 _、 _、 赋 值 法 和 函 数 方 程 法 某 一 种 确 定 任 意 一 个唯 一 的 特 殊表 示 的 式 子 并 集并 集 待 定 系 数 法 换 元 法 配 方 法 第 4讲 知 识 梳 理5 常 见 函 数 定 义 域 的 求 法(1)整 式 函 数 的 定 义 域 为 _；(2)分 式 函 数 的 分 母 不 得 为 _；(3)开 偶 次 方 根 的 函 数 被 开 方 数 为 _；(4)对 数 函 数 的 真 数 必 须 _；(5)指 数 函 数 与 对 数 函 数 的 底 数 必 须 _；(6)三 角 函 数 中 的 正 切 函 数 y tanx， x R， 且 x _；(7)如 果 函 数 是 _确 定 的 解 析 式 ， 应 依 据 自 变 量 的 实际 意 义 确 定 其 取 值 范 围 ；(8)对 于 抽 象 函 数 ， 要 用 整 体 的 思 想 确 定 自 变 量 的 范 围 ；(9)对 于 复 合 函 数 y fg(x)， 若 已 知 f(x)的 定 义 域 为 a， b， 其 复 合 函 数 fg(x)的 定 义 域 是 不 等 式 _的 解 集 全 体 实 数 非 负 数零大 于 零 大 于 零 且 不 等 于 1实 际 意 义 ag(x)b 要 点 探 究 探 究 点 1 函 数 与 映 射 的 概 念第 4讲 要 点 探 究 例 1 已 知 集 合 A 1,2,3,4， B 5,6,7， 在 下 列 A到 B的 四种 对 应 关 系 中 ， 构 成 A到 B的 函 数 的 是 _图 4 1 第 4讲 要 点 探 究 思 路 利 用 函 数 的 定 义 中 的 两 个 条 件 判 断 对 应 是 否 为 函 数 (1)(3) 解 析 对 于 (1)， 集 合 A中 的 每 一 个 元 素 在 B中 都 有 唯一 的 元 素 与 之 对 应 ， 因 此 (1)是 函 数 ； 对 于 (2)， 集 合 A中 的 元 素 4在 B中 没 有 元 素 与 之 对 应 ， 因 此 (2)不 是 函 数 ； 对 于 (3)， 集 合 A中的 每 一 个 元 素 在 B中 都 有 唯 一 的 元 素 与 之 对 应 ， 因 此 (3)是 函 数 ；对 于 (4)， 集 合 A中 的 元 素 3在 B中 有 两 个 元 素 与 之 对 应 ， 因 此 (4)不 是 函 数 点 评 判 断 一 个 对 应 关 系 是 否 是 映 射 或 函 数 关 系 ， 关 键 抓住 两 个 关 键 词 “任 意 ”、 “唯 一 ”， 即 x的 任 意 性 和 y的 唯 一 性 ， 判 断一 个 图 象 是 否 是 函 数 图 象 也 是 如 此 ， 如 ： 第 4讲 要 点 探 究 设 M x|0 x2， N y|0y2， 给 出 图 4 2中 四个 图 形 ， 其 中 能 表 示 从 集 合 M到 集 合 N的 函 数 关 系 的 有图 4 2A 0个 B 1个 C 2个 D 3个 第 4讲 要 点 探 究B 解 析 根 据 函 数 的 定 义 逐 一 判 断 对 于 图 (a)， M中 属 于 (1,2的 元 素 ， 在 N中 没 有 元 素 有 它 对 应 ，不 符 合 定 义 ； 对 于 图 (b)， M中 任 何 元 素 ， 在 N中 都 有 唯 一 的 元 素 和 它对 应 ， 符 合 定 义 ； 对 于 图 (c)， 与 M对 应 的 一 部 分 元 素 不 属 于 N， 不 符 合 定义 ；对 于 图 (d)， M中 属 于 0,2)的 元 素 ， 在 N中 有 两 个 元 素 与 之 对应 ， 不 符 合 定 义 ， 由 上 分 析 可 知 ， 应 选 B. 第 4讲 要 点 探 究 探 究 点 2 函 数 的 定 义 域 的 求 法 第 4讲 要 点 探 究 第 4讲 要 点 探 究 第 4讲 要 点 探 究 第 4讲 要 点 探 究 第 4讲 要 点 探 究 探 究 点 3 函 数 的 值 域 的 求 法第 4讲 要 点 探 究 第 4讲 要 点 探 究 第 4讲 要 点 探 究 第 4讲 要 点 探 究 第 4讲 要 点 探 究 探 究 点 4 函 数 的 值 域 的 求 法 第 4讲 要 点 探 究 第 4讲 要 点 探 究 探 究 点 5 分 段 函 数 第 4讲 要 点 探 究 第 4讲 规 律 总 结规 律 总 结 1 判 断 一 个 对 应 是 否 为 映 射 关 键 看 是 否 满 足 “集 合 A中 元 素的 任 意 性 ， 集 合 B中 元 素 的 唯 一 性 ”； 判 断 是 否 为 函 数 一 看 是 否为 映 射 ； 二 看 A、 B是 否 为 非 空 数 集 2 求 函 数 解 析 式 常 用 的 方 法 有 ：(1)待 定 系 数 法 ； (2)换 元 法 ； (3)配 凑 法 ； (4)消 参 法 3 求 函 数 定 义 域 常 有 三 类 问 题 ： (1)给 出 函 数 解 析 式 的 ： 函 数 的 定 义 域 是 使 解 析 式 有 意 义 的自 变 量 取 值 的 集 合 ； (2)实 际 问 题 ： 函 数 的 定 义 域 的 求 解 ， 除 要 考 虑 解 析 式 有 意 义 外 ， 还 应 考 虑 使 实 际 问 题 有 意 义 ； 第 4讲 规 律 总 结 (3)复 合 函 数 ： 已 知 f(x)定 义 域 求 f(g(x)定 义 域 或 已 知 f(g(x)定 义 域 求 f(x)定 义 域 问 题 ， 关 键 抓 住 一 条 ： 同 一 对 应 关 系 符 号 里面 式 子 范 围 相 同 ， 即 f(g(x)中 g(x)相 当 于 f(x)中 的 x. 4 解 决 分 段 函 数 问 题 既 要 紧 扣 “分 段 ”这 个 特 征 ， 又 要 将 各段 有 机 联 系 使 之 整 体 化 、 系 统 化 ， 还 要 注 意 每 一 区 间 端 点 的 取 值情 况 第 5讲 函 数 的 单 调 性 与 最 值 增 函 数第 5讲 知 识 梳 理知 识 梳 理 减 函 数增 函 数 减 函 数 (3)设 复 合 函 数 y f， 其 中 u g(x) 如 果 y f(u)和 u g(x)的 单 调 性 相 同 ， 那 么 y f是 _函 数 ； 如 果 y f(u)和 u g(x)的单 调 性 相 反 ， 那 么 y f是 _函 数 (4)利 用 定 义 证 明 函 数 f(x)在 给 定 的 区 间 D上 的 单 调 性 的 一 般步 骤 ： 任 取 x1， x2 D， 且 x10， 则 函 数 y f(x)为 区 间 I上 的 _， 若 f(x)0且 a1)为 _函 数 ， 函 数 f(x) ax a x(a0且 a1)为 _函 数 ； 函 数 f(x) log a (a0， 且 a1)为 奇 函 数 ； f(x) loga(x )(a0， 且 a1)为 奇 函 数偶奇 第 6讲 知 识 梳 理 f(x T) f(x) 2 周 期 性 (1)定 义 ： 如 果 存 在 一 个 非 零 常 数 T， 使 得 对 于 函 数 定 义 域内 的 任 意 x， 都 有 _， 则 称 f(x)为 周 期 函 数 ， 其中 T称 为 f(x)的 周 期 若 T中 存 在 一 个 最 小 的 正 数 ， 则 称 它 为f(x)的 _ (2)性 质 ： f(x T) f(x)常 常 写 作 f f ； f(x)的 周 期 为 T， 则 函 数 f(wx)(w0)也 是 周 期 函 数 ， 且 周期 为 _最 小 正 周 期 要 点 探 究 探 究 点 1 判 断 函 数 的 奇 偶 性第 6讲 要 点 探 究例 1 判 断 下 列 函 数 的 奇 偶 性 ： 第 6讲 要 点 探 究 第 6讲 要 点 探 究 第 6讲 要 点 探 究 点 评 判 断 函 数 的 奇 偶 性 是 比 较 基 本 的 问 题 ， 难 度 不 大 ，解 决 问 题 时 应 先 考 察 函 数 的 定 义 域 ， 若 函 数 的 定 义 域 不 关 于 原点 对 称 ， 则 函 数 不 具 有 奇 偶 性 ； 若 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 再 判断 f( x)与 f(x)的 关 系 ； 若 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 且 函 数 的 解 析式 能 化 简 ， 一 般 应 考 虑 先 化 简 ， 但 化 简 必 须 是 等 价 变 换 过 程 (要保 证 定 义 域 不 变 ) 第 6讲 要 点 探 究例 2 (2)2010保 定 模 拟 已 知 函 数 y f(x)是 定 义 在 R上 的 不 恒为 零 的 函 数 ， 且 对 于 任 意 x1， x2 R， 都 有 f(x1x2) x1f(x2)x2f(x1)， 则 对 函 数 f(x)， 下 列 判 断 正 确 的 是 ( )A f(x)为 奇 函 数B f(x)为 偶 函 数C f(x)为 非 奇 非 偶 函 数D f(x)既 是 奇 函 数 又 是 偶 函 数 第 6讲 要 点 探 究 思 路 (1)分 段 函 数 的 奇 偶 性 ， 要 将 x在 每 一 段 的 情 况 都 要验 证 ， 然 后 在 整 个 定 义 域 内 得 出 f( x)与 f(x)的 关 系 (2)对 x1， x2合 理 赋 值 ， 利 用 函 数 的 性 质 和 已 知 条 件 ， 判 断f(x)与 f( x)的 关 系 第 6讲 要 点 探 究 第 6讲 要 点 探 究 探 究 点 2 函 数 奇 偶 性 的 性 质 及 其 应 用例 3 2010广 州 模 拟 已 知 f(x)是 R上 的 奇 函 数 ， 且 当 x0时 ，f(x) x2 x 1， 求 f(x)的 解 析 式 第 6讲 要 点 探 究 2010江 苏 卷 设 函 数 f(x) x(ex ae x)(x R)是 偶函 数 ， 则 实 数 a _. 思 路 利 用 奇 偶 函 数 的 性 质 ， 得 到 参 数 a满 足 的 方程 1 解 析 本 题 考 查 函 数 的 基 本 性 质 中 的 奇 偶 性 ， 该知 识 点 在 高 考 考 纲 中 为 B级 要 求 设 g(x) e x ae x， x R， 由 题 意 分 析 g(x)应 为 奇 函 数 (奇函 数 奇 函 数 偶 函 数 )， x R， g(0) 0， 则 1 a 0， 所 以 a 1. 第 6讲 要 点 探 究 探 究 点 3 函 数 的 周 期 性 第 6讲 要 点 探 究 第 6讲 要 点 探 究 探 究 点 4 函 数 性 质 的 综 合 应 用 第 6讲 要 点 探 究 第 6讲 要 点 探 究 第 6讲 要 点 探 究 第 6讲 要 点 探 究 点 评 周 期 函 数 的 研 究 方 法 是 先 研 究 周 期 函 数 在 一 个 周 期上 的 性 质 ， 再 将 它 拓 展 到 整 个 定 义 域 上 ， 这 样 ， 可 简 化 对 函 数的 研 究 第 6讲 规 律 总 结规 律 总 结 1 判 定 函 数 的 奇 偶 性 ， 首 先 要 检 验 其 定 义 域 是 否 关 于 原 点 对称 ， 然 后 再 严 格 按 照 奇 偶 性 的 定 义 经 过 化 简 、 整 理 ， 再 将 f( x)与f(x)比 较 ， 得 出 结 论 其 中 ， 分 段 函 数 的 奇 偶 性 应 分 段 证 明 f( x)与f(x)的 关 系 ， 只 有 当 对 称 的 两 段 上 都 满 足 相 同 的 关 系 时 才 能 判 断 其奇 偶 性 2 利 用 函 数 的 奇 偶 性 、 周 期 性 把 研 究 整 个 定 义 域 内 具 有 的 性质 问 题 转 化 到 只 研 究 部 分 (一 半 )区 间 上 的 问 题 ， 是 简 化 问 题 的 一 种途 径 3 函 数 的 奇 偶 性 常 与 函 数 的 其 他 性 质 及 不 等 式 结 合 出 题 ， 运用 函 数 的 奇 偶 性 就 是 运 用 函 数 图 象 的 对 称 性 4 要 善 于 发 现 函 数 特 征 ， 图 象 特 征 ， 运 用 数 形 结 合 ， 定 向 转 化 ， 分 类 讨 论 的 思 想 ， 整 体 代 换 的 手 段 ， 从 而 简 化 解 决 问 题 的 程 序 ，既 快 又 准 第 7讲 二 次 函 数 知 识 梳 理第 7讲 知 识 梳 理 1 二 次 函 数 的 解 析 式 的 三 种 形 式 (1)一 般 式 ： _； (2)顶 点 式 ： _； (3)两 根 式 ： _.f(x) ax2 bx c(a0)f(x) a(x m)2 n(a0)f(x) a(x x1)(x x2)(a0) 第 7讲 知 识 梳 理 2 二 次 函 数 f(x) ax2 bx c(a0)配 方 法 的 步 骤f(x) _ _ 二 次 函 数 f(x) ax2 bx c(a0)的 图 象 是 一 条 抛 物 线 ，对 称 轴 方 程 为 _， 顶 点 坐 标 是 _； 当 a 0时 ， 开 口 向 上 ， 当 a 0时 ， 开 口 向 下 第 7讲 知 识 梳 理 第 7讲 知 识 梳 理 第 7讲 知 识 梳 理 第 7讲 知 识 梳 理 要 点 探 究 探 究 点 1 求 二 次 函 数 的 解 析 式第 7讲 要 点 探 究 例 1 已 知 二 次 函 数 f(x)满 足 f(2) 1， f( 1) 1， 且 f(x)的最 大 值 为 8， 试 确 定 此 二 次 函 数 的 解 析 式 第 7讲 要 点 探 究 第 7讲 要 点 探 究 第 7讲 要 点 探 究 点 评 二 次 函 数 的 解 析 式 有 三 种 形 式 ， 分 别 为 一 般 式 ，顶 点 式 及 两 根 式 ， 一 般 情 况 下 ， 若 给 出 抛 物 线 过 某 三 个 点 ，则 选 用 一 般 式 ； 若 给 出 对 称 轴 或 顶 点 坐 标 ， 则 选 用 顶 点 式 ；当 给 出 抛 物 线 与 x轴 的 两 交 点 坐 标 ， 一 般 选 用 两 根 式 学 会根 据 题 目 的 条 件 正 确 选 择 函 数 的 解 析 式 ， 从 而 简 化 运 算 ，如 ： 第 7讲 要 点 探 究 (1)已 知 函 数 f(x) 2x2 bx c， 当 3x2时 ，f(x)0， 当 x2时 ， f(x)0， 则 b _， c _.(2)二 次 函 数 f(x)， 对 任 意 的 x都 有 f(x) f(1) 2恒 成 立 ， 且 f(0) 1， 则 f(x) _.(3)已 知 f(x)是 二 次 函 数 ， 且 满 足 f(x 1) 2f(x 1) x2 2x 17，则 f(x) _. 2 -123x2 6x 1 x 2 4x 28 第 7讲 要 点 探 究 第 7讲 要 点 探 究 探 究 点 2 二 次 函 数 在 闭 区 间 上 的 最 值例 2 试 求 二 次 函 数 f(x) x2 2ax 3在 区 间 1,2上 的 最 小 值 解 答 f(x) x2 2ax 3 (x a)2 3 a2.当 a 1时 ， 函 数 在 区 间 1,2上 为 增 函 数 ， 故 此 时 最 小 值为 f(1) 2a 4；当 1 a2， 即 2a 1时 ， 函 数 的 最 小 值 为 f( a) a 2 3；当 a2， 即 a 2时 ， 函 数 在 区 间 1,2上 为 减 函 数 ， 此 时 最 小 值 为f(2) 4a 7.综 上 可 知 ， 当 a 1时 ， 最 小 值 为 2a 4. 第 7讲 要 点 探 究 已 知 函 数 f(x) x2 2ax 1 a在 0 x1上 有 最大 值 2， 求 a的 值 第 7讲 要 点 探 究 例 3 已 知 函 数 f(x) ax2 |x| 2a 1(a为 实 常 数 )(1)若 a 1， 作 函 数 f(x)的 图 象 ；(2)设 f(x)在 区 间 1,2上 的 最 小 值 为 g(a)， 求 g(a)的 表 达式 探 究 点 3 二 次 函 数 的 综 合 应 用思 路 利 用 分 类 讨 论 思 路 ， 将 函 数 转 化 为 分 段 函 数 求 解 第 7讲 要 点 探 究 第 7讲 要 点 探 究 第 7讲 要 点 探 究 设 函 数 f(x) x2 |2x a|(x R， a为 实 数 )(1)若 f(x)为 偶 函 数 ， 求 实 数 a的 值 ；(2)设 a2， 求 函 数 f(x)的 最 小 值 思 路 (1)利 用 函 数 奇 偶 性 的 定 义 得 到 a满 足 的 关 系 式 ；(2)利 用 分 段 函 数 的 最 值 的 求 解 方 法 解 决 第 7讲 要 点 探 究 第 7讲 规 律 总 结规 律 总 结 1 对 二 次 函 数 的 三 种 表 示 形 式 ， 要 善 于 运 用 题 目 隐 含 条件 ， 恰 当 选 择 不 同 形 式 ， 简 化 运 算 2 二 次 函 数 、 一 元 二 次 不 等 式 和 一 元 二 次 方 程 (统 称 三 个二 次 )是 一 个 有 机 的 整 体 ， 要 深 刻 理 解 它 们 之 间 的 关 系 ， 运 用 函数 方 程 的 思 想 方 法 将 它 们 进 行 转 化 ， 是 准 确 迅 速 解 决 此 类 问 题的 关 键 3 二 次 函 数 在 闭 区 间 上 必 定 有 最 大 值 和 最 小 值 ， 它 只 能在 区 间 的 端 点 或 顶 点 处 取 得 ， 对 于 “轴 变 区 间 定 ”和 “轴 定 区 间变 ”两 种 情 形 ， 要 借 助 二 次 函 数 的 图 象 特 征 (开 口 方 向 、 对 称 轴与 该 区 间 的 位 置 关 系 )， 抓 住 顶 点 的 横 坐 标 是 否 属 于 该 区 间 ， 结合 函 数 的 单 调 性 进 行 分 类 讨 论 和 求 解 第 8讲 指 数 与 指 数 函 数 知 识 梳 理第 8讲 知 识 梳 理 1 第 8讲 知 识 梳 理a ar s 第 8讲 知 识 梳 理(3)有 理 指 数 幂 的 运 算 性 质 aras _(a 0， r、 s Q) (ar)s _(a 0， r、 s Q) (ab)r _(a 0， b 0， r Q)arsarbr 第 8讲 知 识 梳 理2 指 数 函 数 指 数 函 数定 义 式 y ax(0 a 1) y ax(a 1)定 义 域 ( ， )值 域 (0， )图 象 性 质 过 定 点 (0,1)减 函 数 增 函 数x0时 ， 0y1；x 0时 ， y 1 x0时 ， 00且 a1， 这 是 隐 含 条 件 (2)指 数 函 数 y ax的 单 调 性 与 底 数 a与 1的 大 小 有 关 ，当 底 数 a与 1的 大 小 关 系 不 确 定 时 应 注 意 分 类 讨 论 第 8讲 规 律 总 结 (3)比 较 两 个 指 数 幂 大 小 时 ， 尽 量 化 同 底 或 同 指 ，当 底 数 相 同 、 指 数 不 同 时 ， 构 造 同 一 指 数 函 数 ， 然 后 比较 大 小 ； 当 指 数 相 同 、 底 数 不 同 时 ， 构 造 两 个 指 数 函 数， 利 用 图 象 比 较 大 小 ； 如 果 底 数 和 指 数 都 不 同 ， 利 用 中间 变 量 0或 1比 较 大 小 (4)解 简 单 的 指 数 不 等 式 时 ， 当 底 数 含 参 数 ， 且 底 数与 1的 大 小 不 确 定 时 ， 注 意 分 类 讨 论 第 9讲 对 数 与 对 数 函 数 知 识 梳 理第 9讲 知 识 梳 理 logaN(a0， a1， N0)10 lgN e lnN 第 9讲 知 识 梳 理 logaM logaNlogaM logaNnlogaM 第 9讲 知 识 梳 理 b 0 N 对 数 函 数定 义 式 y logax(0a1)定 义 域值 域图 象性 质 过 定 点 (1,0)减 函 数 增 函 数 x1时 ， y1；0 x 1时 ， y 0 x1时 ， y0；0 x 1时 ， y 0y logax与 y ax的 图 象 关 于 y x对 称 第 9讲 知 识 梳 理4 对 数 函 数 的 图 象 和 性 质 第 9讲 知 识 梳 理 反 函 数直 线 y x 要 点 探 究 探 究 点 1 对 数 式 的 化 简 与 求 值 第 9讲 要 点 探 究例 1 第 9讲 要 点 探 究 思 路 (1)熟 练 运 用 对 数 运 算 性 质 和 法 则 进 行 运 算 ； (2)因 f(x)是 分 段 函 数 ， 故 先 判 断 自 变 量 的 范 围 ， 再 选 择 合 适 的解 析 式 ， 同 时 注 意 对 数 恒 等 式 的 运 用 ； (3)当 指 数 的 取 值 范 围 扩充 到 有 理 数 后 ， 对 数 运 算 就 是 指 数 运 算 的 逆 运 算 因 此 ， 当 一个 题 目 中 同 时 出 现 指 数 式 与 对 数 式 时 ， 一 般 要 把 问 题 转 化 ， 即统 一 到 一 种 表 达 式 第 9讲 要 点 探 究 第 9讲 要 点 探 究 点 评 熟 练 运 用 对 数 式 的 运 算 公 式 和 对 数 的 性 质 是 解决 本 题 的 基 础 和 前 提 运 用 对 数 的 运 算 法 则 时 ， 要 注 意 取值 范 围 ， 同 时 不 要 将 积 、 商 、 幂 的 对 数 与 对 数 的 积 、 商 、幂 混 淆 涉 及 对 数 之 积 的 形 式 无 法 直 接 使 用 对 数 的 运 算 性 质 ，可 先 因 式 分 解 再 使 用 如 第 9讲 要 点 探 究计 算 ： 探 究 点 2 对 数 函 数 的 图 象 与 性 质 第 9讲 要 点 探 究例 2 2010 南 京 模 拟 第 9讲 要 点 探 究 思 路 (1)利 用 函 数 奇 偶 性 的 定 义 ， 列 出 m所 满 足 的 方程 ； (2)严 格 按 照 用 定 义 证 明 函 数 单 调 性 的 步 骤 进 行 ； (3)利用 函 数 的 单 调 性 ， 脱 掉 符 号 “f”求 解 第 9讲 要 点 探 究 第 9讲 要 点 探 究 第 9讲 要 点 探 究 探 究 点 3 与 指 数 函 数 、 对 数 函 数 有 关 的 大 小 比 较 第 9讲 要 点 探 究例 3 2010 全 国 卷 思 路 利 用 中 间 变 量 比 较 大 小 第 9讲 要 点 探 究 第 9讲 要 点 探 究 探 究 点 4 指 数 函 数 的 性 质 的 综 合 应 用第 9讲 要 点 探 究例 4 第 9讲 要 点 探 究 规 律 总 结第 9讲 规 律 总 结 1 应 重 视 指 数 式 与 对 数 式 的 互 化 关 系 ， 它 体 现 了数 学 的 转 化 思 想 ， 也 往 往 是 解 决 “指 数 、 对 数 ”问 题 的 关键 2 指 数 函 数 y ax与 对 数 函 数 y logax互 为 反 函 数 ，可 以 从 概 念 、 图 象 、 性 质 几 方 面 了 解 它 们 间 的 联 系 与 区别 3 对 数 函 数 的 真 数 和 底 数 应 满 足 的 条 件 是 求 解 有关 对 数 问 题 时 必 须 予 以 特 别 重 视 的 ， 另 外 对 数 函 数 问 题尽 量 化 同 底 ， 以 方 便 运 算 和 运 用 性 质 第 9讲 规 律 总 结 4 对 数 函 数 的 性 质 主 要 是 单 调 性 ， 对 数 函 数 y logax单 调 性 与 底 数 a与 1的 大 小 有 关 ， 当 底 数 a与 1的 大小 关 系 不 确 定 时 应 注 意 分 类 讨 论 5 利 用 对 数 函 数 的 概 念 、 图 象 、 性 质 讨 论 一 些 复合 函 数 的 相 应 问 题 是 常 考 题 型 ， 应 注 意 数 形 结 合 、 分 类讨 论 、 化 归 转 化 等 数 学 思 想 方 法 的 灵 活 运 用 第 10讲 幂 函 数 与 函 数 的 图 象 知 识 梳 理第 10讲 知 识 梳 理 1 幂 函 数 (1)幂 函 数 定 义 ： 一 般 地 ， 形 如 _( R)的 函 数 称 为 幂函 数 ， 其 中 为 常 数 几 种 常 见 幂 函 数 的 图 象 ： 图 10 1y x 第 10讲 知 识 梳 理 (2)幂 函 数 性 质 所 有 的 幂 函 数 在 _都 有 定 义 ， 并 且 图 象 都 过 点_； 0时 ， 幂 函 数 的 图 象 通 过 _， 并 且 在 区 间 0， )上 是 _ 特 别 地 ， 当 1时 ， 幂 函 数 的 图 象_； 当 01时 ， 幂 函 数 的 图 象 _； 1)或 压 缩(0a0 0 0a0函 数 y ax2 bx c(a0)的 图 象与 x轴 交 点 个 数 _ _ _ 5 二 次 函 数 的 零 点 ：有 两 个 零 点 有 两 个 不 相 等 的 实 根 有 两 个 相 等 的 实 根 无 实 根有 一 个 二 重 零 点 无 零 点 有 两 个 交 点 有 一 个 交 点 无 交 点 第 11讲 要 点 探 究 探 究 点 1 方 程 的 根 与 函 数 的 零 点要 点 探 究思 路 分 别 确 定 分 段 函 数 在 各 段 解 析 式 中 的 零 点 个 数 第 11讲 要 点 探 究 点 评 函 数 f(x)的 零 点 是 一 个 实 数 (不 是 点 )， 就 是 方 程 f(x) 0的 实 数 根 ， 也 是 函 数 y f(x)的 图 象 与 x轴 的 交 点 的 横 坐 标 ，因 此 判 断 零 点 的 个 数 就 是 判 断 方 程 f(x) 0的 实 根 个 数 ， 有 时 也可 以 根 据 函 数 图 象 的 交 点 的 个 数 来 判 断 零 点 的 个 数 ， 如 ： B 解 析 当 x0时 ， 令 x2 2x 3 0， 解 得 x 3； 当x 0时 ， 令 2 lnx 0， 解 得 x e2， 所 以 已 知 函 数 有 2个 零点 ， 选 B. 第 11讲 要 点 探 究 求 函 数 y lnx 2x 6的 零 点 个 数 解 答 在 同 一 坐 标 系 画 出 y lnx与 y 6 2x的 图 象 ，由 图 可 知 两 图 象 只 有 一 个 交 点 ， 故 函 数 y lnx 2x 6只 有 一个 零 点 第 11讲 要 点 探 究 探 究 点 2 方 程 的 根 与 函 数 的 零 点 思 路 对 于 区 间 上 连 续 不 断 的 函 数 ， 在 区 间 a， b内 寻 根 ，往 往 需 要 利 用 零 点 的 存 在 性 定 理 判 断 ， 即 判 断 f(a)f(b)0， 函 数 在 区 间 a， b上 也 可 能 存 在 零 点 ， 如 ： 第 11讲 要 点 探 究 第 11讲 要 点 探 究 第 11讲 要 点 探 究 探 究 点 3 二 次 函 数 零 点 的 分 布 问 题 例 3 已 知 关 于 x的 二 次 方 程 x2 2mx 2m 1 0. (1)若 方 程 有 两 根 ， 其 中 一 根 在 区 间 ( 1,0)内 ， 另 一 根 在 区间 (1,2)内 ， 求 m的 范 围 ； (2)若 方 程 两 根 均 在 区 间 (0,1)内 ， 求 m的 范 围 思 路 设 出 二 次 方 程 对 应 的 函 数 ， 画 出 相 应 的 示 意 图 ，然 后 用 函 数 性 质 对 参 数 加 以 限 制 第 11讲 要 点 探 究 第 11讲 要 点 探 究 点 评 (1)本 题 综 合 考 查 了 二 次 函 数 、 二 次 方 程 以 及 二 次 不等 式 的 基 本 关 系 ， 有 效 地 训 练 对 “ 三 个 二 次 ” 的 整 体 理 解 与 掌 握 ， 解 题 过 程 中 的 数 形 结 合 是 数 学 的 重 要 思 想 方 法 第 11讲 要 点 探 究 求 a为 何 值 时 ， 方 程 9 |x 2| 43 |x 2| a 0有 实 根 第 11讲 要 点 探 究 探 究 点 4 利 用 函 数 零 点 求 参 数 例 4 (1)若 函 数 f(x) ax2 x 1有 且 仅 有 一 个 零 点 ， 求实 数 a的 值 ； (2)若 函 数 f(x) |4x x2| a有 4个 零 点 ， 求 实 数 a的 取 值范 围 第 11讲 要 点 探 究 第 11讲 要 点 探 究 第 11讲 要 点 探 究 已 知 函 数 f(x) x|x 4| 5， 当 方 程 f(x) a有 三 个 根 时， 求 实 数 a的 取 值 范 围 第 11讲 规 律 总 结 规 律 总 结 1 方 程 的 根 (从 数 的 角 度 看 )、 函 数 图 象 与 x轴 的 交 点 的 横 坐标 (从 形 的 角 度 看 )、 函 数 的 零 点 是 同 一 个 问 题 的 三 种 不 同 的 表 现形 式 2 函 数 零 点 的 求 法 ： (1)代 数 法 ： 利 用 公 式 法 、 因 式 分 解 法 、 直 接 法 求 方 程 f(x)0的 根 (2)几 何 法 ： 对 于 不 能 用 求 根 公 式 求 解 的 方 程 ， 可 以 将 它 与函 数 y f(x)的 图 象 联 系 起 来 ， 并 利 用 函 数 的 性 质 找 出 零 点 (3)二 分 法 ： 主 要 用 于 求 函 数 零 点 的 近 似 值 第 11讲 规 律 总 结 4 有 关 函 数 零 点 的 重 要 结 论 (1)若 连 续 不 断 的 函 数 f(x)是 定 义 域 上 的 单 调 函 数 ， 则 f(x)至多 一 个 零 点 (2)连 续 不 断 的 函 数 ， 其 相 邻 两 个 零 点 之 间 的 所 有 函 数 值 保持 同 号 (3)连 续 不 断 的 函 数 图 象 通 过 零 点 时 ， 函 数 值 符 号 可 能 不 变， 也 可 能 改 变 5 用 二 分 法 求 零 点 的 近 似 解 时 ， 所 要 求 的 精 确 度 不 同 ，得 到 的 结 果 也 不 同 精 确 度 为 是 指 在 计 算 过 程 中 得 到 某 个 区 间(a， b)后 ， 若 其 长 度 小 于 ， 即 认 为 已 达 到 所 要 求 的 精 确 度 ， 可 停止 计 算 精 确 度 为 0.001与 精 确 到 0.001是 不 同 的 第 12讲 函 数 模 型 及 其 应 用 知 识 梳 理第 12讲 知 识 梳 理 1 函 数 模 型 常 用 函 数 模 型 (1)一 次 函 数 模 型 ： f(x) kx b(k， b为 常 数 ， k0) (2)二 次 函 数 模 型 ： f(x) ax2 bx c(a、 b、 c为 常 数 ， a0) (3)指 数 函 数 模 型 ： f(x) abx c(a、 b、 c为 常 数 ， a0， b0，b1) (4)对 数 函 数 模 型 ： f(x) mlogax n(m、 n、 a为 常 数 ， a0，m0， a1) (5)幂 函 数 模 型 ： f(x) ax n b(a、 b、 n为 常 数 ， a0， n1) (6)分 段 函 数 模 型 第 12讲 知 识 梳 理 2 三 种 函 数 模 型 的 性 质 在 区 间 (0， )上 ， 指 数 函 数 y ax(a1)， 对 数 函 数 ylogax(a1)， 幂 函 数 y xn(n0)都 是 增 函 数 ， 但 它 们 增 长 速 度不 同 随 着 x的 增 大 ， 指 数 函 数 y ax(a1)的 增 长 速 度 越 来 越 快， 会 超 过 并 远 远 大 于 幂 函 数 y xn(n0)的 增 长 速 度 ， 而 对 数 函数 y logax(a1)的 增 长 速 度 则 会 越 来 越 慢 ， 图 象 逐 渐 表 示 为 与x轴 趋 于 平 行 ， 因 此 ， 总 会 存 在 一 个 x0， 当 xx0时 ， 就 有log axxn0 f(x)在 该 区 间 上_ _ ； f(x)0f(x)0 f(x)0是 一 条 连 续 不 断 的 曲 线 极 值 将 函 数 y f(x)的 各 极 值 与_比 较 ， 其 中 最 大 的 一 个 是 最 大值 ， 最 小 的 一 个 是 最 小 值 4 f(x) m恒 成 立 等 价 于 _； f(x) m恒 成 立 等价 于 _ 5 函 数 f(x) ax3 bx2 cx d(a0)有 极 大 值 为 f(x1)，极 小 值 为 f(x2)， 若 函 数 有 三 个 零 点 ， 则 _；函 数 有 两 个 零 点 ， 则 _； 函 数 有 且 仅 有 一 个零 点 ， 则 _ 第 14讲 知 识 梳 理 端 点 处 的 函 数 值 f(a)、 f(b)mf(x)max f(x1)0f(x2)0求 单 调 递 增 区 间 ； (2)转 化为 f (x)0在 R上 恒 成 立 问 题 ， 求 a； (3)假 设 存 在 a， 则 f(0)是 f(x)的 极 小 值 ， 或 转 化 为 恒 成 立 问 题 第 14讲 要 点 探 究 解 答 (1)f (x) ex a.若 a 0， f (x) exa0恒 成 立 ， 即 f(x)在 R上 递 增 若 a 0， ex a 0， ex a， x lna， f(x)的 递 增 区 间 为 (lna， ) (2) f(x)在 R内 单 调 递 增 ， f (x) 0在 R上 恒 成立 ex a 0， 即 a ex在 R上 恒 成 立 a (ex)min， 又 ex 0， a 0. (3)方 法 一 ： 由 题 意 知 ex a 0在 ( ， 0上 恒 成立 a ex在 ( ， 0上 恒 成 立 ex在 ( ， 0上为 增 函 数 ， x 0时 ， ex最 大 为 1. a 1， 同 理 可 知 exa 0在 0， )上 恒 成 立 ， a e x在 0， )上 恒 成立 ， a 1. 第 14讲 要 点 探 究 综 上 所 述 ， a 1. 方 法 二 ： 由 题 意 知 ， x 0为 f(x)的 极 小 值 点 f (0) 0， 即 e0 a 0， a 1， 经 检 验 a 1符 合 题 意 点 评 已 知 函 数 f(x)在 某 区 间 内 单 调 求 参 数 问 题 ， 常 转化 为 其 导 函 数 f(x)在 该 区 间 内 大 于 等 于 0(单 调 增 函 数 )或 小 于等 于 0(单 调 减 函 数 )恒 成 立 问 题 第 14讲 要 点 探 究 探 究 点 2 利 用 导 数 研 究 函 数 的 极 值 与 最 值 例 2 已 知 a R， 讨 论 函 数 f(x) ex(x2 ax a 1)的 极值 点 的 个 数 第 14讲 要 点 探 究 即 此 时 f(x)有 两 个 极 值 点 (2)当 0即 a 0或 a 4时 ， 方 程 x2 (a 2)x (2a1) 0有 两 个 相 同 的 实 根 x1 x2.由 题 易 知 f(x)无 极 值 (3)当 0即 0a0时 ， 列 表 如 下 ： x 1 ( 1,0) 0 (0,2) 2f(x) 15a 0 12a f(x) 7a b b 16a b 第 14讲 要 点 探 究 由 上 表 可 知 ， 当 x 0时 ， f(x)取 得 极 大 值 ， 也 就 是 函 数在 1,2上 的 最 大 值 ， f(0) 3， 即 b 3.又 f( 1) 7a3， f(2) 16a 3， f(2)f( 1)， x 2时 函 数 在 1,2上取 得 最 小 值 ， f(2) 16a 3 29， a 2. 当 ag(x)在 区 间 上 恒 成 立 ， 则可 构 造 函 数 h(x) f(x) g(x)， 通 过 讨 论 h(x)在 区 间 上 的 取值 范 围 ， 判 断 出 函 数 h(x)的 单 调 性 ， 然 后 由 函 数 h(x)在 区 间 上 的 一 个 初 始 值 ， 证 得 不 等 式 成 立 第 14讲 规 律 总 结 5 导 数 是 解 决 生 产 生 活 中 最 优 化 问 题 的 通 性 通 法 ， 利 用 导数 求 实 际 问 题 的 最 值 的 一 般 步 骤 和 方 法 如 下 ： (1)细 致 分 析 实际 问 题 中 各 个 量 之 间 的 关 系 ， 正 确 设 定 所 求 最 大 值 或 最 小 值 的变 量 y与 自 变 量 x， 把 实 际 问 题 转 化 为 数 学 问 题 ， 即 列 出 函 数 关系 y f(x)， 并 根 据 实 际 问 题 中 的 限 制 条 件 确 定 y f(x)的 定 义域 ； (2)求 f(x)， 令 f(x) 0， 得 出 方 程 所 有 实 数 根 ； (3)比 较 函数 在 各 个 区 间 端 点 和 在 极 值 点 的 取 值 大 小。