最短路径问题最短路径问题将军饮马问题及延伸最短路径问题将军饮马问题及延伸为为什么有的人会什么有的人会经经常践踏草地呢？常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了绿地里本没有路，走的人多了 禁止践禁止践踏踏两点之两点之间间，线线段最短段最短为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了 在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁修建一所候车亭P，要使候车亭到两村庄的距离之和最短，试确定候车亭P的位置ABP 思考：本思考：本题题运用了运用了 .两点之两点之间间，线线段最短段最短.l 在公路l两侧有两村庄，现要在公路l旁将将军饮马问题军饮马问题：两两线线段之和最短段之和最短这这个个问题问题早在古早在古罗马时罗马时代就代就有了，有了，传说亚历传说亚历山大城有一位精通数学和物理的山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海学者，名叫海伦伦一天，一位一天，一位罗马罗马将将军专军专程去拜程去拜访访他，向他他，向他请请教一个百思不得其解的教一个百思不得其解的问题问题：将将军军每天每天骑马骑马从城堡从城堡A出出发发，到城堡，到城堡B，途，途中中马马要到小溪要到小溪边饮边饮水一次将水一次将军问军问怎怎样样走路程走路程最短？最短？这这就是被称就是被称为为将将军饮马军饮马而广而广为为流流传传的的问题问题。
将军饮马问题：两线段之和最短这个问题早在古罗马时代如如图图：一位将：一位将军骑马军骑马从城堡从城堡A到城堡到城堡B，途中，途中马马要要到河到河边饮边饮水一次，水一次，问问：这这位将位将军军怎怎样样走路程最短？走路程最短？AB如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，BABP作法：作法：（1）作点）作点B关于直关于直线线 MN 的的对对称点称点 B（2）连结连结BA，交，交MN于点于点 P；所以所以 点点P就是所求的点就是所求的点MNBABP作法：（1）作点B关于直线 MN 的对称点 B（BP+AP BP+AP，即，即AP+BP最小最小NABPBP 直直线线MN是点是点B、B的的对对称称轴轴，点，点P、P在在对对称称轴轴上，上，BP=BP，BP=BP 在在MN 上任取另一点上任取另一点P，连结连结BP、BP、AP、BP 证证明明：在在 ABP中，中，ABAP+BP，BP+AP=BP+AP=BAM BP+AP=BP+AP BP+AP BP+AP，即AP+BP最小NAB变变式式1：已知：已知：P、Q是是 ABC的的边边AB、AC上的点，你能在上的点，你能在BC上确定一点上确定一点R，使使 PQR的周的周长长最短最短吗吗？变式1：草地草地河河边边.驻驻地地A如如图图：一位将：一位将军骑马军骑马从从驻驻地地A出出发发，先，先牵马牵马去草地去草地 OM吃草，再吃草，再牵马牵马去河去河边边ON喝水，喝水，最后回到最后回到驻驻地地A问问：这这位将位将军军怎怎样样走路程最短？走路程最短？OMN草地河边.驻地A如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地.如如图图:已知已知 内一点内一点A 求作求作:OM上一点上一点B,ON上上一点一点C,使使AB+BC+AC最最小小作法作法:(1)作点作点A关于关于OM、ON的的对对称点称点A、A(2)连结连结A和和A，交，交OM于于B,交交ON于于C,则则点点B、C为为所求。
所求如图:已知 内一点A 变变式式1：已知已知P是是 ABC的的边边BC上的点，你能在上的点，你能在AB、AC上分上分别别确定一点确定一点Q和和R，使，使 PQR的周的周长长最短最短吗吗？变式1：如如图图，A为马为马厩，厩，B为帐为帐篷，将篷，将军军某一天要从某一天要从马马厩厩牵牵出出马马，先到草地，先到草地边边某一某一处处牧牧马马，再到河，再到河边饮边饮马马，然后回到，然后回到帐帐篷，篷，请请你帮助确定你帮助确定这这一天的最短一天的最短路路线线两点在两相交直两点在两相交直线线内部内部如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地答案：如答案：如图图,A,A是是马马厩厩,B,B为帐为帐篷篷,牧牧马马人某一天要从人某一天要从马马厩厩牵牵出出马马,先到草地先到草地边边某一某一处处牧牧马马,再到河再到河边饮马边饮马,然后然后回到回到帐帐篷篷.请请你帮他确定你帮他确定这这一天的最短路一天的最短路线线.ABABMN答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,变变式式1：已知：已知：MON内两点内两点A、B.求作：点求作：点C和点和点D,使得点使得点C在在OM上，点上，点D在在ON上，且上，且AC+CD+BD+AB最短。
最短ABCD变式1：ABCD变变式式2：如：如图图，OMCN是矩形的台球桌面，有是矩形的台球桌面，有黑、白两球分黑、白两球分别别位于位于B、A两点的位置上，两点的位置上，试问试问怎怎样样撞撞击击白球，使白球白球，使白球A依次碰撞球台依次碰撞球台边边OM、ON后，反后，反弹击弹击中黑球？中黑球？变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于.AABBCDMON变式2：.AABBCDMON变式2：课课堂小堂小结结：今天我们学习了最短路径的相关问题，我们应该怎么样找到它们的最短路径呢？1、确定对称轴，找出定点的对称点2、连接对称点与另一点确定所求位置点（连接各对称点确定所求位置点）本本节课节课研究研究问题问题的基本的基本过过程是什么？程是什么？把把实际问题实际问题变变成成数学数学问题问题或数学模型或数学模型推理推理 猜想猜想 证证明明得出得出结论结论应应用到用到实际问题实际问题中中课堂小结：今天我们学习了最短路径的相关问题，我课课后拓展：后拓展：在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动点M、N,当M、N运动到何处时，BM+MN最短？ABDCMN课后拓展：在矩形ABCD中，在边和对角线AD、BD上有两个动谢谢，再见！谢谢，再见！谢谢，再见！。