外接球专项训练参考答案•选择题1、已知球0的半径为2,圆M和圆N是球的互相垂直的两个截面,M和圆N的面积分别为2和，则|MN|(A.1B,3C•2D•、、5【答案】D【解析】由球心距与截面圆的半径之间的关系得d'd；R2R2835，故MN..d12d；5，应选Do考点：球的几何性质及运算2、在三棱锥PABC中，ABBC,ABBC2,PAPC2，AC中点为cosPMB33，则此三棱锥的外接球的表面积为(A32【答案】【解析】C如图，易知BM^AC21,PM221,由余弦定理可得PB132「333PB2AB22PA,故PBBA;同理PB2CB2PC2，故PBBC，所以P,代B,C是棱长为■■2的正方.3■-2体的四个顶点，其外接球就是正方体的外接球，半径为R—2，所以外接球的面积为S42应选CoPD（233）2（33）21，故三也高考和各级各类考试的难点内考点：球与几何体的外接和表面积的计算公式3、球0的球面上有四点S,AB,C，其中O,A,B,C四点共面，ABC是边长为2的正三角形，面SAB面ABC，则棱锥SABC的体积的最大值为（)ABB.3C.2.3D.4【答案】A【解析】设球心和ABC的外心为0,延长CO交AB于点P，则由球的对称性可知PDAB，继而由面SAB面ABC可得PDABC所在的平面，所以PD是三棱锥的高；再由O,A,B,C四点共面可知0是ABC的中心，故OP3,R乙卫，当三棱锥的体积最大时，其高为33棱锥的体积的最大值为1—221—，应选Ao343考点：几何体的外接球等有关知识的运用。
3易错点晴】球与几何体的外接和内切问题一直是高中数学中题的重要题型,分利用题设中提供的有关信息，2J3先确定球心O的位置是三角形ABC的外心，再求外接球的半径R23并确3容本题将三棱锥与球外接整合在一起考查三棱锥的体积的最大值无疑是加大了试题的难度解答本题时要充定当PD为三棱锥的高时，该三棱锥的体积最大并算出其最大值为4、已知在三棱锥PABC中，PA面ABC,PCAB，若三棱锥PABC的外接球的半径是3,SSABCSABPSACP，则S的最大值是（)A.36B.28C.26D.18【答案】D【解析】因为PA面ABC,所以PAAB,PAAC，又因为PCAB,所以AB平面PAC，所以ABAC,所以有AB2AC2AP2(23)236,则由基本不等式可得SSABCSABPSACP当且仅当1 1222—(ABACABAPAPAC)—(ABACAP)182ABACAP时等号成立，所以S的最大值是36,故选D.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.长方体外接球的性质；3.基本不等式【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、长方体外接球的性质、基本不等式，中档题；立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值或利用基本不等式来求解.5、如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为（）A.8B•16C•32D•64【答案】C【解析】几何体为「个四棱锥，外接球球心为底面正方形（边长为4）中心，所以半径为22，表面积为4（2&）232,选C.考点：三视图，外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点（一般为接、切点）或线作何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与该几何体已知量的关系，列方程（组）求解.6、如图是某几何体的三视图，正视图是等边三角形，侧视图和俯视图为直角三角形，贝够几何体外接球的表面积为（）A.20【答案】D—193【解析】由三视图可知，这个几何体是三棱锥.如图所示，0为球心，F为等边三角形BCD的外心，由图可知R2OF2CF2，故外接球面积为12193CB考点：三视图.【思路点晴】设几何体底面外接圆半径为x,常见的图形有正三角形，直角三角形，矩形,它们的外心可用其几何性质求；而其它不规则图形的外心，可利用正弦定理来求•若长方体长宽高分别为a,b,c则其体对角线长为•-a2b2c2;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法：过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心7、如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某四面体的三视图，贝【J该四面体的外接球半径为()A.22BC...11D.2、、3【答案】C【解析】从三视图可以看出这是一个正方体上的一个四面体,如图,其中正MNP的边长为4.2,其外接圆的半径riMiNiPi的外接圆的半径是“22,由球的对称性可知球心.3O必在正方体的对角线AC上,且AO1h18•3亍C02h24.39，该球经过六个点M,N,P,M1,N1,R,设球心0到平面M1N1P1的距离为d1;球心0到平面MNP的距离为d2,而两个平面MNP和M1N1P之间的距离为d4.3(h1h2)—d1d?,则由球心距、垂面圆半径之间的关系可得R2d；r；,R2d；r；,3所以d；d12r12r228,即d；d；8,又d1d?4-,将其代入d；d；8可得d?d123,由3此可得d253,所以R2d2r222583311,所以外接球的半径RJ1,应选C.3333M考点：三视图的识读和理解及几何体体积的计算【易错点晴】本题以网格纸上的几何图形为背景，提供了一个三棱锥的几何体的三视图，要求求其外接球的半径是一道较为困难的难题•难就难在无法搞清其几何形状，只知道是一个三棱锥（四面体）是没有任何用的•通过仔细观察不难看出这是一个正方体上的一个四面体如图,正MNP的边长为42,其外接圆的半径同样正MjNF的外接圆的半径是由球的对称性可知球心O必在对角线上，且经过六个点M,N,P,Mi,Ni,Pi,设球心O到平面MiNF的距离为d1；球心0到平面MNP的距离为d?,而两个平面MNP和MiNiR之间的距离为d4、3(hih2)4-33did2,则由球心距垂面圆半径之间的关系可得R2di2ri2,R2d；r；,所以d；d；『r；8,即d；d；8,又did2-3,将其代入3d2di8可得d2di2••3,由此可得d253,所以r2d2r/——-ii,所以外接球的3333半径R..ii,其中计算0,h2时可用等积法进行.&一直三棱柱的每条棱长都是3，且每个顶点都在球0的表面上，则球0的半径为（）B..6C..7【答案】A2i2232丿32【解析】球0的半径满足R（3）行3）考点：外接球【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解9、若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，贝V此几何体的表面积是1/\、j\■/—4—1正*11MM1IIA.24nB.24n+8”-nC.24n+4JnD.32n答案：C10、已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB2,SASBSC2,则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是()(A)-I(B)1(C)3(D)辽32【答案】A【解析】因为三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SASBSC2,S在面ABC内的射影为AB中点H,SH平面ABC,SH上任意一点到A，B，C的距离相等.*SHv'3,CH1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO，则O为SABC的外接球球心.SOU,0H—tSC2,SM1,OSM30,33，即为O到平面ABC的距离，故选A.考点：球内接多面体；点到面的距离的计算.【名师点睛】(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系.(2)若球面上四点P,A,B,C中PAPBPC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题.(3)—般三棱锥的外接球的球心可通过其中一个面的外心作此平面的垂线，则球心必在此垂线上.11、已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，AB2,SASBSC2,则三棱锥的外接球的球心到平面ABC的距离是()(A)-I(B)1(C)3(D)空32【答案】A12、某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥外接球的表面积是()A.17B.34C.D.17.3423【答案】B4,3,3，因此四棱锥外接球直径【解析】几何体为一个四棱锥，其顶点为长方体四个顶点，长方体的长宽高为为长方体对角线，即2R,32+32+42，表面积是4R234.选B.考点：三视图【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.13、已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球0的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球0的直径，且SC=2则此棱锥的体积为【答案】A【解析】连接OA,OB,OC，则由已知得OAOBOCABBCAC1，可知三棱锥OABC是棱长为1的正四面体，其高为丄6，则三棱锥S3ABC的高为竽，所以三棱锥SABC的体积为考点：三棱锥外接球.14、半径为1的三个球A,B,C平放在平面上，且两两相切，其上放置一半径为A,B,C,D构成一个新四面体，则该四面体外接球O的表面积为（）2的球D，由四个球心A.243243239218.6923【答案】A【解析】由已知条件可知,该四面体是底面边长为2的等边三角形，且侧棱长为3•该四面体外接球半径计算公式为Rx2h22h，中x为底面外接圆半径，h为高•本题423R3—3R2l6939-69。
S46R24空旦竺4232323考点：球的内接几何体.15、在正三棱锥SABC中，M是SC的中点，且AMSB,底面边长AB2辽，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为（）A.6B.12C.32D.36【答案】【解析】根据三棱锥为正三棱锥，可证明出ACLSB,结合SB丄AM得到SB丄平面SAG因此可得SASBSC可得正三棱锥S-ABC的外接三条侧棱两两互相垂直.最后利用公式求出外接圆的直径，结合球的表面积公式,球的表面积.取AC中点，连接BNSNTN为AC中点，SA=SC二ACLSN,同理ACLBNTSNQBN=N二AC丄平面SBN•••SB平面SBN二ACLSB,vSB丄AM且ACQAM=A•••SB丄平面SACSLSA且SB丄AC,v三棱锥S-ABC是正三棱锥，•SASBSC三条侧棱两两互相垂直.v底面边长AB22,•侧棱SA=2,•••正三棱锥S-ABC的外接球的直径为：2R2J3,R,3,•••正三棱锥S-ABC的外接球的表面积是S4R212,故选：B.面ABC,PA2、、3,则此三棱考点：空间线面垂直的判定与性质；球内接多面体16、已知三棱锥PABC,在底面ABC中，AB1A60,BC,3,PA锥的外接球的表面积为（）A.16B.4.3C.绥D.163【答案】D【解析】底面三角形内，根据正弦定理，可得AC2,AB2BC2AC2,满足勾股定理，ABC900,PA底面ABC,所以PABC,那么BC平面PAB,所以BCPB,那么直角三角形PAC,PBC有公共斜边PC,所以三棱锥的外接球的球心就是PC的中点O,PC是其外接球的直径，PC4,所以外接球的表面积S4R216,故选D.考点：球与几何体17、已知直三棱柱C11C1的6个顶点都在球则球的表面积为为()A.153B.160C【答案】C【解析】由题意，三棱柱C11C1为直三棱柱，成四棱柱，则四棱柱的体对角线是其外接球的直径,的球面上，若3,C4,C,112,.169D.360底面C为直角三角形,把直三棱柱C11C1补CB所以外接球半径为13242122213则三棱柱C11C1i外接球的表面积是4R2169cm2.故选C.考点：几何体的外接球18、如图，ABCDA1B1C1D1是边长为1的正方体,SABCD是高为1的正四棱锥右点S，A1,B],G,D1在同一个球面上，则该球的表面积为（16251649168116【答案】D【解析】按如图所示作辅助线，0为球心，设0Gx，则OB^,SO2x，同时由正方体的性质知B1G1则在RtOB1G1中，OB：22G1B1OG1，即2，解得x所以球的半径ROB1281所以球的表面积为S4R2—，故选D.16考点：1、球内接多面体的性质；2、球的表面积公式19、在平行四边形ABCD中，ABBD,4AB22BD21，将此平行四边形沿BD折成直二面角，则三棱【答案】A【解析】因为平行四边形ABCD中，ABBD，沿BD折成直二面角ABDC，所以三棱锥ABCD的1外接球的直径为AC，且AC2AB2BD2CD22AB2BD2，所以三棱锥ABCD的外接球的半径2为二，所以三棱锥ABCD的外接球的表面积为4-;故选A.4162考点：1.平面图形的折叠问题；2.多面体与球的组合.20、如图在菱形ABCD中,BAD60：,AB2「3,E为对角线BD的中点，将ABD沿BD折起到PBD的位置，若PEC120：，则三棱锥PBCD的外接球的表面积为（A.28B.32C.16D.12【答案】A【解析】设M,N分别是等边三角形PBD.CBD的外心，贝VO1N1,NC2画出图象如下图所示，由图象可知,MO1N120■,OO1N60、：，故ON1tan60”、3，ROC.ON2NC2.7,外接球面积为4R24728o考点：球的内接几何体21、已知从点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成60角，且分别与球0相切于A,B,C三点.若球0的体积为36n，则O,P两点间的距离为（）（A）3、2（B）3、.3（C）3（D）6【答案】B；3AB?3AP【解析】连接0P交平面ABC于0'，由题意可得：ABC和PAB为正三角形，所以O'A•因33为AO'PO,OAPA，所以空塑，所以OP0A竺,30A•又因为球的体积为36，所以半OAAOAO径OA3，所以OP3、_3•考点：点、线、面间的距离计算.J3ABJ3AP【思路点睛】连接OP交平面ABC于O'，由题意可得：O'A•由AO'PO,OAPA可33得OP△匕，根据球的体积可得半径OA3,进而求出答案.OAAO22、在半径为1的球面上有不共面的四个点A，B,C,D且ABCDx，BCDAy，CABDz，则x2y2z2等于（）A.16B•8C•4D•2【答案】B【解析】如图，构造长方体，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，贝【Ja2b2c2224，根据题意，得222222222222222、abx,bcy,acz，则xyz2(abc)8；故选B.考点：多面体与球的组合23、“牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体积的过程中构造的一个和谐优美的几何体.它由完全相同的四个曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖）•其直观图如图所示，图中四边形是为体现其直观性所作的辅助线.当其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能是（）直观圏【解析】因为相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣合（牟合）在一起的方形伞（方盖），且正视图和侧视图是一个圆，所以从上向下看，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，即俯视图是有两条对角线且为实线的正方形；故选B.考点：三视图.24、某一简单几何体的三视图如图所示，该几何体的外接球的表面积是（A.13B•16【答案】CC.25D.27线长为DE,EF,)A.,2BAEl'；-DF亦2C.丿2DV62【解析】从三视图可以看出该几何体是底面对角线长为4正方形高为3正四棱柱，故其对角I324252R,故该几何体的外接球的面积为S4R225,选C.考点：三视图与几何体的外接球.25、如图，边长为2的正方形ABCD中，点E,F分别是边AB,BC的中点△AED△EBF，△FCD分别沿FD折起，使A,B,C三点重合于点A,若四面体AEFD的四个顶点在同一个球面上，则该球的半径为（【答案】D【解析】因为折起后A,B,C三点重合，所以A'E,A'F,A'D两两垂直，三棱锥的外接球，就是棱长为1,1,2的长方体的外接球，球半径R满足4R21212226,R6，故选D.2考点：几何体外接球的性质26、已知三棱锥S-ABC满足SALSBSB丄SCSCLSA且SA=SB=SC若该三棱锥外接球的半径为是外接球上一动点，则点Q到平面ABC的距离的最大值为（)43A.3B.2C3D.3【答案】D【解析】因为三棱锥SABC中，SASB,SBSC,SCSA,且SASBSC,所以三棱锥的外接球即为以SASB,SC为长宽高的正方体的外接球，因为该三棱柱外接球的半径为一3,所以正方体的对角线长为23,所以球心到平面ABC的距离为1—，所以点Q到平面ABC的距离的最大值为.3—4卫，故23333选D.考点：球的性质及组合体的应用.27、一个直棱柱的三视图如图所示，其中俯视图是一个顶角为120的等腰三角形，则该直三棱柱外接球的表A.202053C.25D.25.5【答案】A【解析】由三视图可知，该三棱柱为底面为顶角为—，两腰为2的等腰三角形，高为2，底面三角形的外接3圆直径为23.2sin-34，半径为2，设该三棱柱的外接球的半径为R，则R222115，所以该三棱柱的外接球的表面积为S4R220，故选A.考点：1.三视图；2.球的切接问题；3.球的表面积.【名师点睛】本题主要考查三视图、球的切接问题、表面积公式及空间想象能力、运算能力，中档题；识图是数学的基本功，空间想象能力是数学与实际生活必备的能力，本题将这些能力结合在一起，体现了数学的实用价值，同时也考查了学生对球的性质与表面积公式的掌握与应用、计算能力.28、某四面体的三视图如图，正视图、侧视图、俯视图都是边长为1的正方形，则此四面体的外接球的体积为A.B【答案】【解析由题意此四面体是棱长为.2的正四面体，其外接球半径为丄6.2-,所以423V.故选B考点：三视图，外接球，球体积.【名师点睛】正四面体的内切球与外接球：(1)正四面体的内切球，如图•位置关系：正四面体的四个面都与一个球相切，正四面体的中心与球心重合;数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4Rh6a;(可以利用体积桥证明)3(2)正四面体的外接球，如图5.位置关系：正四面体的四个顶点都在一个球面上，正四面体的中心与球心重合；数据关系：设正四面体的棱长为a，高为h；球的半径为R，这时有4R3h「6a；(可用正四面体高h减去内切球的半径得到)29、如图所示，在直三棱柱C中,2,C4，点是线段的中点，则三棱锥C的外接球的体积是(A.36.6【答案】【解析】由题意可知MA1MBAB2.6,取AB的中点D,连接MD,CD,在直角MCD中，MC.MD2CD2、6,所以点M在平面ABC内的射影是ABC的外心，即为AB的中点，设三棱锥C的外接球的球心为0,由球的截面性质可得MDr2CD2r2，即1r25r2，解得r3,所以其外接球的体积为V4R336,故选A.3考点：棱锥与球的组合体及球的体积【方法点睛】本题主要考查了棱锥与球的组合体，球的截面性质及球的体积,考查了考生的空间想象能力属于中档题•本题解答的关键是根据已知条件求得MAMBMC,从而判断点M在平面ABC内的射影位置，而ABC又是直角三角形，其外心位于斜边的中点上，据此可知三棱锥C外接球的球心在MD上，根据球的截面性质得到球的半径，求得其体积30、已知球面上有四个点代B,C,D，球心为点0，O在CD上,若三棱锥ABCD的体积的最大值为8，则该球O的表面积为（A.4•161632【答案】B【解析】设球的半径r，首先因为O在CD上，所以CD为球O的直径,BCD为直角三角形，CD2r，若使三角形的面积最大,则点B到边CD的距离最大即可，因为B,C,D三点共面.所以最大距离为半径角形BCD面积的最大值为12rrr2;当点A距离平面BCD最大时为r,则三棱锥A_BCD的体积的最大2-1o1a8值为—rr-r-,r2，所以该球的表面积为4416，选B.333考点：1.球的表面积；2.棱锥的体积.31、一个几何体的顶点都在球面上，它们的正视图、侧视图、俯视图都是下图•图中圆内有一个以圆心为中心边长为1的正方形.则这个四面体的外接球的表面积是（A.2nB.3nC.4nD.5n【答案】B【解析】由三视图可知：该四面体是正方体的一个内接正四面体，此四面体的外接球的半径为正方体的对角线长为,3，利用球的表面积公式得s4（一？）23，故选B.考点：球的结合体.评卷人得分填空题（注释）32、在四棱锥PABCD中，PB底面ABCD,底面ABCD是边长为2的正方形.若直线PC与平面PDB所成的角为30°,则四棱锥PABCD的外接球的表面积为【答案】12【解析】连结AC交BD于H,则可证得AC平面PDB，连接PH,则CPH就是直线PC与平面PDB所成的角，即CPH30°,；CH72,PC242,PD2石,四棱锥PABCD的外接球的半径为3，则所求外接球的表面积为12,故应填12考点：四棱锥的外接球的面积及求法.33、已知矩形ABCD的顶点都在半径为R的球0的球面上，且AB6,BC^.3,棱锥OABCD的体积为8晶，贝HR=.【答案】41__V-62^3h8^[3,h2【解析】由题可得四棱锥的侧棱为R，则3再由；R.22（2、3）24.考点：多面体与外接球.。